(共44张PPT)
章末综合提升
第七章 概率
巩固层·知识整合
NO.1
提升层·题型探究
NO.2
类型1 互斥事件与对立事件
类型2 古典概型
类型3 频率与概率
类型4 事件的独立性
体验层·真题感悟
NO.3
不可能事件
确定性现象
必然事件
随机事件的关系互斥事件对立事件
随机现象‖随机事件
随机事件的运算交事件、并事件
随机事件的概率用频率估计概率
概率
有限性
定义「特征
等可能性
应用
古典概型
计算公式
定义
事件的独立性
公式
应用
性质
bbb
2
23456
23
3
64
bbb
456
56第7章 概率
类型1 互斥事件与对立事件
【例1】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解] (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，
则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
互斥事件、对立事件的概念与计算
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
(2)若A1，A2，…，An互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．对立事件概率由公式可得P(A)＝1－P()(这里是A的对立事件)．
1．调查一批黄种人群，其中各种血型的人所占的比例如下：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例(%) 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？
[解] (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有
P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有，P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－P(B′)－P(D′)＝1－0.64＝0.36.
类型2 古典概型
【例2】 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
[解] 用编号1,2,3表示A饮料，用编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10种．
令D表示“此人被评为优秀”，E表示“此人被评为良好”，F表示“此人被评为良好及以上”．
(1)事件D包含(1,2,3)这1个基本事件，故P(D)＝.
(2)事件E包括(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，共6个基本事件，所以P(E)＝，故P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
古典概型概率的计算
(1)古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．
(2)在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m.
2．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干名大众评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表；
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
[解] (1)由题设知，分层随机抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 3 6 9 9 3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
类型3 频率与概率
【例3】 某射击运动员为备战下届奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
[解] (1)由题意，得击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．
1．假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？(只做出判断，不必说明理由)
[解] 不一定．
2．利用例3(1)得到的该运动员射击一次击中靶心的概率，估计该运动员连续射击3次，其中有2次击中靶心的概率．
[解] 由例3(1)可得运动员射击一次击中靶心的概率约为0.9，那么连续射击3次，其中有2次击中靶心的概率为0.9×0.9×(1－0.9)＋0.9×(1－0.9)×0.9＋(1－0.9)×0.9×0.9＝0.243.
对于概率的定义应注意以下几点：
(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．
(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.
3．对一批优盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批优盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个优盘，至少需进货多少个优盘？
[解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批优盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个优盘，为保证其中有2 000个正品优盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个优盘．
类型4 事件的独立性
【例4】 某射击队为备战奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动．在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50米远处命中的概率为.
(1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率；
(2)如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟飞行距离变为100米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150米(此后飞碟不在射程之内)．已知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比，求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率．
[解] (1)记“队员甲在三次游戏中，第一次至少有一次命中”为事件A，
则P(A)＝1－P()＝.即队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率为.
(2)记“在一次游戏中，第i次击中飞碟”为事件Bi(i＝1,2,3)，“队员甲在一次游戏中命中飞碟”为事件B.
P(B1)＝，P(B2)＝×2＝，P(B3)＝×2＝.
又Bi是相互独立事件，所以P(B)＝P(B1)＋P(1B2)＋P( B3)
＝P(B1)＋P(1)·P(B2)＋P(1)·P(2)·P(B3)＝＋×＋××＝.
即队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率为.
相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．
4．抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝{第一枚为正面向上}，B＝{第二枚为正面向上}，则事件C＝{两枚向上的面为一正一反}的概率为( )
A．0.25 B．0.5
C．0.75 D．0.375
B [P(A)＝P(B)＝，P()＝P()＝.
则P(C)＝P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝0.5，故选B.]
1．(2020·全国卷Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A．10名 B．18名
C．24名 D．32名
B [由题意知超市第二天能完成1 200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500＋(1 600－1 200)＝900份订单的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者＝18(名)，故选B.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
0.18 [记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]
3．(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
[解] (1)设甲连胜四场为事件M，
则P(M)＝4＝，
所以甲连胜四场的概率为.
(2)设甲输掉一场比赛为事件A，
乙输掉一场比赛为事件B，
丙输掉一场比赛为事件C，
进行四场比赛能结束为事件N，
则P(N)＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BABA)＋P(BCBC)＝×4＝，
所以需要进行第五场比赛的概率为P＝1－P(N)＝1－＝.
(3)丙获胜的概率为
P＝P(ABAB)＋P(BABA)＋P(ABACB)＋P(BABCA)＋P(ABCAB)＋P(ABCBA)＋P(BACAB)＋P(BACBA)＋P(ACABB)＋P(ACBAB)＋P(BCABA)＋P(BCBAA)＝4×2＋5×10＝.
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