第1课时 实验：探究向心力大小的表达式
学习目标 (1)有控制变量的意识，能制订科学探究方案． (2)能制订探究方案，选用合适的器材获得数据． (3)能分析实验数据，总结向心力大小的表达式，形成结论． (4)能撰写简单的报告，对实验探究过程与结果进行交流和反思．
必备知识·自主学习——突出基础性 素养夯基
一、实验目的
1．定性分析向心力大小的影响因素．
2．学会使用向心力演示器．
3．探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系．
二、基本思想：控制变量法
三、实验设计——各个物理量的测量和调整方法
1．向心力的测量：由塔轮中心标尺露出的等分格的读数读出．
2．质量的测量：用天平直接测量．质量的调整：选用不同的钢球和铝球．
3．轨道半径的测量：根据长、短槽上的刻度读出小球到转轴的距离．
轨道半径的调整：改变小球放置在长、短槽上的位置．
4．角速度的测量：通过测量变速塔轮的直径确定角速度的比值．
角速度的调整：改变皮带所连接的变速塔轮．
四、探究过程
关键能力·合作探究——突出综合性 素养形成
探究点一 影响向心力大小因素的定性分析
典例示范
【例1】 为了探究物体做匀速圆周运动时，向心力与哪些因素有关，某同学进行了如下实验：如图甲所示，绳子的一端拴一个小沙袋，绳上离小沙袋L处打一个绳结A，2L处打另一个绳结B.请一位同学帮助用秒表计时．如图乙所示，做了四次体验性操作．
操作1：手握绳结A，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周，体验此时绳子拉力的大小．
操作2：手握绳结B，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周，体验此时绳子拉力的大小．
操作3：手握绳结A，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动2周，体验此时绳子拉力的大小．
操作4：手握绳结A，增大沙袋的质量到原来的2倍，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周，体验此时绳子拉力的大小．
(1)操作2与操作1中，体验到绳子拉力较大的是________；
(2)操作3与操作1中，体验到绳子拉力较大的是________；
(3)操作4与操作1中，体验到绳子拉力较大的是________；
(4)总结以上四次体验性操作，可知物体做匀速圆周运动时，向心力大小与________有关．
A．半径 B．质量
C．周期 D．线速度的方向
(5)实验中，该同学体验到的绳子的拉力是否是沙袋做圆周运动的向心力________(选填 “是”或“不是”)．
练1 如图所示，质量为m1的球1与质量为m2的球2放置在某向心力演示器上．该演示器可以将向心力的大小由两边立柱的刻度显示出来，左边立柱可显示球1所受的向心力F1的大小，右边立柱可显示球2所受的向心力F2的大小．皮带与轮A、轮B有多种组合方式，图示为其中的一种组合，此时连接皮带的两轮半径RA＝RB.图中两球到立柱转轴中心的距离r1＝r2，下列说法正确的是( )
A．若m1>m2，摇动手柄，则立柱上应显示F1B．若m1＝m2，仅将球1改放在N位置，摇动手柄，则立柱上应显示F1>F2
C．若m1＝m2，仅调整皮带位置使RA>RB，则立柱上应显示F1>F2
D．若m1＝m2，既调整皮带位置使RA>RB，又将球1改放在N位置，则立柱上应显示F1>F2
探究点二 影响向心力大小因素的定量分析
典例示范
【例2】 用如图所示的装置来探究钢球做圆周运动所需向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系．探究过程中某次实验时装置的状态如图所示．
(1)在研究向心力的大小Fn与质量m之间的关系时，要保持________相同．
A．m和r B．ω和m C．ω和r D．m和Fn
(2)若两个钢球质量和转动半径相等，则是在研究向心力的大小Fn与________之间的关系．
A．质量m B．角速度ω C．半径r
(3)若两个钢球质量和转动半径相等，且标尺上红白相间的等分标记显示出两个钢球所受向心力的比值为1∶9，则与皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为________．
A．1∶3 B．9∶1 C．1∶9 D．3∶1
练2 在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示仪如图1、图2所示．图3是部分原理示意图：其中皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的2倍，两转臂上黑白格的长度相等．A、B、C为三根固定在转臂上的短臂，可对转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，图2中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系．可供选择的实验球有：质量均为2m的球Ⅰ和球Ⅱ，质量为m的球Ⅲ.
