2021-2022学年度沪科版九年级数学下册课件 24.2圆的基本性质（第2课时）(共64张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年度沪科版九年级数学下册课件 24.2圆的基本性质（第2课时）(共64张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-28 20:14:37 | ||
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文档简介
(共64张PPT)
24.2 圆的基本性质 （第2课时）
知识回顾：
1.如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，
O
A
B
C
（1）若∠B=40 ° ，则∠AOC=______
（2）若∠AOC=70 ° ，则∠B=______
2.如图所示：在△ABC中， ∠C=90 ° ，
C
A
B
（1）AB=10，BC=6，则AC=________
（2）AC=6，BC=2，则AB=________
80°
35°
8
问题 ：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。它有无数条对称轴
●O
圆的对称性及特性
圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法可以得到:
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.
这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性
●O
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
（A）
B
D
C
O
E
A
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
（A）
B
D
C
O
E
A
2.垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧。
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的两 条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥弦AB,
如图∵ CD是⊙O的直径（ ⊙O中，CD经过点O）,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
AM=BM
⊙O 中CD为直径
CD⊥AB于M
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
符号语言：
O
A
B
D
C
O
E
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
A
B
C
应用垂径定理的几个基本图形
请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。
O
探究：
A
B
D
C
E
如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时，你认为都有哪些结论成立？
A
B
D
C
O
E
A
B
O
E
C
D
AB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所对的两条弧。
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理及其的推论：
直线CD （1） 过圆心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧 以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。
A
P
D
C
B
O
┓
判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！
1、填空：如图，在⊙O中
（1）若MN⊥AB，MN为直径；则
（ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（ ），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则
（ ），（ ），（ ）；
（4）若AM＝BM，MN为直径，则
（ ），（ ），（ ）。
C
O
B
A
M
N
2、判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
问题 ：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
A
B
O
D
C
解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的
圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。
由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB
的中点，CD就是拱高。
AB=37.4，CD=7.2 ，∴AD=18.7，设OA=OC=R
OD=OC-CD=R-7.2.
在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2
即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9
因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。
例1.如图所示，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且AB=8，OC=3，求⊙O的半径。
O
A
C
B
练习：1.如图⊙O的半径为8，OC ⊥弦AB于C，且OC=6，
求弦长AB。
2.如图⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。
O
A
C
B
O
A
C
B
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的
弦AB，求点O与AB的距离。
E
2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离为3 ㎝，求AB的长。
O
A
B
例3 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与BD相等吗？为什么？
P
.
A
C
D
B
O
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．
例5．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．
如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备半径多大的管道？
A
B
O
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
●M
A
B
例4
变式．如图，过⊙O内一点P，作⊙O的弦AB，使它以点P为中点。
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
解：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＡＢ，
并延长ＯＥ交⊙Ｏ于Ｆ，连接ＯＡ
垂径定理和勾股定理相结合，构
造直角三角形，把圆的问题化归
为直线形问题解决。
A
B
O
思考: 在例2中,我们已计算出⊙Ｏ的半径Ｒ＝５０cm,如果水面宽度由60cm变为80cm,那么污水面下降了多少cm
A
B
O
C
D
两弦在圆心同旁
两弦在圆心两旁
Ｄ
Ｃ
O
·
Ｂ
Ａ
F
E
O
·
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
F
E
Ｒ＝５０cm；
ＣＤ＝８０cm
C
D
作垂径，连半径，构造
直角三角形
注意圆的对称性
1.如图，AB,CD是⊙O的两条平行弦，AC与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
2.在半径为5cm的⊙ O中，弦AB∥CD,且AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离
3.如图，∠C=90°，⊙C与AB交于点D，AC=5,CB=12,求AD的长
B
O
C
D
A
D
B
C
A
四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是
一种研究数学的重要思想
二、垂径定理：
一、圆是轴对称图形，其对称轴是
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
三、垂径定理和勾股定理相结合，构造
直角三角形，可解决计算弦长、半
径、圆心到弦的距离等问题．
任意一
条过圆心的直线（或直径所在直线．）
小结
练习1.如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点，
①则OP的求值范围是 。
②使线段OP的长度为整数值的P点
位置有 个。
p1
p2
P
C
注意圆的轴对称性
3≤OP≤5
5
2．以矩形ABCD的边ＡＢ为直径
的⊙Ｏ交ＣＤ于E、F，DE=1cm,
EF=3cm,则AB=___
3.如上图，⊙O的直径是10，
线段OP的长为3，则过点P
的所有弦中，①最大弦长为 ，
②最短弦长为 ，③弦长为整数
的有 条？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
连半径，构造
直角三角形
4.CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1,AB=10,求CD的长.
C
D
A
B
E
O
.
