(共30张PPT)
§1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象
1.2 样本空间
第七章 概率
情境导学·探新知
NO.1
必然出现
不同
哪一种结果
2
随机现象
E
试验结果
所有可能结果
Ω
元素
每种可能结果
ω
有限的
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 随机现象和确定性现象的判断
类型2 样本点和样本空间
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4随机现象 样本空间
学 习 目 标 核 心 素 养
1．理解确定性现象、随机现象的概念．(重点)2．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(重点)3．掌握试验的样本空间的写法．(重点) 1．通过对确定性现象、随机现象、样本空间等概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过利用列举法写出试验的样本空间，培养数学建模素养.
1．我们日常生活中的现象可分为哪两类？
2．样本点和样本空间的概念是什么？用什么字母表示样本空间？
1．确定性现象和随机现象
(1)确定性现象：在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象．
(2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果的现象，称为随机现象．
(3)随机现象的两个特点：
①结果至少有2种；②事先并不知道会出现哪一种结果．
2．样本空间
(1)试验与试验结果：在概率与统计中，把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，一般用E来表示，把观察结果或实验结果称为试验结果．
(2)样本空间：将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作Ω.
(3)样本点：样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω.
(4)有限样本空间：如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间．
(1)“向上抛掷一枚骰子，观察向上的点数”是随机现象吗？如果是随机现象，那么它可能的结果有哪些？
(2)观察随机现象或进行试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？
[提示] (1)是随机现象．它可能的结果有：出现1点，出现2点，出现3点，出现4点，出现5点，出现6点，共6个．
(2)不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．
下列现象中，是随机现象的有( )
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a＋1为整数；③发射一颗炮弹，命中目标；④检查流水线上一件产品是合格品．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．]
类型1 随机现象和确定性现象的判断
【例1】 指出下列现象是确定性现象还是随机现象．
(1)小明在校学生会主席竞选中成功；
(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；
(3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；
(4)标准大气压下，把水加热至100 ℃沸腾；
(5)骑车经过十字路口时，红绿灯的颜色．
[解] (1)随机现象．因为竞选能否成功是不可预知，无法确定的；
(2)随机现象．因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定．
(3)随机现象．因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不可知的．
(4)确定性现象．因为标准大气压下，水加热至100 ℃时“沸腾”这个结果一定会发生，是确定的．
(5)随机现象．因为红绿灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的，是无法确定的．
判断某一现象是随机现象还是必然现象的关键是看在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定．若在一定条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象为必然现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机现象．
1．下列现象中，随机现象有________，确定性现象有________．
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②打开电视机，正好在播新闻；
③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球；
④下周六是晴天．
②④ ① [①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象．]
类型2 样本点和样本空间
【例2】 指出下列试验的样本空间：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．
[思路点拨] 根据题意，按照一定的顺序列举试验的样本空间．
[解] (1)样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．
(2)由题意可知：
1－3＝－2,3－1＝2，
1－6＝－5,6－1＝5，
1－10＝－9,10－1＝9，
3－6＝－3,6－3＝3，
3－10＝－7,10－3＝7，
6－10＝－4,10－6＝4.
即试验的样本空间Ω＝{－2, 2，－5, 5，－9, 9，－3, 3，－7, 7，－4, 4}．
1．求本例(2)中试验的样本点的总数．
[解] 样本点的总数为12.
2．满足“两个数的差大于0”的样本点有哪些？
[解] 满足“两个数的差大于0”的样本点有：2, 5, 9, 3, 7, 4，共6个．
3．在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，写出试验的样本空间．
[解] 样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．
4．在本例(2)中，从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的横、纵坐标，指出试验的样本空间．
[解] 由题意可知：样本空间Ω＝{(1,3)，(1,6)，(1,10)，(3,1)，(3,6)，(3,10)，(6,1)，(6,3)，(6,10)，(10,1)，(10,3)，(10,6)}．
当基本事件的总数比较大时，首先要列举基本事件，然后查个数，得出总数．在列举时要按照一定的顺序，才能确保基本事件不重、不漏．
2．已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点．
[解] (1)Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4,3)，(5,3)，(6,3)}．
(2)样本点的总数是12.
(3)“第一象限内的点”包含以下4个样本点：(3,5)，(3,6)，(5,3)，(6,3).
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)试验的样本点的个数是有限的．( )
(2)某同学竞选本班班长成功是随机现象．( )
(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点．( )
[提示] (1)错误．试验的样本点的个数也可能是无限的．
(2)正确．
(3)错误．“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的样本点．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．下列现象：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码．
其中是随机现象的是( )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
C [由随机现象的定义知②③④正确．]
3．下列事件中，确定性现象的个数为( )
①三角形内角和为180°；
②三角形中大边对大角，大角对大边；
③三角形中两个内角和小于90°；
④三角形中任意两边的和大于第三边．
A．1 B．2
C．3 D．4
C [若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故③不一定成立，∴③为随机现象，而①②④均为确定性现象．]
4．从数字1,2,3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝________.
