2021-2022学年苏科版九年级数学下册6.4.1平行线分线段成比例及平行线截三角形相似--课后提升练(word解析版)

6.4.1平行线分线段成比例及平行线截三角形相似--课后提升练
2021-2022学年苏科版九年级数学下册
一、选择题
1、如图，，直线a，b与分别相交于A，B，C和D，E，F．若，
则的长为（ ）
A．10 B． C．12 D．14
（1题） （2题） （3题） （4题）
2、如图，三条直线a∥b∥c，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
3、如图，在中，，若，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
4、如图：在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，GEBD且交AB于点E，GFAC且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5、AD 是△ABC 的中线，E是AD 上一点，AE=AD，BE 的延长线交 AC 于 F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（5题） （6题） （7题）
6、如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DA的延长线上取点E，连接OE交AB于点F，已知AD＝11，CD＝14，且AF＝2，则AE的长为（ ）
A．2.3 B．2.2 C．2.1 D．2
7、如图，在△ABC中，EF//BC，EG//AB，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、CD上，AD∥EF，如果AE：AB＝1：3，
AD＝4，BC＝10，那么EF的长为（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9、如图，在 ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（　　）
A． B． C． D．
（9题） （10题） （11题）
10、如图所示，BE＝3EC，D是线段AC的中点，BD和AE交于点F，已知△ABC的面积是7，
求四边形DCEF的面积（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题
11、如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=_________.
12、如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是__________．
（12题） （13题） （14题）
13、如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝2，AC＝8，那么CE＝___．
14、如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，直线l4与l5相交于点G，如果AG＝2，GB＝1，BC＝5，那么的值等于____．
15、如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC∶CD为__________．
（15题） （16题） （17题） （18题）
16、如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则BE的长为　　．
17、如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为______．
18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　　．
三、解答题
19、如图，，，，．求的长．
20、如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长．
21、如图，在中，D为AC上一点，E为CB的延长线上一点，连接BD交AB于点F，且，.求证：.
22、已知：如图，点、在的边上，点在边上，且，．
求证：．
23、已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、．求证：．
24、如图，在中，是的中点，是边延长线上的点，连结交于点．
求证：．
25、如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE交AE于点G．
（1）求证：GF=BF；
（2）若EB=1，BC=4，求AG的长；
（3）在BC边上取点M，使得BM=BE，连接AM交DE于点O．求证：FO ED=OD EF．
26、如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，
①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值
②证明：；
（2）若点D是BC上任意一点，试证明：．
6.4.1平行线分线段成比例及平行线截三角形相似--课后提升练
2021-2022学年苏科版九年级数学下册（解析)
一、选择题
1、如图，，直线a，b与分别相交于A，B，C和D，E，F．若，
则的长为（ ）
A．10 B． C．12 D．14
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例的基本事实，建立比值关系求解即可．
【详解】
解：∵，且
∴, ∴
∴
故答案选：D
2、如图，三条直线a∥b∥c，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】
根据平行线分线段成比例的性质，即可求解．
【详解】
解：∵
∴
∴
故选B
3、如图，在中，，若，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】
根据平行线分线段成比例定理可得．
【详解】
解：，，
,
故选：D．
4、如图：在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，GEBD且交AB于点E，GFAC且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】
由GEBD、GFAC利用平行线分线段成比例，可得出，，进而可得出，此题得解．
【详解】
解：∵GEBD、GFAC，
∴，，
∴．
故选：C．
5、AD 是△ABC 的中线，E是AD 上一点，AE=AD，BE 的延长线交 AC 于 F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】
作DG∥AC交BF于G，如图，根据平行线分线段成比例定理，由DG∥CF得
，即FC=2DG，由DG∥AF，，则，然后计算AF：FC．
【详解】
作DG∥AC交BF于G，如图，
∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
∵DG∥CF，∴=，∴FC=2DG，
∵DG∥AF，∴，∴，
∴．
故选C.