(1)为探究向心力与圆周运动轨道半径的关系，实验时应将皮带与轮①和轮________相连，同时应选择球Ⅰ和球________作为实验球；
(2)若实验时将皮带与轮②和轮⑤相连，这是要探究向心力与________(填物理量的名称)的关系，此时轮②和轮⑤的这个物理量值之比为________，应将两个实验球分别置于短臂C和短臂________处；
(3)本实验采用的实验方法是________，下列实验也采用此方法的是________；
A．探究平抛运动的特点
B．验证机械能守恒定律
C．探究加速度与力和质量的关系
D．探究两个互成角度的力的合成规律
(4)如图所示，一根细线穿过水平台面中间的小孔，它的一端系一小球，另一端挂一钩码．给小球一个初速度，使小球在细线的作用下恰好在水平台面上做匀速圆周运动．不考虑球与台面间的摩擦．某时刻，在碰到台面上一根固定钉子后，细线断了．用本探究实验所得到的结论进行解释，线断的原因是：细线碰到钉子时，小球________．
A．速度变大，所需向心力增大的缘故
B．速度减小，所需向心力减小的缘故
C．速度不变，所需向心力增大的缘故
D．角速度不变，所需向心力减小的缘故
随堂演练·达标自测——突出创新性 素养达标
1．某同学利用向心力演示器探究影响向心力大小的因素．该同学在某次实验过程中，皮带带动的两个变速塔轮的半径相同，将两个完全相同的小球按如图所示放置，可判断该同学是在研究( )
A．向心力大小与质量之间的关系
B．向心力大小与角速度之间的关系
C．向心力大小与线速度之间的关系
D．向心力大小与半径之间的关系
2．用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关．
(1)本实验采用的科学方法是________．
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法 D．放大法
(2)通过本实验可以得到的结果是________．
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
3．控制变量法是物理实验探究的基本方法之一．如图是用控制变量法探究向心力大小与质量m、角速度ω和半径r之间关系的实验情境图，其中
(1)探究向心力大小与质量m之间关系的是图________；
(2)探究向心力大小与角速度ω之间关系的是图________．
第1课时 实验：探究向心力大小的表达式
关键能力·合作探究
探究点一
【例1】 【解析】 (1)根据F＝mω2r知，操作2与操作1相比，操作2的半径大，小球质量和角速度相等，知拉力较大的是操作2；(2)根据F＝mω2r知，操作3与操作1相比，操作3小球的角速度较大，半径不变，小球的质量不变，知操作3的拉力较大；(3)操作4和操作1比较，半径和角速度不变，小球质量变大，根据F＝mω2r知，操作4的拉力较大；(4)由以上四次操作，可知向心力的大小与质量、半径、角速度有关，故选A、B、C；(5)实验中，该同学体验到的绳子的拉力不是沙袋做圆周运动的向心力．
【答案】 (1)操作2 (2)操作3 (3)操作4 (4)ABC (5)不是
练1 解析：A错：因为RA＝RB，所以ωA＝ωB.根据Fn＝mω2r可知，若m1>m2，则F1>F2.B对：仅将球1改放在N位置，则r1>r2，根据Fn＝mω2r可知，若m1＝m2，则F1>F2.C错：仅调整皮带位置使RA>RB，两轮边缘线速度相等，根据v＝ωr可知ωA<ωB，根据Fn＝mω2r可知，若m1＝m2，则F1RB，则ωA<ωB，将球1改放在N位置，则r1>r2，根据Fn＝mω2r可知，F1与F2大小关系不确定．
答案：B
探究点二
【例2】 【解析】 (1)在探究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制某些量不变，再研究另外两个物理量之间的关系，该方法为控制变量法，据此可知，要研究Fn与m之间的关系，需保持ω和r相同，选项C正确．(2)根据控制变量法可知，两球的质量和转动半径相等时，研究的是向心力的大小Fn与角速度ω之间的关系，选项B正确．(3)根据Fn＝mω2r，两球的向心力之比为1∶9，转动半径和质量相等可知，两球转动的角速度之比为1∶3.因为靠皮带传动，两变速塔轮的线速度大小相等，根据v＝rω知，与皮带连接的两变速塔轮的半径之比为3∶1，选项D正确．
【答案】 (1)C (2)B (3)D
练2 解析：(1)探究向心力与圆周运动轨道半径的关系，根据F＝mω2r可知，需保证两球的质量和转动的角速度相同，所以应选择球Ⅰ和球Ⅱ作为实验球；为保证角速度相同，则在皮带传动的过程，线速度大小相等，只需要选择半径相同的轮①和轮④即可；
(2)实验时将皮带与轮②和轮⑤相连，因为轮②和轮⑤边缘的线速度大小相等，半径之比为4∶1，则两轮的角速度不同，所以实验是探究向心力与角速度的关系，则需保证小球转动时半径相等，故选用短臂A，根据v＝ωr可知角速度之比为1∶4；
