2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质同步练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质同步练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 933.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-27 22:19:22 | ||
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文档简介
3.2.2双曲线的简单几何性质
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的离心率为，过双曲线右焦点作一条直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，设为坐标原点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．如图，F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
5．若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A．， B．
C． D．
6．过点作直线l与双曲线交于P，Q两点，且使得A是的中点，直线l方程为（ ）
A． B．不存在 C．x=1 D．2x+y-3=0
7．下列三个图中的多边形均为正多边形，图①，②中，是所在边上的中点，双曲线均以图中的，为焦点，设图①，②，③中的双曲线的离心率分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线的右焦点为，设是双曲线上关于原点对称的两点，分别为的中点.若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列有关双曲线的性质说法正确的是（ ）
A．离心率为 B．顶点坐标为(0，±2)
C．实轴长为4 D．虚轴长为
10．已知双曲线：过点，左、右焦点分别为，，且一条渐近线的方程为，点为双曲线上任意一点，则（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C．点到两渐近线的距离的乘积为 D．的最小值为1
11．(多选) 将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）
A．对任意的，，
B．当时，
C．对任意的，，
D．当时，
12．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”，则下列命题正确的有（ ）
A．若是“黄金椭圆，则
B．若焦距为4，且点A在以为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为
C．若是黄金双曲线的左焦点，C是右顶点，则
D．若是黄金双曲线的弦，离心率为e，M是的中点，若和的斜率均存在，则
三、填空题
13．双曲线的两条渐近线的夹角的弧度数为___________
14．已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为_______________________．
15．三等分角是古希腊三大几何难题之一，公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题，如图，已知圆心角ACB是待三等分的角(0<∠ACB<π)，具体操作方法如下∶在弦AB上取一点D，满足AD=2DB，以AD为实轴，为虚轴作双曲线，交圆弧AB于点M，则∠ACM=2∠MCB，即CM为∠ACB的三等分线，已知双曲线E的方程为，点A，D分别为双曲线E的左，右顶点，点B为其右焦点，点C为双曲线E的右准线上一点，且不在x轴上，线段CB交双曲线E于点P，若扇形CMB的面积为，则的值为___________.
16．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点A是在第一象限的公共点，若点A关于的一条渐近线的对称点为，则________．
四、解答题
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程.
（1）焦点在x轴上，，经过点A；
（2）焦点在y轴上，焦距是16，离心率；
（3）离心率，经过点M ．
18．已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.
（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；
（2）若直线y=x+m被双曲线CC截得的弦长为，求m的值.
19．已知双曲线：的离心率为，点在上，为的右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）设为的左顶点，过点作直线交于（不与重合）两点，点是的中点，求证：.
20．已知双曲线：与点．
（1）是否存在过点的弦，使得的中点为；
（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆．
参考答案
1．D
令，可得渐近线方程为．
故选：D
2．D
解析：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.
∴ m2＝1，即m＝±1.
故选：D.
3．C
解：因为双曲线的离心率为，所以，解得，，所以双曲线方程为，所以渐近线方程为，右焦点，
不妨取，即，则到渐近线的距离，所以
故选：C
4．A
试题分析：由题意设，则，即，所以，又有，则，即，所以双曲线的离心率为.
考点：双曲线的定义及性质.
5．B
由消去y，整理得，
的两根为x1，x2，
∵直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，
∴，∴k＜﹣1，
∴.
故选：B．
6．B
设点，因点是的中点，则，
从而有，两式相减得：，
即，于是得直线l的斜率为，
直线l的方程为：，即，
由消去y并整理得：，此时，即方程组无解，
所以直线l不存在.
故选：B
7．D
解：在图①中，连接，设，
∵，∴，∴，
∴，
在图②中，连接，，设，
∴，解得，
又∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
在图③中，连接，，设，
∵，∴，
∴，
∴，
∴.
故选：D.
8．C
根据题意，不妨设，则，
则，，
又因为原点在以线段为直径的圆上，
所以，所以，即，
所以，
又因为直线的斜率为，所以，
所以，解得
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：C
9．ACD
解：由，得，
所以，
所以，
所以离心率，实轴长，虚轴长，
顶点为，
所以A，C，D正确，B错误，
故选：ACD
10．ACD
因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以，
又双曲线过点，所以，得，，
所以双曲线的标准方程为，选项A正确；
易知，所以，所以，所以选项B不正确；
设点，则点到两渐近线的距离的乘积为，
因为点在双曲线上，所以，即，
所以点到两渐近线的距离的乘积为，所以选项C正确；
当点为双曲线的左顶点时，取得最小值为1，所以选项D正确．
故选：ACD．
11．BD
由题意，双曲线，；
双曲线，，
，
当时，；当时，，
故选：BD
12．BCD
解：对A：椭圆焦点位置不确定，可能在轴上也可能在轴上，所以应有两个值，故选项A错误；
对B：由题意，则，所以，则的周长为，所以选项B正确；
对C：由题意，，，
因为双曲线为黄金双曲线，则，
所以，所以，
所以，，，
所以，所以，所以选项C正确；
对D：设，，，，，，
则，两式相减得，
是的中点，且，
，，
从而，
所以，
所以选项D正确；
故选：BCD.