{(1,2)，(1,3)，(2,3)} [从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果：(1,2)，(1,3)，(2,3)，所以Ω＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}．]
5．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本点数为________．
6 [该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd，∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即该试验的样本点数为6.]
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4(共45张PPT)
§1 随机现象与随机事件
1.3 随机事件
1.4 随机事件的运算
第七章 概率
情境导学·探新知
NO.1
子集
出现一个
必然发生
所有
必然发生
不会发生
都发生
A∩B
AB
至少有一个
A∪B
A＋B
不能同时发生
Ω
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 事件类型的判断
类型2 事件关系的判断
类型3 事件的运算
数学阅读·拓视野
NO.3
当堂达标·夯基础
NO.4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4随机事件 随机事件的运算
学 习 目 标 核 心 素 养
1．理解随机事件与样本点的关系．(重点)2．了解随机事件的交、并与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的交、并运算．(难点、易混点) 1．通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过学习事件的运算法则，培养数学建模素养.
1．事件可分为哪几类？
2．事件的并(和)、事件的交(积)各是什么？
3．事件的互斥与对立是如何定义的？它们之间有什么关系？
1．三种事件的定义
事件 随机事件 一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示．在每次试验中，当一个事件发生时，这个子集中的样本点必出现一个；反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生
必然事件 样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件
不可能事件 空集 也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称 为不可能事件
2．随机事件的运算
事件的运算 定义 图形表示 符号表示
交事件 一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
并事件 一般地，由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
3．互斥事件与对立事件
事件的运算 定义 图形表示 符号表示
互斥事件 一般地，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B＝ )称为互斥事件．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件 A∩B＝
对立事件 若A与B互斥(A∩B＝ )，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 A∩B＝ 且A∪B＝Ω
(1)一颗骰子投掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？
(2)命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？(指充分性与必要性)
[提示] (1)A＝C∩D.
(2)根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件.
类型1 事件类型的判断
【例1】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
判断一个事件是哪类事件要看两点：
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
1．下列事件不是随机事件的是( )
A．东边日出西边雨
B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷
D．梅子黄时日日晴
B [B是必然事件，其余都是随机事件．]
类型2 事件关系的判断
【例2】 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
[解] 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两个事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每个事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；
(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．
[解] 依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．
类型3 事件的运算
【例3】 在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
[思路点拨] (1)→
(2)→
[解] 在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；
事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝ ， A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}．
B∩D＝A4＝{出现点数4}．
B∪C＝ A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．
1．在例3的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C.
[解] A∩C＝A＝{出现1点}，A∪C＝C＝{出现点数1,3或5}，B∩C＝A3＝{出现点数3}．
2．用事件Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)表示下列事件：
(1)B∪D；(2)C∪D.
[解] (1)B∪D＝{出现点数2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.
(2)C∪D＝{出现点数1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
3．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．则以下结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．D∪B是必然事件
C．A∩B＝C D．A∩D＝C
AB [事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以A正确；事件D∪B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；事件A∩B＝ ，C不正确；事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以D不正确．]
事件关系的判断与集合形式表示
2019年4月23日，作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省市，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆23日相继发布了本省份高考综合改革实施方案，明确从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施．
根据公布的实施方案，8个省市将采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．
[问题探究]
1．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，请写出试验的样本空间，并说出样本点的个数．
[提示] 试验的样本点可用(x，y，z)表示，其中从物理、历史中选择1门，结果用x表示；从思想政治、地理、化学、生物中选择2门，结果用y，z表示．
该试验的样本空间Ω＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，化学)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，样本点的个数为12.
2．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，若记事件A为“小李物理必选”；事件B为“小李生物必选”，用集合表示这两个事件，并判断事件A与事件B是不是互斥事件，是不是对立事件；
[提示] A＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)}，
B＝{(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，
则事件A，B中含有相同的样本点(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，
所以事件A与事件B不是互斥事件，也不是对立事件．
3．在第2小题的条件下，用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明事件A∪B和事件∩的关系．
[提示] 由第2问可知，事件A∪B＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，
事件∩＝{(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，地理，化学)}，
所以事件A∪B和事件∩既是互斥事件，也是对立事件.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．( )
(2) 若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．( )
(3) 事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．( )
[提示] (1)错误．对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
(2)正确．因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件．
(3)错误．反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是对立事件．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为( )
A．“都是红球”与“至少一个红球”
B．“恰有两个红球”与“至少一个白球”
C．“至少一个白球”与“至多一个红球”
D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”
D [A，B，C中两个事件都可以同时发生，只有D项，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．]
3．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，为对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
C [从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]
4．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品；
③在这200件产品中任意选9件，不全是一级品．
其中_______是随机事件；_______是不可能事件．(填序号)
①③ ② [因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．]
5．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．
⑥ ④ ①②③⑤ [从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是：“三个全是正品”“二个正品一个次品”“一个正品二个次品”．]
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