(共43张PPT)
§3 对数函数
第四章 对数运算与对数函数
情境导学·探新知
NO.1
底数
10
无理数e
(0，＋∞)
R
(1,0)
0
0
0
0
增
减
第1课时 对数函数的概念、图象和性质
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 对数函数的概念
类型2 对数函数的图象
类型3 对数型函数的定义域
类型4 对数函数的性质
当堂达标·夯基础
NO.3
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xCc对数函数
学 习 目 标 核 心 素 养
1．通过具体实例，了解对数函数的概念．(重点)2．能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象．(重点)3．探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(重点、难点)4．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．(重点) 1．通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．2．借助对数函数性质的应用，培养逻辑推理素养.
1．对数函数的定义是什么？
2．什么是常用对数函数？什么是自然对数函数？
3．反函数的定义是什么？
4．对数函数的图象是什么形状？有哪些性质？
知识点1 对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的底数，x是自变量．
知识点2 特殊的对数函数
常用对数函数 以10为底的对数函数y＝lg_x
自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y＝ln_x
对数函数的解析式有何特征？
[提示] 在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数函数的定义域为R.( )
(2)函数y＝log2(2x)是对数函数．( )
(3)函数y＝log(x2＋2)x是对数函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2.下列函数是对数函数的是( )
A．y＝log2x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
[答案] A
知识点3 对数函数的图象和性质
a>1 0
图象
性质 (1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过定点：(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
(5)在区间：(0，＋∞)上是增函数当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 (5)在区间：(0，＋∞)上是减函数当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大
(1)底数a的取值与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象有什么关系？
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与y＝x(a>0且a≠1)有什么关系？
[提示] (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0(2)在同一坐标系内，y＝logax(a>0且a≠1)的图象与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称．
3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝log0.3x是减函数．( )
(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
(3)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
4.函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是________．
[答案] (1，＋∞)
第1课时 对数函数的概念、图象和性质
类型1 对数函数的概念
【例1】 对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log4x B．y＝x
C．y＝x D．y＝log2x
D [由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.]
判断一个函数是对数函数的方法
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝log3x2 B．y＝log3x
C．y＝logx5 D．y＝log2x＋1
[答案] B
类型2 对数函数的图象
对数型函数图象的判断
【例2】 函数y＝ln(1－x)的图象大致为( )
A B C D
C [由1－x>0，知x<1，排除选项A、B；
设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t为增函数，
所以y＝ln(1－x)为减函数．
故选C.]
作对数型函数的图象
【例3】 已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
[解] 因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
对数函数底数对图象的影响
【例4】 如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
B [作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.]
有关对数型函数图象问题的求解技巧
(1)求函数y＝logaf(x)＋m(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).
(2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得底数的大小．
2．(1)函数f(x)＝log2x的图象的大致形状是( )
A B C D
(2)若lga＋lgb＝0 (a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝logax与g(x)＝logbx的图象( )
A．关于直线y＝x对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于原点对称
(1)D (2)B [(1)由于f(x)＝log2x＝log2，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x>0时，f(x)＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，又函数是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，故选D.
(2)由 lg a＋lg b＝0，得b＝，
所以g(x)＝logbx＝x＝－logax，
所以函数f(x)与g(x)的图象关于x轴对称．]
类型3 对数型函数的定义域
【例5】 求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝.
[解] (1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
(3)要使函数有意义，需满足即解得－1求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
3．函数f(x)＝＋lg(10－x)的定义域为________．
(1,10) [由题意可得解得1类型4 对数函数的性质
【例6】 根据函数f(x)＝log2x的图象和性质求解以下问题：
(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值．
[思路点拨] 可先作出y＝log2x的图象，利用图象中的单调性解决问题．
[解] 函数y＝log2x的图象如图．
(1)f(a)>f(2)，即log2a>log22，又因为y＝log2x是增函数，则a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.