6、如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DA的延长线上取点E，连接OE交AB于点F，已知AD＝11，CD＝14，且AF＝2，则AE的长为（ ）
A．2.3 B．2.2 C．2.1 D．2
【分析】
过O点作OM∥AB，求出AM和MO的长，利用△AEF∽△MEO，得到关于AE的比例式，求出AE的长即可．
【详解】
解：过O点作OM∥AB，交AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD=14，
∴O为BD的中点，
又∵OM∥AB，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM=DM=AD=，OM=AB=7．
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，
∴，
∴，
∴AE=．
故选B．
7、如图，在△ABC中，EF//BC，EG//AB，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可．
【详解】∵EG//AB，EF//BC，∴，
∵AC≠EC∴不成立，∴选项A错误；
∵EG//AB，EF//BC，∴，，
∵AE≠EC，∴不成立，∴选项B错误；
∵EG//AB，EF//BC，∴，
∵DF≠AF∴不成立，∴选项C错误；
∵EG//AB，EF//BC，∴，，∴，∴选项D正确；
故选D．
8、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、CD上，AD∥EF，如果AE：AB＝1：3，
AD＝4，BC＝10，那么EF的长为（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】连接BD交EF于点G，由平行线得出DF：DC＝AE：AB＝1：3，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出EG：4＝2：3，GF：10＝1：3，解得EG=，GF=，即可得出答案．
【详解】解：连接BD交EF于点G，
∵AE：AB＝1：3，
∴EB：AB＝2：3，
∵AD∥EF∥BC，
∴DF：DC＝AE：AB＝1：3，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，
∴EG：AD＝EB：AB＝2：3，GF：BC＝DF：DC＝1：3，
即EG：4＝2：3，GF：10＝1：3，
∴EG=，GF=，
∴EF=+=6．
故选B．
9、如图，在 ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（　　）
A． B． C． D．
【详解】
∵∠ABC的平分线交CD于点F，∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，
∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，
∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，
∵AD=8，∴DE=4，
∵DC∥AB，∴，∴，∴EB=6，
∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG=BF=2，
在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，根据勾股定理得，CG===，
故选C．
10、如图所示，BE＝3EC，D是线段AC的中点，BD和AE交于点F，已知△ABC的面积是7，
求四边形DCEF的面积（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
过点D作DH∥AE，交BC于H，先证得EH=CH，再证明，由此得到，根据BE=3CE求出△ACE的面积，即可得到答案.
【详解】过点D作DH∥AE，交BC于H，
∵点D是AC的中点，∴,即EH=CH，
∵BE=3CE，∴,∴,∴,
∵, ∴,
∵BE=3CE，∴， ∴四边形DCEF的面积=.
故选：B.
二、填空题
11、如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=_________.
【详解】
试题分析：∵DE//AC,∴DB:AD=BE:CE,∴4:2=3:EC,EC=.
12、如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是__________．
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案为：10．
13、如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝2，AC＝8，那么CE＝___．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例，可得，从而可以求得AE的长，进而即可求解．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝3，BD＝2，AC＝8，
∴，
∴AE＝，
∴CE=AC-AE=8-=，
故答案是：．
14、如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，直线l4与l5相交于点G，如果AG＝2，GB＝1，BC＝5，那么的值等于____．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算，可求得答案．
【详解】解：∵AG＝2，GB＝1，
∴AB＝AG＋BG＝3，
∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
故答案是：．
15、如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC∶CD为__________．
【分析】
过C点作CP∥AB，交DE于P，由PC∥AE知，由AM=CM，得PC=AE，根据AE＝AB得CP＝AB，CP＝BE，由CP∥BE得，可得BD=3CD，继而得到答案.
【详解】
过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，
∵PC∥AE，
∴，
而AM=CM，
∴PC=AE，
∵AE=AB，
∴CP=AB，
∴CP=BE，
∵CP∥BE，
∴，
∴BD=3CD，
∴BC=2CD，即BC:CD为2:1，
故答案为2:1.
