人教版（2019）高中物理 必修第二册7.3 万有引力理论的成就学案（word含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版（2019）高中物理 必修第二册7.3 万有引力理论的成就学案（word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2021-11-25 20:27:28 | ||
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文档简介
3．万有引力理论的成就
学习目标
(1)理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用．
(2)理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解．
(3)认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用观念．
必备知识·自主学习——突出基础性 素养夯基
一、“称量”地球的质量
1.合理假设：不考虑地球自转的影响．
2．称量原理：地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对它的万有引力，即mg＝________．
3．结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
拓展：
利用M＝“称量”地球质量的方法可以推广到其他天体(如月球)质量的确定，只不过R应是该天体的半径，g应是该天体表面的重力加速度．
二、计算天体的质量
设m太是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，可测出该行星绕太阳做匀速圆周运动的周期T.
1．思路：行星与太阳间的万有引力充当向心力．
2．关系式：G＝________．
3．结论：m太＝________，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量．
4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量m行，公式是m行＝________．
图解1：明确各个物理量
三、发现未知天体
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生________和法国年轻的天文学家________根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的________在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
2．其他天体的发现：海王星的轨道之外残存着太阳系形成初期遗留的物质，近100年来，人们发现了________、阋神星等几个较大的天体．
图解2：
四、预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为________，并预言了这颗彗星再次回归的时间.1759年3月这颗彗星如期通过了________点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在________年左右．
理解：
海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，成为科学史上的美谈．
【思考辨析】 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．( )
(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量．( )
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．( )
(4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．( )
关键能力·合作探究——突出综合性 素养形成
探究点一 万有引力与重力的关系
导学探究
如图所示，人站在地球(地球被视为规则的球体)的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置，人随地球的自转而做半径不同的匀速圆周运动，请思考：
(1)人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？
(2)人在地球的不同位置，哪个力提供向心力？大小相同吗？受到的重力大小一样吗？
探究总结
1.
重力为万有引力的分力
万有引力F＝G的效果有两个，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转需要的向心力Fn＝mrw2，如图所示，重力是万有引力的一个分力．
2．重力、重力加速度和万有引力的关系
(1)不考虑地球自转：①在地面处mg＝G，重力加速度g＝；在距地面高为h处，mg′＝F＝G，重力加速度g′＝.
②g和g′的联系：g′＝g.
(2)考虑地球自转：赤道上mg＝G－mω2R，其中ω为地球自转的角速度；两极：mg＝G.
典例示范
【例1】 设地球表面重力加速度为g0，地球半径为R，物体在距地面2R处，由于地球引力作用而受到的重力加速度为g，则为( )
A．1 B．
C．4 D．
练1 (多选)已知地球的半径为R，宇宙飞船正在离地面高度为2R的轨道上绕地球做匀速圆周运动，飞船内有一弹簧测力计下悬挂一个质量为m的物体，物体相对宇宙飞船静止，已知地球表面重力加速度为g，则( )
A．物体受力平衡
B．物体受到重力为mg
C．物体受到重力为mg
D．弹簧测力计的示数为0
练2 据报道，科学家们在太阳系外发现了一颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．已知一个在地球表面质量为50 kg的人在这个行星表面的重量约为800 N，地球表面处的重力加速度为10 m/s2.求：
(1)该行星表面处的重力加速度．
(2)该行星的半径与地球的半径之比约为多少？
(3)若在该行星上距行星表面8 m高处，以10 m/s的水平初速度抛出一个小球(不计任何阻力)，则小球的水平射程是多大？
探究点二 天体质量和密度的计算
导学探究
观察下面两幅图片，请思考：
(1)如果知道自己的重力，你能否求出地球的质量？
(2)如何能测得太阳的质量呢？
探究总结
1.计算天体质量的两个基本思路
思路一(重力加速度法)：中心天体表面上物体的重力与所受万有引力相等，即mg＝G.
思路二(环绕法)：将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的．有如下关系：G＝m＝mrω2＝mr.