对数型函数求解方法
1．求解对数型不等式时应考虑底数与1的大小．
2．对数型函数值域求解采用复合函数法．
4．(1)比较log2与log2的大小；
(2)若log2(2－x)>0，求x的取值范围．
[解] (1)函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
又∵>，∴log2>log2.
(2)log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21，
∵函数y＝log2x为增函数，∴2－x>1，即x<1.
∴x的取值范围为(－∞，1).
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝ln B．y＝ln
C．y＝logx2 D．y＝log2x
[答案] D
2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D． (－∞，1]
B [由x－1>0，得x>1.]
3．函数y＝log2x的图象大致是( )
A B C D
C [结合各选项可知，C正确．]
4．函数y＝lg x的反函数是________．
[答案] y＝10x
5．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
(1,2) [若f(x)，g(x)均为增函数，则即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．]
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7(共25张PPT)
§3 对数函数
第2课时 对数函数图象及性质的应用
第四章 对数运算与对数函数
合作探究·释疑难
NO.1
类型1 比较对数值的大小
类型2 求解对数不等式
类型3 对数型函数的单调性
当堂达标·夯基础
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4第2课时 对数函数图象及性质的应用
类型1 比较对数值的大小
【例1】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
[解] (1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3(2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以loga3.1当0又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.
综上所述，当a>1时，loga3.1当0loga5.2.
(3)因为0>log0.23>log0.24，所以<，即log30.2(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，
所以log3π>log33＝1.
同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
1．下列式子中成立的是( )
A．log0.441.013.5
C．3.50.3<3.40.3 D．log76D [因为y＝log0.4x为减函数，故log0.44>log0.46，故A错；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错；由指数函数图象特点知，3.50.3>3.40.3，故C错．]
2．已知a＝2，b＝log2，c＝，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
D [∵0＝1，∴c>a>b.故选D.]
类型2 求解对数不等式
【例2】 解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0且a≠1)．
[解] (1)原不等式等价于解得(2)原不等式化为loga(x－4)>loga(2x－1)．
当a>1时，不等式等价于无解．
当04.
综上可知，当a>1时，解集为 ；当04}．
常见对数不等式的2种解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
3．不等式(5＋x)< (1－x)的解集为________．
(－2,1) [因为函数y＝x在(0，＋∞)上是减函数，所以解得－24．若loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围为________．
∪(1，＋∞) [由题意知loga(3a－1)>0＝loga1.
当a>1时，y＝logax是增函数，
∴解得a>，∴a>1；
当0∴解得∴综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
类型3 对数型函数的单调性
【例3】 求函数f(x)＝(x2－2x－3)的单调区间．
[解] 设t＝x2－2x－3>0，得x>3或x<－1，由于t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，又y＝t在定义域内单调递减，因而函数f(x)＝(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞)．
1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域．
2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f(logax)(a>0，且a≠1)型．
5．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
(2，＋∞) [由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3>1，解得a>2.]
6．已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
[解] (1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0因此log4(4x1－1)故f(x)在(0，＋∞)上递增．
(3)因为f(x)在区间上递增，
又f ＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415].
1．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
A [因为a＝log23.4>1,0b>c，故选A.]
2．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
B [∵lg(2x－4)≤1，∴0<2x－4≤10，解得23．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝
( )
A． B．2
C．2 D．4
D [因为a>1，所以y＝logax在[a,2a]上是增函数．
所以loga(2a)－logaa＝，
即loga2＝，所以a＝2，解得a＝4.]
4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
[因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是.]
5．函数y＝2x－(x＋1)在区间[0,1]上的最大值为_______，最小值为_______．
3 1 [因为y＝2x在[0,1]上是增函数，y＝(x＋1)在[0,1]上是减函数，所以y＝f(x)＝2x－(x＋1)在[0,1]上是增函数，所以y的最大值为f(1)＝21－2＝2－(－1)＝3，最小值为f(0)＝20－1＝1－0＝1.]
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