(共53张PPT)
§2 实际问题中的函数模型
第五章 函数应用
情境导学·探新知
NO.1
kx
kx＋b
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 利用二次函数模型解决实际问题
类型2 利用指数、对数型函数模型解决实际问题
类型3 利用分段函数模型解决实际问题
类型4 建立拟合函数模型解决实际问题
当堂达标·夯基础
NO.3
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y/千元
432
画图
根据原始数据、表格,绘出散点图
画线
通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即
拟合直线或拟合曲线
选求
根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函
函数
数解析式
利用函数解析式,根据条件对所给问题提出问题预
解题
测和控制,为决策和管理提供依据实际问题中的函数模型
学 习 目 标 核 心 素 养
1．会用函数图象的变化刻画变化过程．(重点、难点)2．能够用已知的函数模型刻画实际问题．(难点)3．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．(重点、难点) 1． 通过把实际应用问题转化为数学问题，培养数学抽象素养．2．通过利用函数模型解决实际问题，培养数学建模素养.
1．常见的函数模型有哪几种？
2．解决函数应用题一般有哪几个步骤？
1．常见的函数模型
(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
2．应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤：
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
(1)对于解决实际应用问题时得到的函数，如何确定其定义域？
(2)求函数最大值或最小值的方法一般有哪些？
[提示] (1)在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人必须为自然数等．
(2)利用函数的单调性，利用基本不等式，利用基本初等函数的值域等．
1.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b
B [因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的函数模型应为二次函数，故选B.]
2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100x
C [当x＝4时，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004.故选C.]
3.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2015年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2021年冬有越冬白鹤( )
A．4 000只 B．5 000只
C．6 000只 D．7 000只
C [当x＝1时，由3 000＝alog3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2021年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.故选C.]
类型1 利用二次函数模型解决实际问题
【例1】 已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量减少x(其中x>0)成．
(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？
(2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．
[解] 设商品原价格为m，每天的原销售量为n，
则每天的原营业额为m·n，涨价后每天的营业额为y＝m···n.
(1)y＝m···n＝·m·n.
当x＝，即涨价12.5%时，每天的营业额最大．
(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，则需m···n＞m·n，
即2x2－5x＜0，变形得x(2x－5)<0.
又x>0，故0＜x＜.
∴x的取值范围为.
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少．
[解] 设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)．
设u＝，则u∈[0,2]，y＝60u2－100u＋400＝602＋150，
∴当u＝，
即t＝小时时，蓄水池中的存水量最少．
类型2 利用指数、对数型函数模型解决实际问题
【例2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)该森林今后最多还能砍伐多少年？
[解] (1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，则a(1－p%)m＝a，
即＝，
＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n.
令a(1－p%)n≥a，
即(1－p%)n≥，≥，
得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年．
指数函数模型的应用
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若最初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
[解] 依题意，得·n≤，即n≤.则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
故n≥≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
类型3 利用分段函数模型解决实际问题
【例3】 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
[解] (1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，
∴f(x)＝
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，
所以当x＝150时，有最大值12 500；
当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，
f(x)<30 000－100×200<12 500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元．
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
3．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
[解] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，
由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并结合(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0,20]上取得最大值60×20＝1 200；
当20所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.
综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
类型4 建立拟合函数模型解决实际问题
【例4】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．
年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷)
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
[解] (1)描点，作图如图①所示．
图①
(2)从图①可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性模型：y＝a＋bx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，即解得a≈2.4，b≈1.8，
所以该函数模型为：y＝2.4＋1.8x.
作出函数图象(如图②)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪面积与灌溉面积的关系．
图②
(3)由(2)得y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷．
建立拟合函数与预测的基本步骤
4．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并说明理由；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[解] (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg).
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．( )
(2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．( )
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( )
[提示] (1)错误．实际问题中的两个变量之间不一定有确定的函数关系．
(2)错误．在函数模型中，函数的定义域除了使函数式有意义，还要满足实际问题的要求．
(3)错误．用函数模型预测结果和实际结果可能不完全相等，但是函数模型也有意义．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
D [由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．]
3．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为( )
A．3 000×1.06×7元 B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元
B [根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067.故选B.]
4．设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________ kPa.
81 [将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝，y与x的函数关系可近似表示为y＝100ex，当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81.]
5．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等．它是未来汽车的发展方向．一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为40 000辆时，创造的价值达到最大6 000万元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5 625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是________辆．
30 000或50 000 [设二次函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则根据题意得： ，
解得
故y＝－×10－5·x2＋x，
令y＝5 625，解得x＝30 000或x＝50 000.
故答案为30 000或50 000.]
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