2021--2022学年人教版九年级数学上册22.2 二次函数与一元二次方程 课后培优(word版含答案)

22.2 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1＋1|＞|x2＋1|时，y1＜y2；③若抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2＋bx＋c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12
3．已知二次函数（），方程的两根分别为，（＜），方程的两根分别为，（＜），判断，，，的大小关系是（　　）
A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q
4．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，抛物线y＝x2+7x﹣与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及共上方的部分记作C1将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共3个不同的交点，则m的取值范是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＜0；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为＝3，＝－1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x＋1）（x－3）＋2＝0的两个根，则m＜－1且n＞3．其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．抛物线的顶点在轴上方的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则的取值范围是（
A．或 B．或
C．或 D．或
9．下列抛物线中，与轴无公共点的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如表：
x －1 0 2 3 4
y 5 0 －4 －3 0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．如图，一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C5．若P(14，m)在第5段抛物线C5上，则m值为（ ）
A．2 B．1.5 C．-2 D．-2.25
12．已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示：则方程 的根是（ ）
… 0 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
A．0或4 B． 或 C． 或 D．无实根
13．若方程在-1＜x≤4范围内有实数根，则t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．对于二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4．下列说法正确的有：___（填序号）
①函数图象开口向下；
②当x≥m时，y随x的增大而减小；
③函数图象过定点（﹣3，﹣11）；
④若不等式＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣＜m＜﹣4+．
15．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是________．
16．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：
①；②；③；④m为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则．写出所有正确的结论的序号：________．
17．已知关于x的二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的非零根为_____．
18．已知抛物线y＝x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是_____．
19．抛物线y=2x2-3x-1与坐标轴的交点个数为_________．
三、解答题
20．已知抛物线y=-2x+4x+6与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）求线段AB的长；
（3）若点P（m，y1）、Q（m+1，y2）都在抛物线上，试比较y1与y2的大小．
21．已知二次函数y1＝ax2+bx+2（a＞0，b＞0）的图象与x轴只有一个交点A，与y轴交于点B，一次函数y2＝x+k经过点B．
（1）当a＝1时，求点A的坐标；
（2）当a＝2时，若y1＜y2，求x的取值范围；
（3）若y1与y2图象的另一交点是P，当b≥1时求点P横坐标p的取值范围．
22．已知抛物线．
（1）求证：抛物线与轴总有交点；
（2）若与轴的一个交点在它的正半轴，求的取值范围．
参考答案
1．C
解：①∵抛物线图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线的对称轴为x=-1，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∵|x1+1|=|x1-（-1）|，|x2+1|=|x2-（-1）|，|x1+1|＞|x2+1|，
∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故②错误；
③∵抛物线的顶点坐标为（-1，m），
∴y-m≥0，
∴ax2+bx+c-m≥0
∴ax2+bx+c-m＞-1，即ax2+bx+c＞m -1
∴ax2+bx+c=m-1无实数根．故③正确．
综上所述，③正确，
故选择C．
2．D
∵对称轴为直线x＝2，
∴，
∴b＝﹣4，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x，
∴顶点坐标为（2，-4），
∵﹣1＜x≤6，
∴当x=-1时，y=5，当x=6时，y=12，
∴二次函数y的取值范围为﹣4≤t≤12，
∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，
∴﹣4≤t≤12，
故选：D．
3．B
解：二次函数y=(x-1)2-t2 (t≠0) 的图象如图所示：
根据图象可知p＜m＜n＜q．
故选：B．
4．D
解：∵抛物线开口向上，
∴a>0；故选项A正确，不符合题意；
∵对称轴在y轴的左边，∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，
∴abc＞0，故选项B正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，故选项C正确，不符合题意；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
5．A
解：将y＝0代入，
得：，
解得：，，
抛物线与轴交于点、，
，，
抛物线向左平移4个单位长度，
∵，
平移后解析式，
如图，
当直线过点，有2个交点，
，
解得：，
当直线与抛物线相切时，有2个交点，
，
整理得：，
相切，
，
解得：，
若直线与、共有3个不同的交点，
，
故选：A．
6．A
解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，
抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确；
当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故②正确；
抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（ 1，0），所以a b＋c＝0，又x＝ ＝1，有2a＋b＝0，所以3a＋c＝0，而a＜0，因此2a＋c＞0，③不正确；
抛物线与x轴交点（3，0），（ 1，0），即方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝3，x2＝ 1；因此cx2＋bx＋a＝0的两根x1＝，x2＝ 1，故④错误；