2．天体密度的计算方法
(1)利用中心天体表面的重力加速度求密度→ρ＝
其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径．
(2)利用中心天体的卫星求密度
→ρ＝
其中R为待求天体半径，r为卫星的轨道半径．
典例示范
题型一 “重力加速度法”估算天体的质量
【例2】 如果我们能测出月球表面的重力加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量M.已知引力常量G，则月球质量M为( )
A． B． C． D．
题型二 “环绕法”估算天体的质量
【例3】 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质
量与地球质量之比为( )
A． B．
C． D．
题型三 天体密度的估算
【例4】
2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航空工程进入了一个新高度，如图所示是“嫦娥四号”到达月球背面的巡视器．已知地球和月球的半径之比为4∶1，其表面重力加速度之比为6∶1.则地球和月球的密度之比为( )
A．2∶3 B．3∶2
C．4∶1 D．6∶1
练3 构成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转，如果某质量分布均匀的星球自转周期为T，引力常量为G，为使该星球不至于因自转而瓦解，该星球的密度至少是( )
A． B． C． D．
练4
(多选)2019年4月10日，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片．理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为＝，其中c为光速，G为引力常量．若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知( )
A．该黑洞的质量M＝ B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的半径R＝ D．该黑洞的半径R＝
探究点三 天体运动的分析与计算
导学探究
如图所示，行星在围绕太阳做匀速圆周运动．
(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
探究总结
1.一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
2．两条思路
(1)万有引力提供天体运动的向心力
G＝m＝mr＝mω2r.
(2)黄金代换
在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg，从而得出Gm天＝gR2.
3．四个重要结论：
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 G＝m v＝ r越大， v越小
ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大， ω越小
T与r的关系 G＝mr T＝2π r越大， T越大
a与r的关系 G＝ma a＝ r越大， a越小
典例示范
【例5】
如图所示，是按一定比例尺绘制的太阳系五颗行星的轨道，可以看出，行星的轨道十分接近圆，由图可知( )
A．火星的公转周期小于地球的公转周期
B．水星的公转速度小于地球的公转速度
C．木星的公转角速度小于地球的公转角速度
D．金星的向心加速度小于地球的向心加速度
练5
火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C.角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
练6 天文学家发现了一颗“超级地球”，名为“55 Cancrie”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancrie”与地球的( )
A．轨道半径之比约为
B．轨道半径之比约为
C．向心加速度之比约为
D．向心加速度之比约为
随堂演练·达标自测——突出创新性 素养达标
1.
土星最大的卫星叫“泰坦”，如右图所示，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
2．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地>v金
3．(多选)科学家在研究地—月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t.若还已知万有引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)．则由以上物理量可以求出( )
A．月球到地球的距离 B．地球的质量
C．月球受地球的引力 D．月球的质量
4.
(多选)如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法正确的是( )
A．a、b的线速度大小之比是∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4
5．[教材P58【练习与应用】T1改编]据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是( )
A．g′∶g＝4∶1 B．g′∶g＝10∶7
C．v′∶v＝ D．v′∶v＝
3．万有引力理论的成就
必备知识·自主学习
一、
2． G
二、
2．m
3.
4.
三、
1．亚当斯 勒维耶 伽勒
2．冥王星
四、
76年 近日 2061
思考辨析
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
关键能力·合作探究
探究点一
提示：(1)根据万有引力定律F＝G可知，人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样．
(2)万有引力的一个分力提供人随地球转动需要的向心力，在地球的不同位置，向心力不同；重力是万有引力的另一个分力，所以人在地球的不同位置，受的重力大小不一样．
【例1】 【解析】 重力近似等于万有引力，在地球表面有mg0＝G，在距地面2R处有mg＝G.联立解得＝.
【答案】 D
练1 解析：A错：由于物体相对飞船静止，即物体做圆周运动，合力提供了向心力，受力不平衡．B错，C对：在地球表面，＝mg，由于飞船绕地球做圆周运动，所以＝mg′，解得mg′＝＝＝mg.D对：物体受到的重力提供了做圆周运动的向心力，所以处于完全失重状态，所以弹簧测力计的弹力等于零．
答案：CD
练2 解析：(1)在该行星表面处，由G行＝mg行，有g行＝＝16 m/s2.
(2)由万有引力定律G＝mg
得R2＝
故＝，＝，＝
代入数据解得＝4，所以＝2.
(3)由平抛运动规律得：h＝g行t2，x＝v0t
故x＝v0，代入数据解得x＝10 m.
