(共36张PPT)
§2 抽样的基本方法
2.1 简单随机抽样
第六章 统计
情境导学·探新知
NO.1
逐个不放回
相等
抽签法
随机数法
相同
不透明
编号
0,1,2，…，N－1
编号
随机
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 简单随机抽样的判断
类型2 抽签法的应用
类型3 随机数法
当堂达标·夯基础
NO.3
1
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4
5
1
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3
4简单随机抽样
学 习 目 标 核 心 素 养
1．通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程．(重点)2．掌握两种简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．(重点、难点)3．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，选择恰当的抽样方法解决问题．(重点、易混点) 1. 通过对简单随机抽样概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助简单随机抽样过程的实施，培养数据分析素养.
1．简单随机抽样的概念是什么？有哪些抽样方法？
2．抽签法和随机数表法各有什么特点？抽样的步骤是什么？
1．简单随机抽样的概念
(1)定义：一般地，从N个不同个体构成的总体中，逐个不放回地抽取n个个体组成样本，并且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的可能性相等，这样的抽取方法叫作简单随机抽样．
(2)实施方法：简单随机抽样的实施方法通常采用抽签法和随机数法．
2．抽签法
(1)定义：先把总体中的N个个体编号，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上(签可以是纸条、卡片或小球等)，然后将这些号签放在同一个不透明的箱子里摇均匀．每次随机地从中抽取一个，然后将箱中余下的号签摇均匀，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本容量．
(2)抽签法的具体步骤：
①给总体中的每个个体编号；②抽签．
3．随机数法
(1)定义：先把总体中的N个个体依次编码为0,1,2，…，N－1，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0,1,2，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选第几号个体，直至选到预先设定的样本容量．
(2)利用随机数表进行抽样的具体步骤：
①给总体中的每个个体编号；
②在随机数表中随机抽取某行某列作为抽样的起点，并规定读取方法；
③依次从随机数表中抽取样本号码，凡是抽到编号范围内的号码，就是样本的号码，并剔除相同的号码，直至抽满为止．
(1)某同学说：“随机数表只有一张，并且读数时只能按照从左向右的顺序读取，否则产生的随机样本就不同了，对总体的估计就不准确了．”你认为这种说法正确吗？
(2)抽签法中确保样本代表性的关键是什么？
[提示] (1)不正确，随机数表的产生是随机的，读数的顺序也是随机的，不同的样本对总体的估计相差并不大．
(2)搅拌均匀是为了使每个个体进入样本的可能性相等，保证样本真实反映总体特征．
1.某年级共有4个班，每班各有40名学生(其中男生8人，女生32人)．若从该年级学生中采用简单随机抽样的方法抽出20人，则下列选项中正确的是( )
A．每班至少会有一人被抽中
B．抽出来的女生人数一定比男生人数多
C．已知小文是男生，小美是女生，则小文被抽中的概率小于小美被抽中的概率
D．若学生甲和学生乙在同一班，学生丙在另外一班，则甲、乙两人同时被抽中的概率跟甲、丙两人同时被抽中的概率一样
D [在抽样过程中，每个个体被抽到的可能性都相等，从该年级学生中采用简单随机抽样的方法抽出20人，所有班的学生被抽到的可能性都一样，其中任意两个人被同时抽到的可能性都一样，故选D.]
2.下列抽样试验中，用抽签法方便的是( )
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检测
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
B [A总体容量较大，样本容量也较大，不适宜用抽签法；B总体容量较小，样本容量也较小，可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D总体容量较大，不适宜用抽签法．]
类型1 简单随机抽样的判断
【例1】 下列抽样中，简单随机抽样的个数是( )
①一位儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；
④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
A．0 B．1
C．2 D．3
B [根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有④是简单随机抽样．]
简单随机抽样必须具备下列特点：
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样．
如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．
1．为了进一步严厉打击交通违法，交警队在某一路口随机抽查司机是否酒驾，这种抽查是( )
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．随机数法 D．以上都不对
D [由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．]
类型2 抽签法的应用
【例2】 为迎接新生入校，现从报名的20名志愿者中选取5人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
[解] (1)将20名志愿者编号，号码分别是01,02，…，20；
(2)将号码分别写在20张大小、形状都相同的纸条上，揉成团儿，制成号签；
(3)将所得号签放在一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；
(4)从袋子中依次不放回地抽取5个号签，并记录下上面的编号；
(5)所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．
2．应用抽签法时应注意以下几点：
(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；
(2)号签要求大小、形状完全相同；
(3)号签要均匀搅拌；
(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．
2．从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．
[解] 第一步，将20架钢琴编号，号码是01,02，…，20.
