(共37张PPT)
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
第五章 函数应用
情境导学·探新知
NO.1
零点
x轴交点的横坐标
连续
一正一负
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 求函数的零点
类型2 判断函数零点所在的区间
类型3 函数零点的个数问题
当堂达标·夯基础
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4利用函数性质判定方程解的存在性
学 习 目 标 核 心 素 养
1．理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系．(重点、易混点)2．会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．(重点)3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．(重点、难点) 1．通过对函数零点概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过把函数零点问题转化为对应函数图象交点的问题加以解决，培养直观想象素养.
1．函数零点的概念是什么？
2．如何判断函数的零点？
3．零点存在定理的内容是什么？
4．方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间有什么联系？
1．函数的零点概念
(1)概念：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．
(2)方程、函数、图象之间的关系：
函数y＝f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是方程f(x)＝0的解．
2．零点存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解.
(1)函数的“零点”是一个点吗？
(2)若f(a)·f(b)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？
[提示] (1)不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(2)不一定．如y＝x2－1在区间(－2,2)上有两个零点，但f(2)·f(－2)>0.
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的零点是一个点．( )
(2)所有的函数都有零点．( )
(3)若方程f(x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．( )
(4)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.函数f(x)＝log2x的零点是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
3.函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B．
C． D．
[答案] B
类型1 求函数的零点
【例1】 求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
[解] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
求函数零点的两种方法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
1．函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
1和10 [由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.]
类型2 判断函数零点所在的区间
【例2】 已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是
( )
A．(3,4) B．(2,3)
C．(1,2) D．(0,1)
C [∵f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，f(4)＝59>0.∴f(1)·f(2)<0，此零点一定在(1,2)内．]
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
C [∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在(0,1)内有零点．]
类型3 函数零点的个数问题
【例3】 判断下列函数零点的个数．
(1)f(x)＝x2－x＋；
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
[解] (1)由f(x)＝0，即x2－x＋＝0，
得Δ＝2－4×＝－<0，
所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即f(x)零点的个数为0.
(2)法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
1．若本例(1)中的函数改为“f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1”，且f(x)在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．
[解] 函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，
根据图象列出不等式组
解得∴－∴实数m的取值范围是.
2．将本例(2)中的函数改为“f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2”，试判断零点的个数．
[解] 法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．
故函数f(x)有且只有一个零点．
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
3．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
0 [∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，∴Δ＝－3b2<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝x－1的零点是x＝1，而不是(1,0)．( )
(2)设f(x)＝，由于f(－1)f(1)<0，所以f(x)＝在(－1,1)内有零点．( )
(3)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( )
(4)若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点．( )
[提示] (1)正确．由函数零点的定义可知(1)正确．
(2)错误．由于f(x)＝的图象在[－1,1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论．
(3) 错误．反例：f(x)＝x2－2x，区间为(－1,3)，
则f(－1)·f(3)>0.
(4) 错误．反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1,3)，满足条件，但f(x)在(－1,3)内有0,1,2三个零点．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
D [选项D中的函数图象与x轴没有交点，故该函数没有零点．]
3．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B．
C． D．
B [f(1)＝2－1＝1，f ＝2 －2＝－2<0，
即f f(1)<0，
且f(x)的图象在内是一条连续不断的曲线，
故f(x)的零点所在的区间是.]
4．函数f(x)＝x2－5x的零点是________．
0和5 [令x2－5x＝0，解得x1＝0或x2＝5，所以函数f(x)＝x2－5x的零点是0和5.]
5．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个．
3 [由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)· f(5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．]
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6(共43张PPT)
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.2 利用二分法求方程的近似解
第五章 函数应用
情境导学·探新知
NO.1
中点
异号
中点
异号
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 二分法的概念理解
类型2 利用二分法求方程的近似解
数学阅读·拓视野
NO.3
当堂达标·夯基础
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选定初始区间
取区间的中点
中点函
是
数值为0
得到新区间
新区间的长
否
度小于精确度
是
选取区间内任意一个数
结束利用二分法求方程的近似解
学 习 目 标 核 心 素 养
1．理解二分法的原理及其适用条件．(重点)2．掌握二分法的实施步骤．(重点)3．体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．(重点、难点) 1．通过对二分法概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过利用二分法求函数零点的近似解，培养数学运算素养.
