广东省湛江市湛师附中2013届高三9月月考数学理试题

湛师附中2012-2013学年高三第一次月考试题
理科数学
(满分150分，120分钟完成)
一.选择题:(每小题只有一个正确答案,将正确答案写在答题卡上,每小题5分,共40分)
1.若集合︱,,则
A. B． C． D．
2.已知函数则=
A. B.e C.- D.-1
3.已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为
A.6 B. C. D.
4.若整数满足 则的最大值是
A.1 B.5 C.2 D.3
5.函数的图象大致为
A B C D
6.下列命题：
(1)函数的最小正周期是；
(2)已知向量,,,则的充要条件是；
(3)若,则.其中所有的真命题是
A.(3) B.(1)(2) C.(2)(3) D.(1)(3)
7.已知表示不同的平面，表示不同的直线，给出以下命题：
①；②；③；
④.在这四个命题中，正确的命题是
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
8.已知函数,若，则
A. B.
C. D.无法判断与的大小
二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
(一)必做题(9－13题)
9.设是虚数单位,则______.
10.等比数列中,,,则_________.
11.观察下列等式：
…，根据以上规律,_________.(用具体数字写出最后结果)
12.定义某种运算,运算原理如右框图所示,
则式子
的值为_________.
13.已知函数,
若,则实数的取值范围是___.
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
14.(几何证明选讲选做题)已知圆O的半径为3,
从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O
到AC的距离为,AB=3,则切线AD的长为________.
15.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(为参数),
则曲线C上的点到直线的距离的最大值为_________.
三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(12分)已知函数的最小正周期为,且点在函数的图象上.
(1)确定函数f(x)的表达式,求f(x)取得最大值时x的取值集合；
(2)求函数f(x)的单调增区间.
17.(12分)如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动
时,箭头所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),
且箭头指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位
儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(m,n),(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动).
(1)求某个家庭得分为(5,3)的概率；
(2)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以
获得一份奖品.求某个家庭获奖的概率；
(3)若共有4个家庭参加家庭抽奖活动.在(2)的条件下,记获奖的家庭数为X,求X的分布列及数学期望.
18.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知点,动点C满足条件:△ABC的周长
为,记动点C的轨迹为曲线W.
(1)求W的方程；
(2)曲线W上是否存在这样的点P:它到直线的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
19.(14分)如图所示,PA⊥平面ABC,点C在以AB为直径的⊙O上,∠CBA=300,PA=AB=2,,点E为线段PB的中点,点M在AB弧上,且OM∥AC.
(1)求证:平面MOE∥平面PAC；
(2)求证:BC平面PAC；
(3)求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
20.(14分)已知函数，,
(1)当时求方程的解；
(2)若方程有两个不同的解,求的值；
(3)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
21.(14分)数列的前n项和为,已知,数列满足
且,
(1)分别求出数列和数列的通项公式；
(2)若数列满足求数列的前n项和；
(3)设,当为奇数时,试判断方程是否有解,若有请求出方程的解,若没有,请说明理由.
湛师附中2012-2013学年高三第一次月考试题理科数学参考答案
CDCB ADBC 9. 10.84 11.1296 12.13 13.(-6,1) 14. 16.
16.(1)依题意得……2分 将点代入得
……5分
所以,当即时f(x)取得最大值,
些时x的取值集合是︱ ……8分
(2)由得 ……10分
所以函数f(x)的单调增区间是 ……12分
17.解:(1)记事件A为“某个家庭得分情况为(5,3)”，则其概率为…2分
(2)记事件B为“某个家庭在游戏中获奖”，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共3类情况. 所以 ……4分
(3)由(2)可知,每个家庭获奖的概率都是 ……5分
……10分
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
…………………………12分
18.解:(1)设C(x,y),∵……3分
∴由椭圆的定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为的椭圆(除去与x轴的两个交点).
…… 5分 ∴W: ……6分
(2)假设存在点P满足题意,则点P为抛物线与曲线W:的交点，
由消去得: ……9分
解得（舍去） ……11分
由代人抛物线的方程得 ……13分
所以存在两个点和满足题意. ……14分
19.证明:(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点,所以OE∥PA ……1分
因为平面PAC,平面PAC，所以 OE∥平面PAC. ……2分
因为OM∥AC,因为平面PAC，平面PAC,所以OM∥平面PAC. ……3分
因为平面MOE,平面MOE,,所以 平面MOE∥平面PAC ……5分
(2)证明：因为 点C在以AB为直径的⊙O上,所以,即,
因为平面,平面ABC,所以. ……7分
因为平面,平面,,
所以平面 ……9分
(3)由(2)知,为直线PB与平面PAC所成的角. ……10分
在中,, 在中,,
在中, ……12分
.所以直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为 ……14分
20.(1)当时,方程可化为,即 ……2分
由得,由得,所以方程的解为. ……4分
(2)原方程有两个不同的解,即有两个不同的解, ……5分
因为时是方程的解,所以只能有一个不是1的解,所以,
时,由得,所以成立, ……7分
时,由得,若(舍去)
若,此时,所以满足题意的实数a的值为0或2. ……9分
(3)原不等式在R上恒成立,即不等式在R上恒成立,
①当时,有恒成立,此时,所以 ……11分
②当时,有恒成立,此时,所以 ……13分
综合①②得. ……14分
21.(1)当时,,
当时,,所以
又时,,所以 ……2分
因为,所以为等比数列 ……3分
又,所以公比为2,首项为2,所以 ……4分
(2)当为偶数时,
……6分
当为奇数时，为偶数，
所以 ……8分
即 ……9分
(3)设 ……10分
……11分
所以当时, ,此时单调递增.
又,,
……13分
所以原方程无解. ……14分