答案：(1)16 m/s2 (2)2 (3)10 m
探究点二
提示：(1)人的重力近似认为等于受到的万有引力，根据mg＝G可求地球质量．
(2)地球绕太阳转动时的向心力由万有引力提供，根据＝m地r可求太阳质量．
【例2】 【解析】 A对，B错：在月球表面重力与万有引力相等，有G＝mg，可得月球的质量为M＝.C、D错：根据万有引力提供圆周运动向心力可以求得中心天体的质量，故根据月球绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径只能求得中心天体地球的质量，且R不是月球绕地球运转的轨道半径．
【答案】 A
【例3】 【解析】 设太阳的质量为M，地球的质量为m，月球的质量为m′.地球绕太阳公转，由太阳的万有引力提供地球的向心力，则得：G＝mR
解得太阳的质量为M＝
月球绕地球公转，由地球的万有引力提供月球的向心力，则得：
G＝m′
解得地球的质量：m＝
所以太阳质量与地球质量之比＝.
【答案】 B
【例4】 【解析】 在星球表面的物体，重力和万有引力相等，即G＝mg，解得星球的质量为M＝.因为星球的体积为V＝πR3，则星球的密度为ρ＝.
所以地球和月球的密度之比：＝·＝·＝.
【答案】 B
练3 解析：当星球即将瓦解时，物体对星球表面的压力最小为零，此时万有引力提供向心力，即G＝mR，又知M＝ρπR3，联立解得ρ＝.
答案：B
练4 解析：A错，B对：设黑洞的质量为M，环绕星体的质量为m，根据万有引力提供环绕星体做圆周运动的向心力有G＝m，化简可得黑洞的质量为M＝.
C对，D错：根据黑洞的质量M和半径R的关系＝，
可得黑洞的半径为R＝＝＝.
答案：BC
探究点三
提示：(1)由G＝m得v＝，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星绕恒星运动的轨道半径共同决定的．
(2)无关．因为在等式G＝man＝m＝mω2r＝mr各项中都含有m，可以约分掉．
【例5】 【解析】 根据万有引力提供向心力有：＝mr＝m＝mrω2＝ma，可得：公转周期T＝，火星的轨道半径大于地球，故其公转周期大于地球，故A错误；公转速度v＝，水星的轨道半径小于地球，故其公转速度大于地球，故B错误；公转角速度ω＝，木星的轨道半径大于地球，故其公转角速度小于地球，故C正确；向心加速度a＝，金星的轨道半径小于地球，故金星的向心加速度大于地球，故D错误．
【答案】 C
练5 解析：火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝ma＝m＝mω2r，解得a＝，v＝ ，ω＝，所以火星与地球线速度大小之比为∶，B项错；角速度大小之比为2∶3，C项对；向心加速度大小之比为4∶9，D项错．
答案：C
练6 解析：本题中涉及两个中心天体，可用万有引力定律结合向心力公式写出相应的通式，再代入题中的已知条件进行求解．A错，B对：由公式G＝mr，可得r＝，由M＝ρV，得＝＝＝ .C、D错：再由G＝ma得a＝G，则＝＝＝＝.
答案：B
随堂演练·达标自测
1．解析：由万有引力定律和牛顿第二定律有F＝G＝mr，得土星的质量M＝，代入数据知M＝5×1026 kg，B正确．
答案：B
2．解析：本题考查万有引力定律和匀速圆周运动，体现了物理模型建构、科学推理等核心素养．行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝ma向＝m，解得a向＝G，v＝，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正确．
答案：A
3．解析：根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离，故A正确；又因知道月球绕地球旋转的周期T，根据G＝mr可求出地球的质量M＝，故B正确；只能计算中心天体的质量，故D错误；因不知月球的质量，无法计算月球受地球的引力，故C错误．
答案：AB
4．解析：两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达形式分别分析，由G＝m，得＝＝，所以A错误；由G＝mr，得＝＝，B错误；由G＝mrω2，得＝＝，C正确；由G＝ma，得＝＝，D正确．
答案：CD
5．解析：在星球表面的探测器受到的重力等于万有引力：G＝mg，g＝＝＝πGρR，则：＝·＝＝，故A、B错误；探测器绕地球表面运行和绕火星表面运行都是由万有引力充当向心力，根据牛顿第二定律有：G＝m，得：v＝，M为中心天体质量，R为中心天体半径，M＝ρ·πR3，联立得：v＝，所以探测器绕火星表面运行和绕地球表面运行线速度大小之比为：＝＝＝，故C正确，D错误．
答案：C
学习目标
(1)理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用．
(2)理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解．
(3)认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用观念．
必备知识·自主学习——突出基础性 素养夯基
一、“称量”地球的质量
1.合理假设：不考虑地球自转的影响．
2．称量原理：地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对它的万有引力，即mg＝________．
3．结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
拓展：
利用M＝“称量”地球质量的方法可以推广到其他天体(如月球)质量的确定，只不过R应是该天体的半径，g应是该天体表面的重力加速度．
二、计算天体的质量
设m太是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，可测出该行星绕太阳做匀速圆周运动的周期T.