1．若x0是满足精度ε的近似值，则x0应满足什么条件？
2．二分法的定义是什么？
3．如何用二分法求函数的零点或方程的近似解？
1．二分法的概念
(1)满足精度ε的近似解：设是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－|＜ε，就称x0是满足精度ε的近似解．
(2)二分法的定义：对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．
2．二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程近似解的过程可以用下图表示出来．
其中：
“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间；
新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．
(1)所有函数的零点都可以用二分法求出吗？
(2)“精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗？
[提示] (1)不是，例如函数y＝(x＋)2的零点－就无法用二分法求出．
(2)不一样．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34)．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
A B
C D
A [只有选项A中的函数有变号零点，所以能用二分法求其零点的近似值．]
2.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，－1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
A [∵f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，f(－2)·f(－1)<0，故可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]
类型1 二分法的概念理解
【例1】 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是
( )
A B
C D
A [按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.]
判断函数能否用二分法求零点的依据
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
1．下列函数中能用二分法求零点的为( )
A B C D
B [函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合．]
类型2 利用二分法求方程的近似解
【例2】 求方程x3－3＝0的一个近似解．(精确度为0.02)
[思路点拨] 利用二分法求解．
[解] 考查函数f(x)＝x3－3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在的区间．
经计算f(1)＝－2<0，f(2)＝5＞0，所以方程x3－3＝0在区间(1,2)内有解．
取区间(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝0.375＞0，所以方程x3－3＝0在区间(1,1.5)内有解．
如此下去，得到方程x3－3＝0的解所在区间(如下表)：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －2 2 5 1
第2次 1 －2 1.5 0.375 0.5
第3次 1.25 －1.047 1.5 0.375 0.25
第4次 1.375 －0.400 1.5 0.375 0.125
第5次 1.437 5 －0.030 1.5 0.375 0.062 5
第6次 1.437 5 －0.030 1.468 75 0.168 0.031 25
第7次 1.437 5 －0.030 1.453 1 25 0.068 4 0.015 625
至此可以看出区间[1.437 5,1.453 125]的区间长度小于0.02，而方程的近似解就在这个区间内，因此区间内任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，1.45就是方程x3－3＝0精确度为0.02的一个近似解．
1．本例变为：根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是________．
f(1)＝－1 f(2)＝3 f(1.5)＝－0.125
f(1.75)＝1.109 375 f(1.625)＝0.416 015 625 f(1.562 5)＝0.127 197 265
1.5 [由表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5，1.562 5)上，又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.]
2．如何求的近似值？(精确度为0.01)
[解] 设x＝，则x3＝2，即x3－2＝0，
令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点．
由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值
(1,2) 1.5 1.375
(1,1.5) 1.25 －0.046 9
(1.25,1.5) 1.375 0.599 6
(1.25,1.375) 1.312 5 0.261 0
(1.25,1.312 5) 1.281 25 0.103 3
(1.25,1.281 25) 1.265 625 0.027 3
(1.25,1.265 625) 1.257 812 5 －0.010 0
由于|1.265 625－1.257 812 5|＝0.007 812 5<0.01，所以1.265 625是函数的零点的近似值，即的近似值是1.265 625.
1．用二分法求方程近似解应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求方程近似解步骤的记忆口诀
定区间，找中点，中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，利用精度把关口．
2．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5 <0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.
二分法的实际应用
[典例] 乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的．乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味，乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神，很有好处．因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动．
现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？用一架天平，限称b次，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重．
[问题探究]
1．当a＝12，b＝3时，该如何称？
[提示] 第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中．第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上．
①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；
②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重．任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．
(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重．从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边．看天平，有三种可能．
①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；
②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边．因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重．
2．若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，求b的最大值．
[提示] 将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”．
综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间．( )
[提示] (1)错误．如函数f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解．
(2)错误．对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)f(b)<0，所以不能用二分法求其零点．
(3)错误. 函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f(x) 3.1 0.1 －0.9 －3
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3，＋∞)
B [因为f(1)＞0，f(2)＜0，由零点存在定理可知f(x)一定存在零点的区间是(1,2)．]
3．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f ＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间或内的任意一个实数
D．x＝a或b
B [因为f ＝0，所以x＝就是函数f(x)的零点．]
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0,0.5) f(0.25) [因为f(0)<0，f(0.5)>0，
所以f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ＝f(0.25)．]
5．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
a2＝4b [∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，
∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．
∴Δ＝a2－4b＝0.
∴a2＝4b.]
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