(3)该实验过程是保证了其余因素不变，探究向心力和其中一个影响因素的关系，所以采用的是控制变量法，而探究加速度与力和质量的关系时，也是保证力不变，探究加速度与质量的关系和保证质量不变探究加速度与力的关系，故C项正确；
(4)碰到钉子速度不突变，半径减小，根据向心力表达式可知需要的向心力增大，故A、B、D错误，C正确，故选C.
答案：(1)④ Ⅱ (2)角速度 1∶4 A (3)控制变量法 C (4)C
随堂演练·达标自测
1．解析：皮带带动的两个变速塔轮的半径相同则两小球的角速度ω相同，两小球完全相同则质量m相同，根据Fn＝mω2r知，在质量和角速度一定的情况下，可研究向心力的大小与半径的关系，故D正确，A、B、C错误．
答案：D
2．解析：(1)在该装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力的大小与质量之间的关系，故采用的是控制变量法，故选A.
(2)本实验通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，故选C.
答案：(1)A (2)C
3．解析：(1)根据F＝mrω2，要研究小球受到的向心力大小与质量m的关系，需控制小球的角速度和转动的半径不变，故丙图正确．
(2)根据F＝mrω2，要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和转动的半径不变，故甲图正确．
答案：(1)丙 (2)甲第2课时 向心力
(1)知道向心力是根据力的效果命名的，会分析向心力的来源． (2)掌握向心力的表达式，能够计算简单情境中的向心力． (3)知道变速圆周运动和一般曲线运动的分析方法．
必备知识·自主学习——突出基础性 素养夯基
一、向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心．这个指向圆心的力就叫作向心力(centripetal force)．
2．方向：始终沿着________指向________．
3．效果力：向心力是根据力的作用________命名的．
4．来源：向心力是由某个力或者几个力的________提供的．
二、向心力的大小
Fn＝________或者Fn＝________
导学：
卫星绕着地球转动，是卫星受到的万有引力提供向心力(万有引力于第七章学习)；绳拉着小球在竖直面内做匀速圆周运动，是绳的弹力与球的重力的合力提供向心力；小金属块与匀速转动的圆盘保持相对静止，是静摩擦力提供向心力；圆锥摆模型中，小球受到的重力与细绳弹力的合力提供向心力．
三、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力
变速圆周运动的合力产生两个方向的效果．
(1)跟圆周相切的分力Ft：产生________加速度．
(2)指向圆心的分力Fn：产生________加速度．
2．一般曲线运动的处理方法
把一般曲线分割成许多________的小段，质点在每一小段的运动可看作________运动的一部分，如图所示．这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用________运动的分析方法来处理了．
提醒：
①因为有力提供向心力，所以物体做圆周运动，不是由于做圆周运动而产生了向心力．
②提供向心力的力可以是合力也可以是分力，它的方向始终垂直于线速度且总是指向圆心．
③向心力的作用：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．
④向心力公式是根据匀速圆周运动推导出来的，但也适用于变速圆周运动，只不过匀速圆周运动是合力提供向心力，而变速圆周运动的合力一般不指向圆心．
【思考辨析】 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力．( )
(2)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力．( )
(3)做匀速圆周运动的物体所受合力大小保持不变．( )
(4)物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大．( )
(5)圆周运动中，合外力一定指向圆心．( )
关键能力·合作探究——突出综合性 素养形成
探究点一 向心力的理解与计算
导学探究
(1)图片A、E的向心力由什么提供，有什么共同点？
(2)图片B、C的向心力有什么共同点？
(3)图片C、D的向心力有什么共同点？有什么不同点？
探究总结
1.向心力的来源
(1)向心力是根据力的作用效果命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力，它可以是重力、弹力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力．