第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步，从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号．
第五步，与所得号码对应的5架钢琴就是要进行质量检查的对象．
类型3 随机数法
【例3】 假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，应如何操作？
下面为随机数表第7行至第9行
3211 4919 7306 4916 7677(第7行)
2748 6198 7164 4148 7086(第8行)
7477 0111 1630 2404 2979(第9行)
[解] 第一步，将500袋牛奶编号为000,001，…，499.
第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数(例如选出第8行第2列的数7)．
第三步，从选定的数7开始依次向右三位三位读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，重复的只记一次，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本．
1．在本例中，如果从以下随机数表第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽到的第4个个体的编号是________(下面摘录了随机数表第6行至第8行各数)．
16 22 77 94 39 49 54 53 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64(第6行)
86 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 72 06 50 25 83 42 16 33 76(第7行)
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第8行)
206 [找到第7行第4列的数开始向右读，第1个符合条件的数是217，第2个数533，不成立，第3个数157，第4个数245，这样依次读出结果，合适的数是217,157,245,217,206，其中217与前面重复，舍掉．故第4个数是206.]
2．在本例中，对抽取的60袋牛奶进行检验，其中有3袋牛奶为不合格产品，据此试估计在500袋牛奶中，大约有多少袋牛奶为不合格产品？
[解] 由题意可知，在500袋牛奶中任意一袋牛奶为不合格产品的可能性为＝，所以在500袋牛奶中，不合格产品的数量大约为500×＝25.
随机数法的注意点
(1)当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本．
(2)用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数．
(3)将总体中的个体进行编号时，可以从0开始，也可以从1开始．
(4)注意从随机数表中抽取编号时应遵循的规则．
3．现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验，如何用随机数表法设计抽样方案？
[解] 第一步，将元件的编号调整为010,011,012，…，099,100，…，600.
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选例3母题探究1中第6行第7个数9.
第三步，从数9开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到545,354,378,520,384,263.
第四步，以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象．(答案不唯一)
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)简单随机抽样也可以是有放回的抽样．( )
(2)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等．( )
(3)采用随机数法抽取样本时，个体编号的位数必须相同．( )
[提示] (1)错误．简单随机抽样是不放回抽样．
(2)正确．
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．抽签法确保样本代表性的关键是( )
A．制签 B．搅拌均匀
C．逐一抽取 D．抽取不放回
B [若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀．]
3．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．随机抽样法 D．以上都不对
B [由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数法较为合适．]
4．某班50名学生中有30名男生，20名女生，用简单随机抽样抽取1名学生参加某项活动，则抽到女生的可能性为________．
0.4 [在简单随机抽样中，每个个体被抽到机会相等，即＝0.4.]
5．在总体为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N的值为________．
120 [据题意＝0.25，故N＝120.]
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6(共39张PPT)
§2 抽样的基本方法
2.2 分层随机抽样
第六章 统计
情境导学·探新知
NO.1
若干类型
所占比例
差异明显
百分比
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 对分层随机抽样概念的理解
类型2 分层随机抽样的应用
类型3 分层随机抽样中的计算问题
当堂达标·夯基础
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分层
按某种特征将总体分成若干类型(层)
计算
抽样比
抽样比样本容量
总体容量
定数
按抽样比确定每层抽取的个体数
抽样
各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本
成样
综合各层抽样组成样本分层随机抽样
学 习 目 标 核 心 素 养
1．理解分层随机抽样的基本思想和适用情形．(重点)2．掌握分层随机抽样的实施步骤．(重点)3．了解简单随机抽样和分层随机抽样方法的区别和联系．(易混点) 1．通过对分层随机抽样概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助分层随机抽样过程的实施，培养数据分析素养.
