(共35张PPT)
章末综合提升
第四章 对数运算与对数函数
巩固层·知识整合
NO.1
提升层·题型探究
NO.2
类型1 对数的运算
类型2 函数图象及其应用
类型3 对数函数的性质及应用
体验层·真题感悟
NO.3
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指数运算与指数函数
指数概念N=a
指数运算
指数函数
对数概念b=og
对数运算
对数函数
对数运算与对数函数
y
y=
0g06第4章 对数运算和对数函数
类型1 对数的运算
【例1】 (1)求值：lg －lg ＋lg ；
(2)已知2lg＝lg x＋lg y，求log(3－2) .
[解] (1)原式＝(lg 32－lg 49)－lg 2＋lg 245
＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5－2lg 2
＝(lg 10－lg 5)＋lg 5＝.
(2)由已知得lg2＝lg xy，
∴2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴2－6＋1＝0.∴＝3±2.
∵∴＞1，
∴＝3＋2，
∴log ＝log (3＋2)＝log ＝－1.
对数式的化简与求值的两种思路
(1)利用幂的运算把底数或真数化成分数指数幂的形式，然后正用对数运算法则化简．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
1．(1)log2.56.25＋lg ＋ln ＋21＋log23的值是( )
A． B．
C． D．
(2)已知 ab＝M(a>0, b>0, M≠1), 且logM b＝x，则logM a＝( )
A．1－x B．1＋x
C． D．x－1
(1)B (2)A [(1)原式＝2－3＋＋6＝.
(2)由logM b＝x，得b＝Mx，
则a＝＝M1－x，所以logM a＝logMM1－x＝1－x.]
类型2 函数图象及其应用
由解析式判断函数图象
【例2】 已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(3)·g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是图中的( )
A B C D
[思路点拨] 本题的关键是确定a与1的关系，转化成指数函数与对数函数的关系．可利用排除法进行判断．
C [由于f(x)与g(x)互为反函数，所以它们的图象应关于直线y＝x对称，由此，可排除A，D.
又f(3)>0，而f(3)·g(3)<0，
则g(3)<0，
据此可知C正确，故应选C.]
2．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( )
A B C D
C [因为函数y＝log2x的反函数是y＝2x，所以f(x)＝2x.故f(1－x)＝21－x，因为此函数在R上是减函数，且过点(0,2)．因此选C.]
应用函数图象研究函数性质
【例3】 已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
[解] ∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如图．
由图示，要使x∈时恒有|f(x)|≤1，
只需≤1，即－1≤loga≤1，
故当a＞1时，得a－1≤≤a，即a≥3；
当0
综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，求abc的取值范围．
[解] 函数f(x)的图象如图：
设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，
不妨设a∴f(a)＝|ln a|＝－ln a，f(b)＝|ln b|＝ln b.
∴－ln a＝ln b，ln a＋ln b＝0，ln ab＝ln 1，∴ab＝1.
∴abc＝c∈(e，e2)．
函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．
类型3 对数函数的性质及应用
比较大小
【例4】 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f ，b＝f(log43)，c＝f(0.41.2)，则a，b，c的大小关系是_____．
c＞b＞a [∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且a＝f ＝f(－ln 3)＝f(ln 3)．
∵ln 3>ln e＝1，＝log42f(log43)>f(ln 3)，即c>b>a.]
对数函数大小比较的一般规律
(1)当底数相同时，用对数函数的性质直接比较；
(2)当底数不同，真数相同时，用图象作比较；
(3)当底数和真数都不相同时，常找一个“中间变量”统一底数或真数，常用“0”或“1”作为中介数．
4．比较log0.57与log0.67的大小．
[解] 在同一直角坐标系内作出对数函数y＝log0.5x和y＝log0.6x的图象，可得log0.57>log0.67.
函数性质综合应用
【例5】 已知函数f＝lg.
(1)求函数f 的定义域；
(2)在函数y＝f的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f 在(1，＋∞)上恒取正值？
[解] (1)由ax－bx>0得x>1，且a>1>b>0，得>1，所以x>0，即f 的定义域为(0，＋∞)．
(2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2，bx1所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，
即lg>lg，故f >f ，
所以f 在(0，＋∞)上为增函数；
假设函数y＝f 的图象上存在不同的两点A，B，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f 是增函数矛盾．
故函数y＝f 的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
(3)因为f 在(0，＋∞)上是增函数，
所以当x∈(1，＋∞)时，f >f .
这样只需f ＝lg≥0，
即当a≥b＋1时，f 在(1，＋∞)上恒取正值．
指数函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数来研究．
5．(一题两空)若f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则函数f(x)在[0,1]上的最大值为________，最小值为________．
1 － [当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝a0＋loga1＝1，所以a＋loga2＋1＝a，所以a＝，不合题意，舍去；当0此时f(x)max＝1，f(x)min＝＋log2＝－.]
1．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
A [由题变形可得2x－3－x<2y－3－y，
令f(x)＝2x－3－x，可知f(x)在R上单调递增，所以x0，y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>ln 1＝0，故选A.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．cB [由题知，a＝log20.220＝1,0c>a.]
3．(2019·全国卷Ⅱ)若a>b，则( )
A．ln(a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
C [A项：当a>b时，a－b>0，由函数y＝ln x的性质可知，当x>0时，ln x∈R.
B项：由a>1时，y＝ax在R上为增函数，当a>b时，3a>3b.
C项：y＝x3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3.
D项：举反例，当a＝2，b＝－3时，不满足题意，故选C.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1,0A．acC．alogbcC [法一：取特殊值，取a＝4，b＝2，c＝，
则ac＝2，bc＝，A错误，
由abc＝4，bac＝4，B错误，
logac＝－，logbc＝－1，D错误，故选C.
法二：A项，acB项：abcC项：alogbcD项：logacPAGE
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