(2)当物体做匀速圆周运动时，合力提供向心力．
(3)当物体做变速圆周运动时，合力沿半径方向的分力提供向心力．
2．向心力的作用效果：改变线速度的方向，由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，所以向心力不改变线速度的大小．
3．向心力的方向：无论是否为匀速圆周运动，向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
4．向心力的大小：Fn＝man＝m＝mω2r＝mr＝mωv.
典例示范
题型一 向心力的理解
【例1】 如图所示是游乐园转盘游戏，游客坐在匀速转动的水平转盘上，与转盘相对静止，关于他们的受力情况和运动趋势，下列说法中正确的是 ( )
A．游客在匀速转动过程中处于平衡状态
B．受到重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用
C．游客受到的静摩擦力方向沿半径方向指向圆心
D．游客相对于转盘的运动趋势与其运动方向相反
题型二 向心力的来源
【例2】
(多选)如图所示，在匀速转动的圆筒内壁(竖直)上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，下列说法正确的是 ( )
A．物体受到4个力的作用，分别是重力、弹力、摩擦力和向心力
B．物体受到3个力的作用，分别是重力、弹力、摩擦力
C．当圆筒的角速度ω增大以后，物体会相对于圆筒发生滑动
D．当圆筒的角速度ω增大以后，物体所受弹力增大，摩擦力不变
题型三 向心力的计算
【例3】 甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为2∶1，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°.它们所受的合外力之比为( )
A．1∶1 B．4∶3 C．16∶9 D．9∶16
练1 如图所示，在倾斜的环形赛道上有若干辆小车正在行驶，假设最前面的小车做匀速圆周运动，则它所受的合外力( )
A．是一个恒力，方向沿OA方向
B．是一个恒力，方向沿OB方向
C．是一个变力，此时方向沿OA方向
D．是一个变力，此时方向沿OB方向
练2 在光滑的水平面上，放一根原长为L的轻质弹簧，一端固定，另一端系一个小球，现使小球在该水平面内做匀速圆周运动，当半径为2L时，小球的速率为v1；当半径为3L时，小球的速率为v2，设弹簧始终在弹性限度内，则v1∶v2为( )
A．∶ B．1∶ C．1∶3 D．2∶3
探究点二 匀速圆周运动的动力学问题
探究总结
1.匀速圆周运动问题的求解方法：圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是两类基本问题：由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况．整体步骤仍与“牛顿运动定律解决问题”一致．
2．匀速圆周运动问题的求解步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面)．
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等)．
(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程．
(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论．
典例示范
【例4】 有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿光滑圆台形表演台的侧壁高速行驶，在水平面内做匀速圆周运动．图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h.如果增大高度h，则下列关于摩托车的说法正确的是 ( )
A．对侧壁的压力FN增大
B．做圆周运动的周期T不变
C．做圆周运动的向心力Fn增大
D．做圆周运动的线速度增大
练3 如图所示，一光滑轻杆沿水平方向放置，左端O处连接在竖直的转动轴上，a、b为两个可视为质点的小球，穿在杆上，并用细线分别连接Oa和ab，且Oa和ab两线长度相等，已知b球质量为a球质量的3倍．当轻杆绕O处转动轴在水平面内匀速转动时，Oa和ab两线的拉力之比为( )
A．1∶3 B．1∶6
C．4∶3 D．7∶6
练4
长为L的细线，拴一质量为m的小球(小球可视为质点)，一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示．当细线与竖直方向的夹角是α时，求：
(1)细线的拉力F.
