河北省部分名校2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

河北省部分名校2021-2022学年高二上学期期中考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册前三章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线经过原点和点，则的斜率是（ ）
A.0 B.-1 C.1 D.不存在
2.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线，直线，则与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
7.已知双曲线的左 右焦点分别为，，是双曲线右支上的一点，且的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为（ ）
A. B. C.2 D.4
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. D.直线，夹角的余弦值为
10.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则（ ）
A. B.
C.直线的斜率为1 D.直线的斜率为4
11.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过作直线与轴垂直，且交于，两点，若三角形的外接圆与轴的一个交点坐标为，则（ ）
A.
B.
C.四边形的面积为5
D.四边形的面积为10
12.已知，，若圆上存在点，使得，则的值可能为（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.抛物线上的点到其准线的距离为2，则______.
14.过点且与圆相切的直线方程为______.
15.椭圆的左 右焦点分别为，，点在椭圆上，（为坐标原点），，则椭圆的长轴长为______.
16.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折到的位置，使得四面体为鳖臑，若为的重心，则直线与平面所成角的正弦值为______.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知直线过点.
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
18.（12分）
在①双曲线的焦点在轴上，②双曲线的焦点在轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线与双曲线的渐近线相同，______，且的焦距为4，求双曲线的实轴长.
注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（12分）
已知圆，直线.
（1）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；
（2）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，求的取值范围.
20.（12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，且.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的正弦值
21.动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.记点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）如果圆被曲线所覆盖，求圆半径的最大值.
22.设抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点.
（1）若，求的方程.
（2）以，为切点分别作抛物线的两条切线，证明：两条切线的交点一定在定直线上，且.
河北省部分名校2021-2022学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1.B 因为直线经过原点和点，所以的斜率.
2.D 双曲线的渐近线方程为.
3.A 由题可得，，所以.
4.A 直线的方程可化为，则直线与之间的距离.
5.C 因为是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，
所以圆心坐标为，半径.
故所求圆的标准方程为.
6.C 选项A，，所以，，共面；
选项B，，所以，，共面；
选项D，，共线，则，，共面.
7.A 设双曲线的焦距为，由题可知
解得，，所以，则，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
8.B 设平面的法向量为，则所以
令，则，，所以以是平面的一个法向量.
点到平面的距离，故该三棱柱的高为.
9.ABC ，，故选ABC.
10.AC 由题意可得，整理可得.
设，，则，，两式相减可得.
因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以，
则直线的斜率.
11.BD 抛物线的焦点为，
因为与轴垂直，所以，的横坐标均为，代入抛物线方程求得其纵坐标为，
不妨设，，结合三角形的对称性可知，，
所以，则，解得.
四边形的面积为.
12.BCD 设点，由，所以，
则，即点是以为圆心，为半径的圆上一点.
圆，可化为，因为是圆上一点，
所以，解得.
13.4 由抛物线可得准线方程为.因为点到其准线的距离为2，
所以，解得.
14. 可化为，其圆心为，半径为.
因为点在圆上，所以切线的斜率满足，解得，
则切线方程为，即.
15. 由，得，则，所以.
设，，则，，所以，
所以，解得，所以椭圆的长轴长为.
16. 在直角中，为斜边上的高，，，
则，，，，即在四面体中，
，，，，，则.
要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要平面，
此时，，，为直角，满足四面体为鳖臑，
则.
如图，在长 宽 高分别为，1，的长方体中作出四面体，
以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，.
设为平面的一个法向量，则
令，则，，所以.
又，所以直线与平面所成角的正弦值为.
17.解：（1）设直线的方程为3，
则，解得，
所以直线的方程为.
（2）当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即.
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，
所以直线的方程是.
综上，所求直线的方程为或.
18.解：（1）设双曲线的方程为，
则解得
所以双曲线的方程为
（2）双曲线的渐近线方程为.
选①，设双曲线的标准方程为，
所以解得，.
所以双曲线的实轴长为2.
选②，设双曲线的标准方程为
所以解得，，
所以双曲线的实轴长为.
19.解：（1）由，可得.
由得即直线过定点.
可化为，因为圆心，所以，
又因为当所截弦长最短时，，所以，
所以直线的方程为.
（2）因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，
所以，
解得或，即的取值范围为.
20.（1）证明：平面，.
又，，，，
，.
易知，，即.
又，且，平面.
又平面，平面平面.
（2）解：平面，.又，易知，
.如图，连接.
平面，，.
又，，.平面，，
，
过点作交于点，易知.
以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，.
设平面的法向量为，
则可取平面的一个法向量为.
又平面，平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，则，
，二面角的正弦值为.
21.解：（1）设，，则，，.
由，得，.
因为在圆上，所以.故的方程为.
（2）设是曲线上任意一点，则，
所以
当时，.
所以圆半径的最大值为.
22.解：由题意得，设直线的方程为，，，
联立消元得，
所以，.
（1）因为，
由题设知，解得，所以的方程为.
（2）设与抛物线相切的切线方程为，
则化简得.
由，可得.
将点坐标代入方程，可得，，
所以过的切线方程为.
同理，过的切线方程为，联立方程组可得，，
所以交点在定直线上.
当时，显然成立；
当时，，则，所以.
综上所述，.