分层随机抽样的定义是什么？有什么特点？
分层随机抽样的概念
定义 将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样
适用条件 总体是由差异明显的几类个体构成，并且知道某一类个体在总体中所占的百分比
优点 能很好地反映总体的规律，也会提高对总体推断的准确性
(1)某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小．在抽取样本时可以用简单随机抽样吗？为什么？
(2)简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？
[提示] (1)在此总体中，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质、近视情况等方面存在着明显的差异．若采用简单随机抽样，抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性．
(2)区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取样本．
联系：(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样．
1.下列抽样试验中，最适合用分层随机抽样方法抽样的是( )
A．某礼堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后，为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某地区农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平原24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
D．从50个零件中抽取5个做质量检验
C [A的总体容量较大，但个体之间的差异不明显，不宜采用分层随机抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C的总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层随机抽样方法；D与B类似，宜采用简单随机抽样法．]
2.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，拟采用分层随机抽样的方法从他们中抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是( )
A．7,11,18 B．6,12,18
C．6,13,17 D．7,14,21
D [由题意，该单位老年人、中年人、青年人的人数比为1∶2∶3.由分层随机抽样的特点知，老年人应抽取的人数为×42＝7，中年人应抽取的人数为×42＝14，青年人应抽取的人数为×42＝21，故选D.]
类型1 对分层随机抽样概念的理解
【例1】 分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
C [保证每个个体等可能的被抽取是分层随机抽样的基本特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]
1．使用分层随机抽样的前提
分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．
2．使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
1．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
B [A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．]
类型2 分层随机抽样的应用
【例2】 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
[解] 抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝.
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；
从教师中抽取112×＝14(人)；
从后勤人员中抽取32×＝4(人)．
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
分层随机抽样的步骤
2．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
[解] 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法．
具体过程如下：
第一步，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
第二步，按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人．
第三步，按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
第四步，将300人合到一起，即得到一个样本．
类型3 分层随机抽样中的计算问题
【例3】 (1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．
(1)B (2)20 [(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，
所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，
所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人)．
(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，
又总体中每个个体被抽到的概率相等，
∴分层随机抽样应从C中抽取100×＝20(个)个体．]
1．在本例(1)中，把条件“其中甲社区有驾驶员96人，若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43”换为“甲社区的驾驶员人数占四个社区驾驶员总人数的，若从甲社区抽取的驾驶员人数为16”，则抽取的样本容量是多少？
[解] 设抽取的样本容量为n，由题意可知＝，解得n＝96，即所抽取的样本容量为96.
2．在本例(2)中，把条件“其个体数之比为5∶3∶2”换为“已知A层的个体数为200，且从中抽取的样本数为10”，其余不变，则总体容量是多少？
[解] 设总体容量为N，由题意可知，＝，解得N＝2 000.
进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的2个关系
(1)＝；
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
3．某网站针对“2020年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含35岁)的人数 100 100 400
(1)从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；
(2)从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
[解] (1)由题意得＝
，
解得n＝40.
(2)35岁以下的人数为×400＝4，
35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小．( )
(2)分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的．( )
(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样
( )
[提示] (1)错误．在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本容量大小外，还要依据总体的构成情况．
(2)错误. 根据抽样的意义，对每个个体都是公平的．
(3)错误．适合用简单随机抽样．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是
( )
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．随机数表法 D．分层随机抽样
D [从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样．]
3．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为
( )
A．30 B．25
C．20 D．15
C [样本中松树苗为4 000×＝4 000×＝20(棵)．]
4．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________.
13 [依题意得＝，故n＝13.]
5．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
60 [根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.]
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