(共37张PPT)
§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
第四章 对数运算与对数函数
情境导学·探新知
NO.1
增函数
越来越快
越快
越来越慢
越慢
指数爆炸
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 指数函数、对数函数、幂函数图象的比较
类型2 几类函数模型增长差异的比较
类型3 函数模型的构建
当堂达标·夯基础
NO.3
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y元
y=0.4×2
140
120
y=l
Ox
100
80
60
40-→4→-x3→→
20
y=40
O24681012x/天指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学 习 目 标 核 心 素 养
结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、幂函数、指数函数增长速度的差异．理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．(重点、难点) 1．通过三种函数的增长特征的实际应用，培养数学建模素养．2．通过三种函数增长快慢的比较，培养直观想象素养.
1．当a>1时，函数y＝ax的增长速度与a的大小有什么关系？
2．当a>1时，函数y＝logax的增长速度与a的大小有什么关系？
3．当x>0，n>1时，函数y＝xn的增长速度与n的大小有什么关系？
1．三种函数的增长趋势
y＝ax(a>1) y＝logax(a>0) y＝xα(α>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数
图象的变化趋势 随x增大，近似与y轴平行 随x增大，近似与x轴平行 α值较小(α<1)，增长较慢；α值较大(α>1)时，增长较快
增长速度 ①随x增大，y＝ax增长速度越来越快，并且当a越大时，y＝ax增长的速度越快②随x增大，y＝logax增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝logax增长速度越慢③当x足够大时，一定有ax>xα>logax
2．当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”．
举例说明“指数爆炸”增长的含义．
[提示] 如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．( )
(2)指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越快．( )
(3)对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2.下图反映的函数的增长趋势是( )
A．一次函数 B．幂函数
C．对数函数 D．指数函数
C [从图象可以看出这个函数的增长速度越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势．]
3.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
y2 [以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)可知变量y2关于x呈指数型函数变化．]
类型1 指数函数、对数函数、幂函数图象的比较
【例1】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 020)，g(2 020)的大小．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)．
∴1∴x1<8从图象上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(2 020)>g(2 020)>g(8)>f(8)．
底数大于1的指数函数模型和幂指数大于1的幂函数模型都是增函数，增长的快慢交替出现，从这个实例我们可以体会到幂函数增长，指数爆炸等不同函数模型增大的含义．
1．四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是( )
A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝，d：y＝2－x
B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝
C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝，d：y＝2－x
D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝
C [a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.]
类型2 几类函数模型增长差异的比较
【例2】 已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 1 2 4 6 8 …
y1 2 4 16 64 256 …
y2 1 4 16 36 64 …
y3 0 1 2 2.585 3 …
则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是( )
A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x
B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x
C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x
D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2
B [从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型
幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
2．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
D [由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.]
类型3 函数模型的构建
【例3】 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
[解] 设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．
作出三个函数的图象如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．
天数累积收益方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 …
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 …
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 …
∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．
函数模型构建的一般步骤
(1)收集数据．
(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
(4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)；若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型分析实际问题．
3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.00 －1.00 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
B [在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当x>1时，y＝x2比y＝2x增长得更快．( )
(2)存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax(3)函数y＝x衰减的速度越来越慢．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
B [D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．]
3．以下四种说法中，正确的是( )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
D [对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当01，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不一定成立．]
4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为_____．
f(x)>g(x) [在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，
由于函数f(x)＝3x的图象始终在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)>g(x)．]
5．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________．
b所以a，b，c的大小关系是b*§5 信息技术支持的函数研究(略)
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