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（3，0），（ 1，0），且a＜0，因此当y＝ 2时，相应的x的值大于3，或者小于 1，即m＜ 1，n＞3，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②⑤，
故选：A．
7．A
解：∵抛物线的顶点在轴上方，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴=0无解，
∴，
故选A．
8．A
解：设直线AB为：y＝kx＋b，把A，B两点代入得：，解得：，
∴直线AB为：y＝x＋，令x＋＝ax2 2x＋1，则4ax2 7x 2＝0，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴△＝（ 7）2 4×4a×（ 2）＞0，则a＞，
＜a＜0时，，解得：＜a≤ ，
a＞0时，，解得a≥1．
综上a的取值范围为：或a≥1．
故选：A．
9．D
解：A、Δ＝b2﹣4ac＝0+4＝4＞0，该抛物线与x轴有2个交点，不符合题意；
B、△＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0，该抛物线与x轴有1个交点，不符合题意；
C、△＝b2﹣4ac＝16+20＝36＞0，该抛物线与x轴有2个交点，不符合题意；
D、△＝b2﹣4ac＝4﹣8＝﹣4＜0，该抛物线与x轴没有交点，符合题意；
故选：D．
10．C
解：由表格可得，该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，故②正确；
当x＜2 时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，所以该抛物线的开口向上，故①正确；
由①可知，当0＜x＜4时，y＜0；故③错误；
故选：C．
11．A
解：令y=0，则-x（x-3）=0，
解得x1=0，x2=3，
∴A1（3，0），
由图可知，抛物线C5在x轴上方，
相当于抛物线C1向右平移3×4=12个单位得到，
∴抛物线C5的解析式为y=-（x-12）（x-12-3）=-（x-12）（x-15），
∵P（14，m）在第5段抛物线C5上，
∴m=-（14-12）（14-15）=2．
故选：A．
12．B
解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，
因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），
所以抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线经过点（，-1），
所以抛物线经过点（4-，-1），
二次函数解析式为y=ax2+bx+0.37，
方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，
所以方程ax2+bx+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+1.37=0的根为x1=，x2=4-．
故选：B．
13．D
解：设二次函数 和动直线，
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-1），
当x=-1时， ，
当x=4时， ，
∵方程 在 -1＜x≤4 范围内有实数根，
∴二次函数和动直线在-1＜x≤4范围内有公共点，
∴-1≤t≤8
故答案为：D
14．①③④
解：①∵
∴二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4的图象开口向下，故①正确；
②
∵抛物线的对称轴为直线
又函数图象开口向下
∴当x≥m+1时，y随x的增大而减小，故②错误；
③把x=-3代入
所以，函数图象过定点（﹣3，﹣11），故③正确；
④对于函数的，
所以，的值恒为正值
∵＜0
∴
∴的图象在x轴的下方，
∴
令
解得，，
∵函数的图象开口向上
∴的解集为﹣4﹣＜m＜﹣4+
所以，不等式＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣＜m＜﹣4+，故④正确．
故答案为①③④．
15．-1＜x＜3
解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，
抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
则（-1，0）关于x=1对称的点为（3，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
当-1＜x＜3时，y＜0，
故答案为：-1＜x＜3．
16．①③⑤
解：①由对称轴可知：x＝ ＝2，
∴4a＋b＝0，故①正确；
②由图可知：x＝ 3时，y＜0，
∴9a 3b＋c＜0，
即9a＋c＜3b，故②错误；
③令x＝ 1，y＝0，
∴a b＋c＝0，
∵b＝ 4a，
∴c＝ 5a，
∴8a＋7b＋2c
＝8a 28a 10a
＝ 30a
由开口可知：a＜0，
∴8a＋7b＋2c＝ 30a＞0，故③正确；
④∵当时， ，当时， ，
∴ ，
∴ ，
故④错误；
⑤由题意可知：（ 1，0）关于直线x＝2的对称点为（5，0），
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋1）（x 5），
令y＝ 3，
∴直线y＝ 3与抛物线y＝a（x＋1）（x 5）的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1＜ 1＜5＜x2
故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
17．x＝－2
解：∵抛物线与x轴的交点为（-3，0），（1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+3=0的根是x1=-3，x2=1，对称轴是直线x=-1，
又∵将抛物线y=ax2+bx+3的图象向下平移3个单位而得到抛物线y=ax2+bx，
∴抛物线y=ax2+bx与x轴的交点坐标是（0，0）、（-2，0）．
∴关于x的方程ax2+bx=0的非零根为x= -2．
故答案是：x= -2．
18．-5
解：∵抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，
∴，
∴k＜0，
∵抛物线，
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是，
∴将（0，0）代入，得，
解得k1=2（舍去），k2=-5．
故答案为：-5．
19．3
令，，则与轴存在一个交点，
当时，
即与轴有2个交点
故抛物线y=2x2-3x-1与坐标轴的交点个数为3个
故答案为：3
20．（1）顶点（1，8）、对称轴直线x=1；（2）4；（3）当m=时，y1= y2；当m＞时y1＞y2；当m＜时y1＜y2
解：（1）将抛物线化为顶点式，
则，
即该抛物线的顶点坐标为（1，8），对称轴为；
（2）令，则
解得；，，
∴；
（3）∵点P（m，y1），Q（m+1，y2）都在抛物线上，
∴，
①当时，即时，；
②当时，即时，；
③当时，即时，；
综上，当时，；当时，；当时，．
21．（1）点A（-，0），（2）；（3）
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+2（a>0，b>0）的图象与x轴只有一个公共点，
∴b2-4a×2=0，
即：b2=8a，
当a=1时，b2=8，
又∵b>0，
∴b=，
∴二次函数的关系式为：y=x2x+2，
当y=0时，x2x+2=0，解得：x1=x2=-，
∴点A（-，0），
(2) 当a=2时，b2=16，
又∵b>0，
∴b=4，
∴y1＝2x2+4x+2
令x=0，得y=2
所以，点B的坐标为（0，2），
∵一次函数y2＝x+k经过点B
∴k=2
联立方程组
解得，
∵a=2>0
∴抛物线开口向上，
∴当y1＜y2时，
（3）∵b2=8a，
∴
∴
联立方程组
∴
∴
∵8>0
∴当时，p随着的增大面减小，
∵b≥1
∴
∴，即
22．（1）证明见解析；（2）
解：（1） ，
抛物线与轴总有交点.
（2） 抛物线与轴的一个交点在它的正半轴，则另一个交点在负半轴或原点，
设两个交点是横坐标分别为： 且
当时，抛物线过原点，则 不符合题意；
当时，则