5.如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？
6.在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
E
D
┌
600
7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
1.判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分
3.:在圆O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ，
求圆O的半径。
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、
圆心到弦的距离d、弦长a中，
任意知道两个量，可根据 定理求出第三个量：
C
D
B
A
O
2.如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
垂径
4.如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
5.:如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
6.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
D
O
B
A
C
M
N
F
E
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
小 结
直径平分弦
直径垂直于弦=>
直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）
直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦
直径平分弧
直径垂直于弧所对的弦
=>
=>
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其逆定理的图式
24.2 圆的基本性质 （第2课时）
知识回顾：
1.如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，
O
A
B
C
（1）若∠B=40 ° ，则∠AOC=______
（2）若∠AOC=70 ° ，则∠B=______
2.如图所示：在△ABC中， ∠C=90 ° ，
C
A
B
（1）AB=10，BC=6，则AC=________
（2）AC=6，BC=2，则AB=________
80°
35°
8
问题 ：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。它有无数条对称轴
●O
圆的对称性及特性
圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法可以得到:
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.
这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性
●O
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
（A）
B
D
C
O
E
A
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
（A）
B
D
C
O
E
A
2.垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧。
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的两 条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥弦AB,
如图∵ CD是⊙O的直径（ ⊙O中，CD经过点O）,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
AM=BM
⊙O 中CD为直径
CD⊥AB于M
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
符号语言：
O
A
B
D
C
O
E
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
A
B
C
应用垂径定理的几个基本图形
请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。
O
探究：
A
B
D
C
E
如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时，你认为都有哪些结论成立？
A
B
D
C
O
E
A
B
O
E
C
D
AB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所对的两条弧。
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理及其的推论：
直线CD （1） 过圆心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧 以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。
A
P
D
C
B
O
┓
判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！
1、填空：如图，在⊙O中
（1）若MN⊥AB，MN为直径；则
（ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（ ），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则
（ ），（ ），（ ）；
（4）若AM＝BM，MN为直径，则
（ ），（ ），（ ）。
C
O
B
A
M
N
2、判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
问题 ：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
A
B
O
D
C
解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的
圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。
由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB
的中点，CD就是拱高。
AB=37.4，CD=7.2 ，∴AD=18.7，设OA=OC=R
OD=OC-CD=R-7.2.
在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2
即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9
因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。
例1.如图所示，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且AB=8，OC=3，求⊙O的半径。
O
A
C
B
练习：1.如图⊙O的半径为8，OC ⊥弦AB于C，且OC=6，
求弦长AB。
2.如图⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。
O
A
C
B
O
A
C
B
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的
弦AB，求点O与AB的距离。
E
2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离为3 ㎝，求AB的长。
O
A
B
例3 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与BD相等吗？为什么？
P
.
A
C
D
B
O
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．
例5．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．
如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备半径多大的管道？
A
B
O
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
●M
A
B
例4
变式．如图，过⊙O内一点P，作⊙O的弦AB，使它以点P为中点。
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
解：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＡＢ，
并延长ＯＥ交⊙Ｏ于Ｆ，连接ＯＡ
垂径定理和勾股定理相结合，构
造直角三角形，把圆的问题化归
为直线形问题解决。
A
B
O
思考: 在例2中,我们已计算出⊙Ｏ的半径Ｒ＝５０cm,如果水面宽度由60cm变为80cm,那么污水面下降了多少cm
A
B
O
C
D
两弦在圆心同旁
两弦在圆心两旁
Ｄ
Ｃ
O
·
Ｂ
Ａ
F
E
O
·
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
F
E
Ｒ＝５０cm；
ＣＤ＝８０cm
C
D
作垂径，连半径，构造
直角三角形
注意圆的对称性
1.如图，AB,CD是⊙O的两条平行弦，AC与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
2.在半径为5cm的⊙ O中，弦AB∥CD,且AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离
3.如图，∠C=90°，⊙C与AB交于点D，AC=5,CB=12,求AD的长
B
O
C
D
A
D
B
C
A
四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是
一种研究数学的重要思想
二、垂径定理：
一、圆是轴对称图形，其对称轴是
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
三、垂径定理和勾股定理相结合，构造
直角三角形，可解决计算弦长、半
径、圆心到弦的距离等问题．
任意一
条过圆心的直线（或直径所在直线．）
小结
练习1.如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点，
①则OP的求值范围是 。
②使线段OP的长度为整数值的P点
位置有 个。
p1
p2
P
C
注意圆的轴对称性
3≤OP≤5
5
2．以矩形ABCD的边ＡＢ为直径
的⊙Ｏ交ＣＤ于E、F，DE=1cm,
EF=3cm,则AB=___
3.如上图，⊙O的直径是10，
线段OP的长为3，则过点P
的所有弦中，①最大弦长为 ，
②最短弦长为 ，③弦长为整数
的有 条？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
连半径，构造
直角三角形
4.CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1,AB=10,求CD的长.
C
D
A
B
E
O
.
5.如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？
6.在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
E
D
┌
600
7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
1.判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分
3.:在圆O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ，
求圆O的半径。
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、
圆心到弦的距离d、弦长a中，
任意知道两个量，可根据 定理求出第三个量：
C
D
B
A
O
2.如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
垂径
4.如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
5.:如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
6.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
D
O
B
A
C
M
N
F
E
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
小 结
直径平分弦
直径垂直于弦=>
直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）
直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦
直径平分弧
直径垂直于弧所对的弦
=>
=>
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其逆定理的图式