安徽省六安三中2013届高二国庆中秋双节假期每日一测文科数学试卷四

安徽省六安三中2013届高二国庆中秋双节假期每日一测文科数学试卷四
第一卷(选择题 共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数y=2x+1的图象是
2.△ABC中，cosA=，sinB=,则cosC的值为
A. B.－ C.－ D.
3.过点（1，3）作直线l，若l经过点（a,0）和(0,b)，且a,b∈N*，则可作出的l的条数为
A.1 B.2 C.3 D.多于3
4.函数f(x)=logax(a＞0且a≠1)对任意正实数x,y都有
A.f(x·y)=f(x)·f(y) B.f(x·y)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)·f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)
5.已知二面角α—l—β的大小为60°，b和c是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b和c所成的角为60°的是
A.b∥α,c∥β B.b∥α,c⊥β
C.b⊥α,c⊥β D.b⊥α,c∥β
6.一个等差数列共n项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n为
A.14 B.16 C.18 D.20
7.某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有
A.8种 B.10种
C.12种 D.32种
8.若a,b是异面直线，aα,bβ,α∩β=l，则下列命题中是真命题的为
A.l与a、b分别相交
B.l与a、b都不相交
C.l至多与a、b中的一条相交
D.l至少与a、b中的一条相交
9.设F1，F2是双曲线－y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且·=0，则||·||的值等于
A.2 B.2 C.4 D.8
10.f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为13，则x2的系数为
A.31 B.40 C.31或40 D.71或80
11.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率
A.小 B.大 C.相等 D.大小不能确定
12.如右图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l是公路，图中所标线段为道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形.已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在
A.P点 B.Q点
C.R点 D.S点
第二卷(非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
13.抛物线y2=2x上到直线x－y+3=0距离最短的点的坐标为_________.
14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是_________.
15.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=1,且当x∈［1,2］时，f(x)=2－x,则f(8.5)=_________.
16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2
乙成绩（秒） 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5
根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________.
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三位同学独立完成6道数学自测题，他们答及格的概率依次为，，.
求（1）三人中有且只有2人答及格的概率；
（2）三人中至少有一人不及格的概率.
18.（本小题满分12分）
如图，函数f(x)的图象为单位圆上的两段弧，求不等式f(x)－f(－x)＞x的解集.
19.（本小题满分12分）
已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证MN⊥AB；
（2）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ,能否确定θ，使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线，若可以确定，试求θ的值，若不可以，请说明理由.
20.（本小题满分12分）
已知向量a=（－2，sinθ）,b=(cosθ,1),其中θ∈(－,).
（1）若a⊥b,求θ的值；
（2）令c=a－b,求|c|的最大值.
21.(本小题满分12分）
已知曲线C： (θ为参数)，若A、B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意两点.
（1）求AB的垂直平分线l在x轴上截距的取值范围；
（2）设过点M（1，0）的直线l是曲线C上A，B两点连线的垂直平分线，求l的斜率k的取值范围.
22.（本小题满分14分）
已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上有两点A1（m1,y1）,A2(m2,y2),满足a2+(y1+y2)a+y1·y2=0,
求证：
（1）存在i∈{1,2},使yi=－a;
（2）抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点；
（3）若使该图象与x轴交点为(x1,0)(x2,0),(x1＜x2),则存在i∈{1,2}，使x1＜mi＜x2.
答案
一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B
二、13.（，1） 14. 15.
16.因为甲=乙=12.5，S甲2=0.12,S乙2=0.10,所以乙选手成绩比甲选手成绩稳定，派乙选手参赛更好.
三、17.设甲、乙、丙答题及格分别为事件A，B，C，则事件A，B，C相互独立.
（1）三人中有且只有2人答及格的概率为:
P1=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+P()·P(B)P(C)=××(1－)+×(1－)×+(1－)××=. 6分
（2）三人中至少有1人不及格的概率为
P2=1－P（ABC）=1－P（A）P（B）P（C）=1－××=. 12分
18.f(x)=
=
(1)当0＜x≤1时,f(x)=,
f(－x)=.
由f(x)－f(－x)＞x.则2＞x＞0.4－4x2＞x2，x2＜.
∵0＜x≤1.∴0＜x＜ 6分
（2）当－1≤x＜0时，f(x)=－,f(－x)= ,f(x)－f(－x)＞x,
－2＞x,2＜－x,4－4x2＜x2,x2＞.
∵－1≤x＜0,∴－1≤x＜－.
由（1）（2）知原不等式的解集为{x|－1≤x＜－,或0＜x＜}. 12分
19.（1）连结AC取AC中点E.连结EM，EN.
∵M,N,E分别为AB，PC，AC的中点，
∴ME∥BC.ME⊥AB，NE∥PA，NE⊥面ABCD.
∴MN⊥AB. 6分
（2）若MN⊥PC.∵MN⊥CD
∴有MN⊥面PCD.延长ME交CO于F.
∵ME∥BC.∴F为CD中点，连结NF.
则NF⊥CD，∴∠NFM为面PDC与面ABCD所在二面角的平面角. 8分
∠NFM=θ,又∵MN⊥面PCD，∴MN⊥NF，∴△MNF为Rt△，且E为MF的中点，NE⊥MF，∴MN=NF,∠MFN=45°. 12分
20.（1）因为a=(－2,sinθ),b=(cosθ,1),a⊥b,
所以(－2,sinθ)·(cosθ,1)=0. 2分
即－2cosθ+sinθ=0.
所以tanθ=2. 4分
又因为θ∈(－,),所以θ=arctan2. 6分
（2）因为c=a－b=(－2－cosθ,sinθ－1),
所以|c|=
=
=, 8分
因为θ∈(－, ),
所以θ－arctan2∈(－－arctan2, －arctan2). 10分
所以当θ=－+arctan2时，|c|的最大值为+1. 12分
21.（1）曲线C: +y2=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M（x0,y0）, +y12=1①
+y22=1 ②
由①－②可得+y12－y22=0.
kAB=. 2分
l的方程y－y0= (x－x0),令y=0,x=x0. 4分
∵－2＜x0＜2,∴x∈(－,). 6分
（2）设直线l的方程为y=k(x－1),AB的中点M（x0,y0）.由（1）可知kAB=－,∴k=.
∵M在直线l上，∴y0= (x0－1).
∵y0≠0.∴x0=. 8分
∵M(x0,y0)在椭圆内部.∴+y02＜1即+y02＜1. 10分
－＜y0＜且y0≠0.
k===3y0.
∴－＜k＜且k≠0. 12分
22.（1）由a2+(y1+y2)a+y1y2=0有
(y1+a)(y2+a)=0. 2分
∴y1=－a或y2=－a,即存在i∈{1,2},使得yi=－a. 4分
（2）由（1）知存在i∈{1,2},使得yi=－a,则有－a=ax2+bx+c,
即ax2+bx+a+c=0,由Δ=b2－4a(a+c)≥0.
∴b2－4ac≥4a2＞0.∴b2－4ac＞0.
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点. 8分
（3）方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2,x1+x2=－,x1x2=. 10分
∴（mi－x1）(mi－x2)=mi2－(x1+x2)mi+x1x2=mi2+mi+=(ami2+bmi+c)= yi,由（1）可知yi=－1＜0,∴x1＜mi＜x2. 14分.