河南省焦作市2021-2022学年高二上学期期中考试数学（文）试题（Word版含答案）

焦作市普通中2021－2022学年(上)高二年级期中考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2}，则A∩（ ∪B）＝（　　）
A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．{﹣1}
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知a，b，c∈R，若b＜0＜a，则（　　）
A．0＜a2＜b2 B．ab＞b2 C．ac＞bc＞0 D．ac2≥bc2
4．在等差数列{an}中，a3＋a4＝19，a2＝5，则{an}的公差为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．设变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最大值为（　　）
A．1 B．6 C．10 D．13
6．已知f（x）是R上的奇函数，且f（x＋2）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x﹣1，则f（）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．圆C：x2＋y2﹣10x﹣6y＋9＝0截x轴所得的线段长度为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．某射箭运动员在一次训练中射出了10支箭，命中的环数分别为：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，设这组数据的平均数为，则从这10支箭中任选一支，其命中的环数大于或等于的概率为（　　）
A．0．4 B．0．5 C．0．6 D．0．7
9．若数列{an}满足a2＝9，an﹣1＋n＝an＋1（n≥2且n∈N×），则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．在平面凸四边形ABCD中，∠BAD＝105°，∠ABC＝60°，∠CAD＝45°，∠CBD＝15°，AB＝3，则CD＝（　　）
A． B．3 C．3 D．
11．若关于x的不等式﹣x2＋ax﹣2≤0在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[，＋∞） B．（﹣∞，] C．[，＋∞） D．（﹣∞，﹣3]
12．已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，若f（x）＝m在[0，π）上有两个实根a，b，且|a﹣b|＞，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣，0） B．（0，） C．（，1） D．（﹣，）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量＝（﹣2，1），＝（m，m），若⊥（＋），则实数m＝　 　．
14．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝14，S6＝126，则a1＝　 　．
15．在△ABC中，已知角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且3csinA＝4bsinC，则cosB＝　 　．
16．已知a＞0，b＞0，则a＋＋的最小值为 　 　．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列{an}的前n项和Sn＝＋2．
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）求{an}的通项公式．
18．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，BD⊥AA1．
（Ⅰ）证明：平面ABCD⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）若四边形ACC1A1是正方形，AB＝BD＝2，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝3，cosA＝，＝．
（1）求△ABC的外接圆的半径R；
（2）求△ABC的面积．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax2＋bx＋2a﹣1，a，b∈R．
（Ⅰ）是否存在a，b，使不等式f（x）＜0的解集为（﹣3，﹣1）？说明理由．
（Ⅱ）若b＝1﹣3a，求不等式f（x）≥0的解集．
21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝7，S3＝5a1．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{1＋}的前n项和为Tn，证明：当n≥3时，Tn＞．
22．（12分）如图所示，A，B，C是三座相邻的城市，为方便处理，将城市看作点，城市之间的路线都简化为直线，交通工具都做匀速运动，已知AB＝385千米，且cosA＝，cosB＝．现有甲、乙两人从A城市去B城市，甲乘普通列车直接从A到B，甲出发15分钟后，乙先乘高铁从A到C，在C城市停留30分钟后再乘汽车到B．假设普通列车的速度为110千米/时，高铁的速度为340千米/时．
（Ⅰ）求A和C之间的距离；
（Ⅱ）甲从A出发30分钟后，求甲、乙之间的距离；
（Ⅲ）若甲和乙恰好同时到达B城市，求乙所乘的汽车的速度．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D； 2．B； 3．D； 4．B； 5．C； 6．A； 7．C； 8．D； 9．A； 10．B； 11．A； 12．D；
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．5； 14．2； 15．； 16．2；
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ）数列{an}的前n项和．n＝1时，，解得．
（Ⅱ）数列{an}的前n项和，
两式相减可得：，所以，
所以数列{an}是首项为3，公比为的等比数列，．
18．证明：（I）∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，又BD⊥AA1，且AA1∩AC＝A，AC 面ACC1A1，
∴BD⊥面ACC1A1，又BD 平面ABCD．
∴平面ABCD⊥平面ACC1A1；
（II）∵底面ABCD是菱形，AB＝BD＝2，
故△ABD是等边三角形，则AC＝2ABsin60°＝2．
又四边形ACC1A1是正方形，则AA1＝AC＝2，
由（Ⅰ）知BD⊥AA1，又AC⊥AA1，AC、BD 面ABCD，BD与AC相交，
∴AA1⊥平面ABCD，
∴．
19．解：(1)因为由正弦定理可得又sinB＞0，c＝3，
所以可得2可得所以由正弦定理可得△ABC的外接圆的半径R
(2)因为c＝3，
所以可得a＝c＝3，
由余弦定理，可得，可得b＝4，
所以△ABC的面积
20．解：（Ⅰ）假设不等式f（x）＜0的解集为（－3，－1），
则ax2＋bx＋2a－1＝0的实数根是－3和－1，且a＞0，
所以
，解得a＝－1，b＝－4，这与a＞0矛盾，
所以不存在a，b，使不等式f（x）＜0的解集为（－3，－1）．
（Ⅱ）若b＝1－3a，则不等式f（x）≥0为ax2＋（1－3a）x＋2a－1≥0，
a＝0时，不等式为x－1≥0，解得x≥1；
a≠0时，不等式化为（x－1）[ax－（2a－1）]≥0，
a＝1时，不等式为（x－1）2≥0，解得x∈R；
a＞1时，2－＞1，解不等式得x≤1或x≥2－；
0＜a＜1时，2－＜1，解不等式得x≤2－或x≥1；
a＜0时，2－＞1，解不等式得1≤x≤2－；
综上知，a＝0时，不等式的解集为[1，＋∞）；
a＝1时，不等式的解集为R；
a＞1时，不等式的解集为（－∞，1]∪[2－，＋∞）；
0＜a＜1时，不等式的解集为（－∞，2－]∪[1，＋∞）；
a＜0时，不等式的解集为[1，2－]．
21．解：(I)由
代入a3，S3，得，解得
证明：(
令Qn为前n项和，
）
当n≥3时，
∴n≥3时，
22．解：（Ⅰ）在△ABC中，A，B，C∈（0，π），，
则sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝，
由正弦定理可得，
则，即A和C之间的距离为255km；
（Ⅱ）如图，假设甲从A出发30分钟时到达D，此时乙从A出发15分钟到达E，连接DE，，
在△ADE中，由余弦定理可得DE ＝AD ＋AE －2AD AEcosA，
即DE ＝55 ＋85 －2×55×85×，解得DE＝20，
即甲从A出发30分钟后，甲、乙之间的距离为20；
（Ⅲ）由余弦定理可得BC ＝AB ＋AC －2AB ACcosA，
即BC ＝385 ＋255 －2×385×255×，解得BC＝200，
设汽车速度为xkm/h，则由题意可得，解得x＝80，
即乙所乘的汽车的速度为80km/h．
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