河南省焦作市2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版含答案）

焦作市普通高中2021－2022学年(上)高二年级期中考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|y＝lg（x－1）}，B＝{x∈Z||x－1|≤1}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．{2}
2．在△ABC中，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C ．直角三角形 D．等腰三角形
3．已知a，b，c∈R，若b＜0＜a，则（　　）
A．0＜a2＜b2 B．ab＞b2 C．ac＞bc＞0 D．ac2≥bc2
4．设等差数列的前n项和为已知a3＋的公差为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．设变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最大值为（　　）
A．1 B．6 C．10 D．13
6．已知f（x）是R上的奇函数，且f（x＋2）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x﹣1，则f（）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．圆C：x2＋y2﹣10x﹣6y＋9＝0截x轴所得的线段长度为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．某射箭运动员在一次训练中射出了10支箭，命中的环数分别为：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，设这组数据的平均数为，标准差为s，则从这10支箭中任选一支，其命中的环数在区间内的概率为（　　）
A．0．4 B．0．5 C．0．6 D．0．7
9．若数列{an}满足a2＝9，an﹣1＋n＝an＋1（n≥2且n∈N×），则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．在平面凸四边形ABCD中，∠BAD＝105°，∠ABC＝60°，∠CAD＝45°，∠CBD＝15°，AB＝3，则CD＝（　　）
A． B．3 C．3 D．
11．若关于x的不等式一在区间上有解，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．(－∞，－3] C． D．
12．已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，若f（x）＝m在[0，π）上有两个实根a，b，且|a﹣b|＞，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣，0） B．（0，） C．（，1） D．（﹣，）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量＝（﹣2，1），＝（m，m），若⊥（＋），则实数m＝　 　．
14．函数的最大值为　 　．
15．在△ABC中，已知角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且3csinA＝4bsinC，则cosB＝　 　．
16．艾萨克牛顿在17世纪提出了一种求方程近似解的方法，这种方法是通过迭代，依次得到方程的根的一系列近似值：这样得到的数列称为“牛顿数列”。例如，对于方程已知牛顿数列{x}满足且设若则 　 　．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）在等比数列{an}中，a7＝－8a4，且2a1，－a2，a3－6成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列}的前n项和Tn．．
18．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，BD⊥AA1．
（Ⅰ）证明：平面ABCD⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）若四边形ACC1A1是正方形，AB＝BD＝2，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝3，cosA＝，＝．
（1）求△ABC的外接圆的半径R；
（2）求△ABC的面积．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax2＋bx＋2a﹣1，a，b∈R．
（Ⅰ）是否存在a，b，使不等式f（x）＜0的解集为（﹣3，﹣1）？说明理由．
（Ⅱ）若b＝1﹣3a，求不等式f（x）≥0的解集．
21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝7，S3＝5a1．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{1＋}的前n项和为Tn，符号[x]表示不超过x的最大整数，当[T1]＋[T2]＋…＋[Tn]＝52时，求n的值．．
