青岛版数学九年级上册 4.2用配方法解一元二次方程（2）课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
4.2用配方法解一元二次方程（2）
1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;.（重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）
学习目标
复习引入
(1) 9x2=1 ；
(2) (x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) x2+6x+9 =5；
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的
形式，再利用开平方
导入新课
问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +8x－3 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8 ,
配方，得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 , x2= -4.
想一想怎么来解3x2 +8x－3 = 0.
讲授新课
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
知识点1
试一试：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0.
解：两边同除以3,得
x2 + x - 1=0.
配方,得
x2 + x + ( ) 2 - ( )2 - 1 = 0,
（x + ）2 - =0.
移项,得
x + =± ,
即 x + = 或 x + = .
所以 x1= , x2 = -3 .
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
即
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢
例1 解下列方程：
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 ,方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
规律总结
引例：一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：
h=15t - 5t2.
小球何时能达到10m高？
解：将 h = 10代入方程式中.
15t - 5t2 =10.
两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2,
配方,得 t2 - 3t + ( )2= ( )2 - 2,
（t - ）2 =
配方法的应用
知识点2
移项,得 （t - ）2 =
即 t - = ,或 t - = .
所以 t1= 2 , t2 = 1 .
即在1s或2s时，小球可达10m高.
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.
1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则
m的值为（ ）
A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2
2.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
练一练
C
解：原式 = 2(x - 1)2 +3
当x =1时有最小值3
解：原式= -3(x - 2)2 - 4
当x =2时有最大值-4
归纳总结
配方法的应用
类别 解题策略
1.求最值或
证明代数式
的值为恒正
（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2
＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以
一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
例4.读诗词解题：
（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）
大江东去浪淘尽，
千古风流数人物。
而立之年督东吴，
早逝英年两位数。
十位恰小个位三，
个位平方与寿符。
哪位学子算得快，
多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为(x-3)
x1=6, x2=5
x2-11x=-30
x2-11x+5.52=-30+5.52
(x-5.5)2=0.25
x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5
x2=10(x-3)+x
∴这个两位数为36或25，
∴周瑜去世的年龄为36岁.
∵周瑜30岁还攻打过东吴，
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2；
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
随堂练习
2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
解：－x2－x－1=－(x2+x+ )+ －1
所以－x2－x－1的值必定小于零.
当 时，－x2－x－1有最大值
3.若 ，求(xy)z 的值.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为xm, 根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答：道路的宽为1m.
5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
配方法
方法
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
在方程两边都配上
课堂小结