(共39张PPT)
章末综合提升
第五章 函数应用
巩固层·知识整合
NO.1
提升层·题型探究
NO.2
类型1 函数的零点及其应用
类型2 二分法及应用
类型3 函数的实际应用
体验层·真题感悟
NO.3
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零点的定义
方程解
的存在性
零点的求解
零点存在定理
二分法的概念
函数
方程的
应用
近似解
应用
二分法的步骤
用函数刻画实际问题
实际问题中
的函数模型
用函数模型解决实际
问题第5章 函数应用
类型1 函数的零点及其应用
【例1】 (1)已知函数f (x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是
( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
(1)C (2)C [(1)因为f (x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝ln 1－－1＝ln 1－2<0，f(2)＝ln 2－0<0，f (3)＝ln 3－1>0，所以x0∈(2,3)，故选C.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点．作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
]
1. 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．
1．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
B [法一：由f(x)＝0得
或
解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．
法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．
]
类型2 二分法及应用
【例2】 设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的．
先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.
所以f(x)在区间________内存在一个零点x0，填下表，
区间 中点m f(m)符号 区间长度
结论x0的值为多少？(精确度0.1)
[解] f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，
所以初始区间为(1,2)．
区间 中点m f(m)符号 区间长度
(1,2) 1.5 ＋ 1
(1,1.5) 1.25 ＋ 0.5
(1,1.25) 1.125 － 0.25
(1.125,1.25) 1.187 5 ＋ 0.125
(1.125,1.187 5) 0.062 5
因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以x0≈1.125(不唯一)．
使用二分法的注意事项
(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小．
(2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求．
(3)二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得．
2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165.那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以为(精确度为0.1)( )
A．1.2 B．1.35
C．1.43 D．1.5
C [∵f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，∴函数f(x)在(1.375,1.438)内存在零点，又|1.438－1.375|<0.1，结合选项知1.43为方程f(x)＝0的一个近似根．]
类型3 函数的实际应用
【例3】 《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3 500元(即3 500元以下不必纳税，超过3 500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率%
不超过1 500元的部分 3
超过1 500元至4 500元部分 10
(1)列出公民全月工资总额x(0
(2)李明1月份工资总额为6 500元，他本月应缴纳的个人所得税款是多少？
[解] (1)依题意可得：
①当0②当3 500③当5 000综上可得y＝
(2)由(1)可得，当x＝6 500元时，应缴纳的个人所得税为0.1×6 500－455＝195元．
刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？
[解] 因为需交税300元，故有5 000所以300＝0.1x－455，所以x＝7 550.
即刘丽十二月份工资总额为7 550元．
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主、被动关系，并用x，y分别表示．
(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．
(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．
3．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
2 500 [由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝－10Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元)．]
1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
B [因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，所以函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0,1)对称，所以i＝0，i＝×2＝m，故选B.]
2．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
B [设经过x年后全年投入的研发资金超过200万元，则130(1＋12%)x>200，解得x>＝≈＝3.8，所以开始超过200万元的年份是2019年．]
3．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需支付________元．
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
①130 ②15 [①顾客需要支付60＋80－10＝130元．
②设每笔订单促销前总价为t(t≥120)，所以0.8(t－x)≥0.7t，所以x≤恒成立，所以x≤＝15，所以x的最大值为15元．]
4．(2018·天津高考)已知a>0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．
(4,8) [作出函数f(x)的示意图，如图．l1是过原点且与抛物线y＝－x2＋2ax－2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线y＝x2＋2ax＋a相切的直线．
由图可知，当直线y＝ax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符合题意．
由消去y，
整理得x2－ax＋2a＝0.
由Δ＝0，得a＝8(a＝0舍去)．
由消去y，
整理得x2＋ax＋a＝0.
由Δ＝0，得a＝4(a＝0舍去)．
综上，得45．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是( )
A．∪(2，＋∞)
B．∪(0,2)
C．(－∞，0)∪(0,2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D [函数g(x)的零点个数转化为曲线y＝f(x)与y＝|kx2－2x|＝的交点个数．当k<0时，作出图象如图(1)所示，可知此时两条曲线总有4个交点．当k＝0时，作出图象如图(2)所示，此时两条曲线只有2个交点．当k>0时，作出图象如图(3)所示，要使两条曲线有4个交点，则它们在x＝右侧有两个交点，等价于方程x3－kx2＋2x＝0有三个实根(其中一个为0)，由x2－kx＋2＝0得Δ＝k2－8>0，所以k>2.综上，可得k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
图(1)
图(2) 图(3)]
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