22．（12分）如图所示，A，B，C是三座相邻的城市，为方便处理，将城市看作点，城市之间的路线都简化为直线，交通工具都做匀速运动，已知AB＝385千米，且cosA＝，cosB＝．现有甲、乙两人从A城市去B城市，甲乘普通列车直接从A到B，甲出发15分钟后，乙先乘高铁从A到C，在C城市停留一段时间后再换乘普通列车到B．假设普通列车的速度为120千米/时，高铁的速度为300千米/时．
（Ⅰ）求A和C之间的距离；
（Ⅱ）若要乙不晚于甲到达B城市，则乙在C城市停留的时间最长为多少分钟？
（Ⅲ）乙出发多少分钟后，乙在高铁上与甲的距离最近？（该小问计算结果保留整数）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D； 2．B； 3．D； 4．B； 5．C； 6．A； 7．C； 8．D； 9．A； 10．B； 11．D； 12．D；
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．5； 14．2； 15．； 16．0；
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（I）根据题意，设数列{an}的首项为a1，公比为q，则a7＝a1 q6，a4＝a1 q3，
故由a7＝－8a4可得q＝－2，即得a2＝－2a1，a3＝－8a1，
又因为2a1，－a2，a3－6成等差数列，所以－2a2＝2a1＋a3－6，
即－4a1＝2a1－8a1－6，从而可得a1＝－3，
所以数列{an}的通项公式为an＝ 3 ( 2)n 1；
（II）根据题意，假设，则数列是以－3为首项，为公比的等比数列，则根据等比数列的前n项和公式可得，
18．证明：（I）∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，又BD⊥AA1，且AA1∩AC＝A，AC 面ACC1A1，
∴BD⊥面ACC1A1，又BD 平面ABCD．
∴平面ABCD⊥平面ACC1A1；
（II）∵底面ABCD是菱形，AB＝BD＝2，
故△ABD是等边三角形，则AC＝2ABsin60°＝2．
又四边形ACC1A1是正方形，则AA1＝AC＝2，
由（Ⅰ）知BD⊥AA1，又AC⊥AA1，AC、BD 面ABCD，BD与AC相交，
∴AA1⊥平面ABCD，
∴．
19．解：(1)因为由正弦定理可得又sinB＞0，c＝3，
所以可得2可得所以由正弦定理可得△ABC的外接圆的半径R
(2)因为c＝3，
所以可得a＝c＝3，
由余弦定理，可得，可得b＝4，
所以△ABC的面积
20．解：（Ⅰ）假设不等式f（x）＜0的解集为（－3，－1），
则ax2＋bx＋2a－1＝0的实数根是－3和－1，且a＞0，
所以
，解得a＝－1，b＝－4，这与a＞0矛盾，
所以不存在a，b，使不等式f（x）＜0的解集为（－3，－1）．
（Ⅱ）若b＝1－3a，则不等式f（x）≥0为ax2＋（1－3a）x＋2a－1≥0，
a＝0时，不等式为x－1≥0，解得x≥1；
a≠0时，不等式化为（x－1）[ax－（2a－1）]≥0，
a＝1时，不等式为（x－1）2≥0，解得x∈R；
a＞1时，2－＞1，解不等式得x≤1或x≥2－；
0＜a＜1时，2－＜1，解不等式得x≤2－或x≥1；
a＜0时，2－＞1，解不等式得1≤x≤2－；
综上知，a＝0时，不等式的解集为[1，＋∞）；
a＝1时，不等式的解集为R；
a＞1时，不等式的解集为（－∞，1]∪[2－，＋∞）；
0＜a＜1时，不等式的解集为（－∞，2－]∪[1，＋∞）；
a＜0时，不等式的解集为[1，2－]．
21．解：(I)由
代入a3，S3，得，解得
(2)由(1)可得，等差数列的前n项和为
所以1
所以
又因为当n≥3时，
所以当n≥3时，
又因为
所以＋(n＋1)＝(根据题意，当时，解之可得n＝9或n＝－12(舍去)．
故可得当时，n的值为9．
22．解：（Ⅰ）在△ABC中，A，B，C∈（0，π），，
则sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝，
由正弦定理可得，
则，即A和C之间的距离为255km；
(II)甲乘普通列车直接从A到B，所需时间为小时＝192．5分钟，
由正弦定理可得，即
所以
乙从A到C所需时间为分钟，
到B所需时间为分钟
设需等待的时间为t，
则解得t≤26．5分钟，
故乙在C城市停留的时间最长为26．5分钟；
（Ⅲ）设乙出发x分钟后，乙在AC上位置为D，甲在AB上位置为E，
则AD＝2×15＋2x＝30＋2x，AE＝5x，
又乙从A到C所需时间为51分钟，
则0＜x＜51，
因为DE2＝AD2＋AE2－2AD AE cosA＝(30＋2x)2＋25x2 2(30＋2x)×10×
令f（x）＝，0＜x＜51，
因为函数f（x）的对称轴为x＝
所以当时，f（x）取得最小值，此时DE最小，
故乙出发6分钟后，乙在高铁上与甲的距离最近．
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