1．思路：行星与太阳间的万有引力充当向心力．
2．关系式：G＝________．
3．结论：m太＝________，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量．
4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量m行，公式是m行＝________．
图解1：明确各个物理量
三、发现未知天体
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生________和法国年轻的天文学家________根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的________在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
2．其他天体的发现：海王星的轨道之外残存着太阳系形成初期遗留的物质，近100年来，人们发现了________、阋神星等几个较大的天体．
图解2：
四、预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为________，并预言了这颗彗星再次回归的时间.1759年3月这颗彗星如期通过了________点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在________年左右．
理解：
海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，成为科学史上的美谈．
【思考辨析】 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．( )
(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量．( )
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．( )
(4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．( )
关键能力·合作探究——突出综合性 素养形成
探究点一 万有引力与重力的关系
导学探究
如图所示，人站在地球(地球被视为规则的球体)的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置，人随地球的自转而做半径不同的匀速圆周运动，请思考：
(1)人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？
(2)人在地球的不同位置，哪个力提供向心力？大小相同吗？受到的重力大小一样吗？
探究总结
1.
重力为万有引力的分力
万有引力F＝G的效果有两个，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转需要的向心力Fn＝mrw2，如图所示，重力是万有引力的一个分力．
2．重力、重力加速度和万有引力的关系
(1)不考虑地球自转：①在地面处mg＝G，重力加速度g＝；在距地面高为h处，mg′＝F＝G，重力加速度g′＝.
②g和g′的联系：g′＝g.
(2)考虑地球自转：赤道上mg＝G－mω2R，其中ω为地球自转的角速度；两极：mg＝G.
典例示范
【例1】 设地球表面重力加速度为g0，地球半径为R，物体在距地面2R处，由于地球引力作用而受到的重力加速度为g，则为( )
A．1 B．
C．4 D．
练1 (多选)已知地球的半径为R，宇宙飞船正在离地面高度为2R的轨道上绕地球做匀速圆周运动，飞船内有一弹簧测力计下悬挂一个质量为m的物体，物体相对宇宙飞船静止，已知地球表面重力加速度为g，则( )
A．物体受力平衡
B．物体受到重力为mg
C．物体受到重力为mg
D．弹簧测力计的示数为0
练2 据报道，科学家们在太阳系外发现了一颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．已知一个在地球表面质量为50 kg的人在这个行星表面的重量约为800 N，地球表面处的重力加速度为10 m/s2.求：
(1)该行星表面处的重力加速度．
(2)该行星的半径与地球的半径之比约为多少？
(3)若在该行星上距行星表面8 m高处，以10 m/s的水平初速度抛出一个小球(不计任何阻力)，则小球的水平射程是多大？
探究点二 天体质量和密度的计算
导学探究
观察下面两幅图片，请思考：
(1)如果知道自己的重力，你能否求出地球的质量？
(2)如何能测得太阳的质量呢？
探究总结
1.计算天体质量的两个基本思路
思路一(重力加速度法)：中心天体表面上物体的重力与所受万有引力相等，即mg＝G.
思路二(环绕法)：将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的．有如下关系：G＝m＝mrω2＝mr.