(2)小球运动的线速度的大小．
(3)小球运动的角速度及周期．
圆周运动动力学分析的关键词转化
随堂演练·达标自测——突出创新性 素养达标
1.
如图所示，运动员以速度v在倾角为θ的倾斜赛道上做匀速圆周运动．已知运动员及自行车的总质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，将运动员和自行车看作一个整体，则该整体在运动中( )
A．处于平衡状态
B．做匀变速曲线运动
C．受到的各个力的合力大小为m
D．受重力、支持力、摩擦力、向心力作用
2.
如图所示，系在细线上的小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动．若小球做匀速圆周运动的轨道半径为R，细线的拉力等于小球重力的n倍，则小球的( )
A．线速度大小v＝ B．线速度大小v＝
C．角速度ω＝ D．角速度ω＝
3．辽宁舰质量为m＝6×107 kg，如图是辽宁舰在海上转弯时的照片，假设整个过程中辽宁舰做匀速圆周运动的速度大小为20 m/s，圆周运动的半径为1 000 m，下列说法正确的是( )
A．在A点时水对舰的作用力指向圆心
B．在A点时水对舰的作用力大小约为F＝6.0×108 N
C．在A点时水对舰的作用力大小约为F＝2.4×107 N
D．在A点时水对舰的作用力大小为0
4．(多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼向内侧倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力．设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T，则下列说法正确的是 ( )
A．若飞行速率v不变，θ增大，则半径R减小
B．若飞行速率v不变，θ增大，则周期T减小
C．若θ不变，飞行速率v增大，则半径R变小
D．若飞行速率v增大，θ增大，则周期T一定不变
5．[教材P30(练习与应用)T4改编]如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A，已知AO的距离为绳长的.小球从一定高度摆下．已知当细绳与钉子相碰前的一瞬间，绳子的张力为小球重力的2倍，那么细绳与钉子相碰后的一瞬间，绳子的张力变为多少？
第2课时 向心力
必备知识·自主学习
一、
2．半径 圆心
3．效果
4．合力
二、
mω2r
三、
1．(1)切向 (2)向心
2．很短 圆周 圆周
思考辨析
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
关键能力·合作探究
探究点一
提示：(1)如果都做匀速圆周运动，它们受到的合外力提供向心力．对于A，重力和支持力平衡；对于E，重力和静摩擦力平衡；故也可以说都是一个力提供向心力，A是摩擦力提供向心力，E是壁的弹力提供向心力．
(2)都受两个力，都可以由这两个力的合力提供向心力而做匀速圆周运动，B中的支持力相当于C中线的拉力．
(3)C、D的向心力都由重力和绳子的拉力提供．但是C是水平面内的圆周运动，重力和绳子的拉力可以全部充当向心力而做匀速圆周运动．D是竖直面内的圆周运动，不可能做匀速圆周运动，重力和拉力的合力只有一部分充当向心力，还有一部分在改变圆周运动的速度．
【例1】 【解析】 A错：游客做匀速圆周运动，合力指向圆心，处于非平衡状态．B错：游客所受重力G与支持力FN，二力平衡，合力等于摩擦力Ff，合力提供向心力．C对：游客受到的静摩擦力方向沿半径方向指向圆心．D错：游客相对于转盘的运动趋势和其受到的摩擦力方向相反，故应是背离圆心．
【答案】 C