16、如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则BE的长为　　．
【分析】过A作DF的平行线，交BE于G，交CF于H，依据BG∥CH，即可得到，进而得出BE的长．
【解析】如图所示，过A作DF的平行线，交BE于G，交CF于H，
则AD＝GE＝HF＝2，CH＝6﹣2＝4，
∵BG∥CH，
∴，即，
∴BG=，
∴BE＝BG+GE=+2=，
故答案为：．
17、如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先证明EF：BC=1：3，再利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
【详解】
解：，， ，
又，，≌，，
：：3，：：4，，
故答案为．
18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　　．
【分析】过点D作DF∥AE，根据平行线分线段成比例定理可得则，根据已知，可得DO＝2OC，C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：×4×2＝4，即可求出此时△ABO的最大面积．
【解析】如图，过点D作DF∥AE，
则，
∵，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO=DC，
∴S△ADO=S△ADC，S△BDO=S△BDC，
∴S△ABO=S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4=．
故答案为：．
三、解答题
19、如图，，，，．求的长．
【答案】6
【分析】
根据平行线截线段成比例进行计算．
【详解】
解：，
，即，
，
．
20、如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长．
【分析】
由平行线分线段成比例解答即可．
【详解】
∵l1∥l2∥l3，∴，
∵AB=3，AD=2，DE=4，∴，解得：BC=6，
∵l1∥l2∥l3，
∵AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，
∴，∴，解得：BF=2.5．
21、如图，在中，D为AC上一点，E为CB的延长线上一点，连接BD交AB于点F，且，.求证：.
【解析】
【分析】
运用平行线分线段成比例定理式，结合已知条件得到，即可解决问题．
【详解】
∵，∴，，∵，∴，∴.
22、已知：如图，点、在的边上，点在边上，且，．
求证：．
【分析】
由平行线分线段成比例可以得到，
则根据等量代换可以推知，即.
【详解】
∵ ,∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，即．
23、已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、．求证：．
【分析】
由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，
∴，即．
24、如图，在中，是的中点，是边延长线上的点，连结交于点．
求证：．
【答案】见解析
【分析】
过点作交于，根据平行线分线段成比例定理和中点的性质得到，，利用等量代换得到答案．
【详解】
证明：过点作交于，
∴，
∵是的中点，∴，∴，
∵，∴，
∴．
25、如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE交AE于点G．
（1）求证：GF=BF；
（2）若EB=1，BC=4，求AG的长；
（3）在BC边上取点M，使得BM=BE，连接AM交DE于点O．求证：FO ED=OD EF．
【分析】
（1）根据正方形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD，根据相似三角形的性质列出比例式，等量代换即可；
（2）根据勾股定理求出AE，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）延长GF交AM于H，根据平行线分线段成比例定理得到，由于BM＝BE，得到GF＝FH，由GF∥AD，得到，等量代换得到，即，于是得到结论．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，
∵GF∥BE，∴GF∥BC，∴GF∥AD，∴，
∵AB∥CD，，
∵AD=CD，∴GF=BF；
（2）∵EB=1，BC=4，
∴=4，AE=，
∴=4，
∴AG=；
（3）延长GF交AM于H，
∵GF∥BC，∴FH∥BC，∴，∴，
∵BM=BE，∴GF=FH，
∵GF∥AD，∴，，
∴， ∴，∴FO ED=OD EF．
26、如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，
①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值
②证明：；
（2）若点D是BC上任意一点，试证明：．
【答案】（1）①；②见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
②延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得；
（2）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得．
【详解】
（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，
∵PM∥AC，∴DE∥AC，.
∵点D为BC中点，∴点E是AB中点，且，∴；
②延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，
∵DQ=AD，BD=DC，四边形ABQC是平行四边形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，∴，，
∴；（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，∴，
又∵PM∥AC，∴DE∥AC，∴，
∴，
同理可得：，
∴．