2．天体密度的计算方法
(1)利用中心天体表面的重力加速度求密度→ρ＝
其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径．
(2)利用中心天体的卫星求密度
→ρ＝
其中R为待求天体半径，r为卫星的轨道半径．
典例示范
题型一 “重力加速度法”估算天体的质量
【例2】 如果我们能测出月球表面的重力加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量M.已知引力常量G，则月球质量M为( )
A． B． C． D．
题型二 “环绕法”估算天体的质量
【例3】 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质
量与地球质量之比为( )
A． B．
C． D．
题型三 天体密度的估算
【例4】
2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航空工程进入了一个新高度，如图所示是“嫦娥四号”到达月球背面的巡视器．已知地球和月球的半径之比为4∶1，其表面重力加速度之比为6∶1.则地球和月球的密度之比为( )
A．2∶3 B．3∶2
C．4∶1 D．6∶1
练3 构成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转，如果某质量分布均匀的星球自转周期为T，引力常量为G，为使该星球不至于因自转而瓦解，该星球的密度至少是( )
A． B． C． D．
练4
(多选)2019年4月10日，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片．理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为＝，其中c为光速，G为引力常量．若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知( )
A．该黑洞的质量M＝ B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的半径R＝ D．该黑洞的半径R＝
探究点三 天体运动的分析与计算
导学探究
如图所示，行星在围绕太阳做匀速圆周运动．
(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
探究总结
1.一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
2．两条思路
(1)万有引力提供天体运动的向心力
G＝m＝mr＝mω2r.
(2)黄金代换
在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg，从而得出Gm天＝gR2.
3．四个重要结论：
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 G＝m v＝ r越大， v越小
ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大， ω越小
T与r的关系 G＝mr T＝2π r越大， T越大
a与r的关系 G＝ma a＝ r越大， a越小
典例示范
【例5】
如图所示，是按一定比例尺绘制的太阳系五颗行星的轨道，可以看出，行星的轨道十分接近圆，由图可知( )
A．火星的公转周期小于地球的公转周期
B．水星的公转速度小于地球的公转速度
C．木星的公转角速度小于地球的公转角速度
D．金星的向心加速度小于地球的向心加速度
练5
火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C.角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
练6 天文学家发现了一颗“超级地球”，名为“55 Cancrie”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancrie”与地球的( )
A．轨道半径之比约为
B．轨道半径之比约为
C．向心加速度之比约为
D．向心加速度之比约为
随堂演练·达标自测——突出创新性 素养达标
1.
土星最大的卫星叫“泰坦”，如右图所示，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
2．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地>v金
3．(多选)科学家在研究地—月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t.若还已知万有引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)．则由以上物理量可以求出( )
A．月球到地球的距离 B．地球的质量
C．月球受地球的引力 D．月球的质量
4.
(多选)如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法正确的是( )
A．a、b的线速度大小之比是∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4
5．[教材P58【练习与应用】T1改编]据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是( )
A．g′∶g＝4∶1 B．g′∶g＝10∶7
C．v′∶v＝ D．v′∶v＝
3．万有引力理论的成就
必备知识·自主学习
一、
2． G
二、
2．m
3.
4.
三、
1．亚当斯 勒维耶 伽勒
2．冥王星
四、
76年 近日 2061
思考辨析
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
关键能力·合作探究
探究点一
提示：(1)根据万有引力定律F＝G可知，人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样．
(2)万有引力的一个分力提供人随地球转动需要的向心力，在地球的不同位置，向心力不同；重力是万有引力的另一个分力，所以人在地球的不同位置，受的重力大小不一样．
【例1】 【解析】 重力近似等于万有引力，在地球表面有mg0＝G，在距地面2R处有mg＝G.联立解得＝.
【答案】 D
练1 解析：A错：由于物体相对飞船静止，即物体做圆周运动，合力提供了向心力，受力不平衡．B错，C对：在地球表面，＝mg，由于飞船绕地球做圆周运动，所以＝mg′，解得mg′＝＝＝mg.D对：物体受到的重力提供了做圆周运动的向心力，所以处于完全失重状态，所以弹簧测力计的弹力等于零．
答案：CD
练2 解析：(1)在该行星表面处，由G行＝mg行，有g行＝＝16 m/s2.
(2)由万有引力定律G＝mg
得R2＝
故＝，＝，＝
代入数据解得＝4，所以＝2.
(3)由平抛运动规律得：h＝g行t2，x＝v0t
故x＝v0，代入数据解得x＝10 m.