【例2】 【解析】 物体随圆筒一起转动时受重力、弹力和摩擦力，B正确，A错误；由牛顿第二定律得，FN＝mω2R，角速度ω增大，弹力增大，物体受到的最大静摩擦力增大，故物体不会相对于圆筒发生滑动，摩擦力不变且等于物体的重力，D正确，C错误．
【答案】 BD
【例3】 【解析】 相同时间内甲转过60°角，乙转过45°角，根据角速度定义式ω＝可知，ω1∶ω2＝4∶3；由题意有r1∶r2＝2∶1，m1∶m2＝1∶2；根据公式F合＝F向＝mω2r，可知F1∶F2＝r2)＝16∶9，故C正确．
【答案】 C
练1 解析：做匀速圆周运动的物体所受的合外力大小不变，方向沿半径指向圆心，则最前面的小车所受的合外力是大小不变，方向不断变化的变力，此时方向沿OB方向，选项D正确．
答案：D
练2 解析：小球做匀速圆周运动，弹簧弹力提供向心力，根据胡克定律及向心力公式得k(2L－L)＝ ①，k(3L－L)＝ ②，联立①②解得＝，选项B正确．
答案：B
探究点二
【例4】 【解析】
A错：摩托车做匀速圆周运动，提供圆周运动的向心力是重力mg和支持力F′N的合力，如图所示．
设表演台侧壁与竖直方向的夹角为α，侧壁对摩托车的支持力F′N＝不变，即摩托车对侧壁的压力不变．C错：向心力Fn＝mg cot α，m、α、g不变，向心力大小不变．B错：根据牛顿第二定律得Fn＝mr，h越高，r越大，Fn不变，则T越大．D对：根据匀速圆周运动的向心力公式Fn＝m得，h越高，r越大，Fn不变，则v越大．
【答案】 D
练3 解析：设Oa、ab段细线长为l，由牛顿第二定律，对a球有FOa－Fab＝mω2l；对b球有Fab＝3mω2·2l，由以上两式得，Oa和ab两线的拉力之比为7∶6，选项D正确．
答案：D
练4 解析：
如图所示，小球受重力mg和细线的拉力F.因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O′，且是水平方向．
(1)由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mg tan α，细线对小球的拉力大小为F＝.
(2)由牛顿第二定律得mg tan α＝，由几何关系得r＝L sin α，所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为v＝.
(3)小球运动的角速度ω＝＝＝，小球运动的周期T＝＝2π.
答案：(1) (2) (3) 2π
随堂演练·达标自测
1．解析：合力提供向心力，合力方向始终指向圆心，做变加速曲线运动，故A、B错误；整体做匀速圆周运动，合力提供向心力，则合力F＝m，故C正确；运动员和自行车组成的整体受重力、支持力、摩擦力作用，靠合力提供向心力，故D错误．
答案：C
2．解析：小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，细线的拉力提供向心力，则有：T＝nmg＝m＝mω2R，解得v＝，ω＝.
答案：C
3．解析：舰在运动的过程中受到重力与水的作用力，合力的方向沿水平方向，提供向心力，则合力F＝m＝ N＝2.4×107 N，由于合力的方向指向圆心，所以水的作用力的方向为斜向上，大小为F水＝，代入数据可得F水≈6.0×108 N，选项B正确．
答案：B
4．解析：对飞机进行受力分析，由牛顿第二定律得mg tan θ＝m，解得R＝，若飞行速率v不变，θ增大，则半径R减小，A正确；由T＝知，若飞行速率v不变，θ增大，则R减小，周期T减小，B正确；若θ不变，飞行速率v增大，则半径R变大，C错误；由T＝＝知，若飞行速率v增大，θ增大，周期T不一定不变，D错误．
答案：AB
5．解析：设小球的质量为m，绳长为L，细绳与钉子相碰前的一瞬间小球的速度为v0，绳子的张力FT＝2mg，则FT－mg＝，解得v0＝.细绳与钉子相碰后的一瞬间，小球速度v0不变，轨迹的半径R＝L，则F′T－mg＝，解得F′T＝2.5mg
答案：2.5mg
