2021-2022学年度沪科版九年级数学上册课件 21.4二次函数的应用（第3课时）(共24张PPT)

(共24张PPT)
21.4二次函数的应用
（第3课时）
1.利用函数解决实际问题的基本
思想方法 解题步骤
实际问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解
返回解释
检验
创设情景,引入新课
2."二次函数应用"的思路怎样
(1)理解问题
(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系
(3)用数学的方式表示出它们之间的关系
(4)用数学知识求解
(5)检验结果的合理性,拓展等
创设情景,引入新课
(1) 直线等加速运动
我们知道，在匀速直线运动中，物体运
动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示
为S=vt，而在直线等加速运动（即通常所说的
加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我
们仍用S表示距离（米），用 表示初始速度
（米／秒），用t表示时间（秒），用a表示每
秒增加的速度（米／秒）. 那么直线等加速运
动位移的公式是：
就是说，当速度和每秒增加的速度一定时，距
离是时间的函数，但不再是正比例函数，而是
二次函数.
0
V
合作交流,探究新知
我们来看一个例子：
　
　　=1米／秒，a=1米／秒，
下面我们列表看一下Ｓ和ｔ的关系.
t（秒） 0 1 2 3 4 5 6
S（米） 0 1.5 4 7.5 12 17.5 24
　　注意，这里的时间必须从开始等加速时开始计时，
停止等加速时停止计时. t的取值范围，很明显是t≥0，
而S的取值范围，同样是S≥0. 下面我们来看看它的图
象：
　
S
t
O
0
v
(2) 自由落体位移
我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的
特殊情况，它的初始速度为0，而每秒增加的
速度为9.8米／秒，我们用ｇ表示，但这个ｇ不
是9.8牛顿／千克．自由落体位移的公式为：
我们再来看看这个函数的表格：
t（秒） ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
S（米） ０ 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 176.4
图象我们就不画了，它只是直线等加速运动的特殊情
况，图象大同小异．
(3) 动能
现在我们来看另一方面的问题. 我们知道，物体在
运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和
速度有关. 比如说，有个人走过来不小心撞上你，
或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定会
倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞
倒都不容易. 这是因为对方具有的动能随速度的增
大而增大. 我们用E表示物体具有的动能（焦耳）
，m表示物体的质量（千克），用v表示物体的速
度（米／秒），那么计算物体动能的公式就是：
来看一个表格（m=1千克）：
v（米/秒） 0 1 2 3 4 5 6
E（焦耳） 0 0.5 2 4.5 8 12.5 18
v的取值范围显然是v≥0，E的取值范围也是E≥0，
所以它的图象和前两个没什么区别.
通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理
方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值范围
的要求大部分都是要求该数值大于等于０，所以图象
大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在
第一象限. 还有，物理学上用到的公式，一般很少有
常数项.
现在我们反过来研究：物体运动某一路程或物体自由
下落到某一高度需要多少时间？
例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为
10m/s,经过t(s)时求的高度为h(m). 已知物体
竖直上抛运动中， (v0表示物体
运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取
g=10m/s2). 问球从弹起至回到地面需多少时
间？经多少时间球的高度达到3.75m
例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m). 已知物体竖直上抛运动中， (v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2). 问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m
分析：
从图象可以看到图象与x轴交点横坐标0
和2,分别就是球从地面弹起后到地面的
时间，此时h=0,所以也是一元二次方程
的两个根，这两个时间差
即为所求.
同样，我们只要取h=3.75m，得一元
二次方程
根，就得到球达到3.75m高度时所经
过的时间.
，求出它的
t(s)
h(m)
0
1
2
5
3.75
例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m).已知物体竖直上抛运动中， (v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2).问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m
解:由题意,得h(m)关于t(s)的二次函数的解析式为
取h=0,得一元二次方程
取h=3.75,
得一元二次方程
答:球从弹起至回到地面需2s,经过0.5s或1.5s球的高度达到3.75m.
解这个方程,得
t1=0,t2=2
所以球从地面弹起至回到地面所需的时间为
t2-t1=2(s)
解这个方程,得
t1=0.5,t2=1.5
结论
从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求
二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点
坐标.
反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二
次方程的解.
在直角坐标系中画出函数 的图象，
例2 利用二次函数的图象求方程x +x-1=0的近似解
观察图得到点A的横坐标 ，
点B的横坐标 ．
解:设
，则方程
的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．
得到与x轴的交点为A、B，则点A、B的横坐标x1、x2就是方程的解．
的近似解为
所以方程
1
0
1
2
x
y
2
-2
-1
-1
-2
-3
A
B
0
1
2
x
y
1
2
-2
-1
-1
-2
-3
A
B
想一想：将x1=0.6和x2=-1.6代入x +x-1，
其值分别是多少？
结论
我们知道，
二次函数y=ax +bx+c (a≠0)的图象与
x轴的交点的横坐标x1、x2就是一元二
次方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个根.
因此
我们可以通过解方程ax +bx+c=0来求
抛物线y=ax +bx+c与x轴交点的坐标；
反过来，
也可以由y=ax +bx+c的图象来求一元
二次方程ax +bx+c=0的解.
练一练
一球从地面抛出的运动路线呈抛物线,如图,当球离抛出
地的水平距离为30米时,达到最大高度10米.
(1)求球运动路线的函数解析式和自变量的
取值范围
(2)求球被抛出多远
(3)当球的高度为5米时,球离抛出地的水平距离是多少
0
30
x(m)
y(m)
10
由题意得h=30,k=10
把(0,0)代入前式,得0=900a+10
\
1
a=-
90
练一练
用求根公式求出方程x +x-1=0的近似解,
并由此检验例2中所给图象解法的精确度.
解:
课堂小结
1.理顺利用函数解决实际问题的基本
思想和基本思路.
2.二次函数的图象与x横轴的交点的横坐标
即为一元二次方程的解,反过来也对.
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一
点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O
的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个
规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水
面10米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距
水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整
好入水姿势，否则就会出现失误.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员
在空中的运动路线是（1）中的抛
物线，且运动员在空中调整好入水
姿势时，距池边的水平距离为3米，
问此次跳水会不会失误？并通过计
算说明理由。
回顾与思考
再见