答案：(1)16 m/s2 (2)2 (3)10 m
探究点二
提示：(1)人的重力近似认为等于受到的万有引力，根据mg＝G可求地球质量．
(2)地球绕太阳转动时的向心力由万有引力提供，根据＝m地r可求太阳质量．
【例2】 【解析】 A对，B错：在月球表面重力与万有引力相等，有G＝mg，可得月球的质量为M＝.C、D错：根据万有引力提供圆周运动向心力可以求得中心天体的质量，故根据月球绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径只能求得中心天体地球的质量，且R不是月球绕地球运转的轨道半径．
【答案】 A
【例3】 【解析】 设太阳的质量为M，地球的质量为m，月球的质量为m′.地球绕太阳公转，由太阳的万有引力提供地球的向心力，则得：G＝mR
解得太阳的质量为M＝
月球绕地球公转，由地球的万有引力提供月球的向心力，则得：
G＝m′
解得地球的质量：m＝
所以太阳质量与地球质量之比＝.
【答案】 B
【例4】 【解析】 在星球表面的物体，重力和万有引力相等，即G＝mg，解得星球的质量为M＝.因为星球的体积为V＝πR3，则星球的密度为ρ＝.
所以地球和月球的密度之比：＝·＝·＝.
【答案】 B
练3 解析：当星球即将瓦解时，物体对星球表面的压力最小为零，此时万有引力提供向心力，即G＝mR，又知M＝ρπR3，联立解得ρ＝.
答案：B
练4 解析：A错，B对：设黑洞的质量为M，环绕星体的质量为m，根据万有引力提供环绕星体做圆周运动的向心力有G＝m，化简可得黑洞的质量为M＝.
C对，D错：根据黑洞的质量M和半径R的关系＝，
可得黑洞的半径为R＝＝＝.
答案：BC
探究点三
提示：(1)由G＝m得v＝，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星绕恒星运动的轨道半径共同决定的．
(2)无关．因为在等式G＝man＝m＝mω2r＝mr各项中都含有m，可以约分掉．
【例5】 【解析】 根据万有引力提供向心力有：＝mr＝m＝mrω2＝ma，可得：公转周期T＝，火星的轨道半径大于地球，故其公转周期大于地球，故A错误；公转速度v＝，水星的轨道半径小于地球，故其公转速度大于地球，故B错误；公转角速度ω＝，木星的轨道半径大于地球，故其公转角速度小于地球，故C正确；向心加速度a＝，金星的轨道半径小于地球，故金星的向心加速度大于地球，故D错误．
【答案】 C
练5 解析：火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝ma＝m＝mω2r，解得a＝，v＝ ，ω＝，所以火星与地球线速度大小之比为∶，B项错；角速度大小之比为2∶3，C项对；向心加速度大小之比为4∶9，D项错．
答案：C
练6 解析：本题中涉及两个中心天体，可用万有引力定律结合向心力公式写出相应的通式，再代入题中的已知条件进行求解．A错，B对：由公式G＝mr，可得r＝，由M＝ρV，得＝＝＝ .C、D错：再由G＝ma得a＝G，则＝＝＝＝.
答案：B
随堂演练·达标自测
1．解析：由万有引力定律和牛顿第二定律有F＝G＝mr，得土星的质量M＝，代入数据知M＝5×1026 kg，B正确．
答案：B
2．解析：本题考查万有引力定律和匀速圆周运动，体现了物理模型建构、科学推理等核心素养．行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝ma向＝m，解得a向＝G，v＝，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正确．
答案：A
3．解析：根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离，故A正确；又因知道月球绕地球旋转的周期T，根据G＝mr可求出地球的质量M＝，故B正确；只能计算中心天体的质量，故D错误；因不知月球的质量，无法计算月球受地球的引力，故C错误．
答案：AB
4．解析：两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达形式分别分析，由G＝m，得＝＝，所以A错误；由G＝mr，得＝＝，B错误；由G＝mrω2，得＝＝，C正确；由G＝ma，得＝＝，D正确．
答案：CD
5．解析：在星球表面的探测器受到的重力等于万有引力：G＝mg，g＝＝＝πGρR，则：＝·＝＝，故A、B错误；探测器绕地球表面运行和绕火星表面运行都是由万有引力充当向心力，根据牛顿第二定律有：G＝m，得：v＝，M为中心天体质量，R为中心天体半径，M＝ρ·πR3，联立得：v＝，所以探测器绕火星表面运行和绕地球表面运行线速度大小之比为：＝＝＝，故C正确，D错误．
答案：C