13．
由双曲线方程知：渐近线方程为，两条渐近线互相垂直，
两条渐近线夹角的弧度数为.
故答案为：.
14．
因为双曲线，所以渐近线方程为，又因为两条渐近线互相垂直，所以，所以，即，因此，
因此，又由双曲线的定义可知，则，
所以在中由余弦定理可得
，
故答案为：.
15．
由可得，右准线方程为
设，，则圆C∶，
由题意可得，又有，即
可得，则BC：，联立，可得
所以
故答案为：
16．2
由题意可得焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
则由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，
所以，
因为点A关于的一条渐近线的对称点为，
所以双曲线的一条渐近线是线段的中垂线，
所以，所以，
所以，即，
所以，所以，
故答案为：2.
17．（1），（2），（3），
解：
（1）由题意设双曲线方程为，
因为，所以，
因为双曲线经过点A，
所以，解得，
所以双曲线方程为，
（2）由题意设双曲线方程为，
因为焦距是16，离心率，所以，解得，
所以，
所以双曲线方程为，
（3）因为离心率，所以，即，
所以，
所以双曲线为等轴双曲线，
所以设双曲线方程为，
因为双曲线经过点M ，
所以，得，
所以双曲线方程为
18．
（1）
（2）
解：（1）
双曲线离心率为，实轴长为2，
，，解得，，
，
所求双曲线C的方程为；
∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，
∴双曲线的焦点到渐近线的距离为.
（2）
设,,
联立，，，
，．
，
，
解得．
19．
（1）；
（2）证明见解析.
解：（1）
由已知可得，，解得：…①，
又点在上，…②，
由①②可得：，，双曲线的方程为；
（2）
当的斜率为时，此时中有一点与重合，不符合题意.
当斜率不为时，设，，，
联立得：，
则，解得：.
，
，
，则是直角三角形，是斜边，
点是斜边的中点，，即.
20．（1）存在；（2）证明见解析.
解：（1）双曲线的标准方程为，，．
设存在过点的弦，使得的中点为，
设，，，
两式相减得，即得：，．
存在这样的弦．这时直线的方程为．
（2）设直线方程为，则点在直线上．
则，直线的方程为，
设，，的中点为，，
两式相减得，则，则
又因为在直线上有，解得，
，解得，，
，整理得，则
则
由距离公式得
所以、、、四点共圆．
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的离心率为，过双曲线右焦点作一条直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，设为坐标原点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．如图，F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
5．若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A．， B．
C． D．
6．过点作直线l与双曲线交于P，Q两点，且使得A是的中点，直线l方程为（ ）
A． B．不存在 C．x=1 D．2x+y-3=0
7．下列三个图中的多边形均为正多边形，图①，②中，是所在边上的中点，双曲线均以图中的，为焦点，设图①，②，③中的双曲线的离心率分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线的右焦点为，设是双曲线上关于原点对称的两点，分别为的中点.若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列有关双曲线的性质说法正确的是（ ）
A．离心率为 B．顶点坐标为(0，±2)
C．实轴长为4 D．虚轴长为
10．已知双曲线：过点，左、右焦点分别为，，且一条渐近线的方程为，点为双曲线上任意一点，则（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C．点到两渐近线的距离的乘积为 D．的最小值为1
11．(多选) 将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）
A．对任意的，，
B．当时，
C．对任意的，，
D．当时，
12．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”，则下列命题正确的有（ ）
A．若是“黄金椭圆，则
B．若焦距为4，且点A在以为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为
C．若是黄金双曲线的左焦点，C是右顶点，则
D．若是黄金双曲线的弦，离心率为e，M是的中点，若和的斜率均存在，则
三、填空题
13．双曲线的两条渐近线的夹角的弧度数为___________
14．已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为_______________________．
15．三等分角是古希腊三大几何难题之一，公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题，如图，已知圆心角ACB是待三等分的角(0<∠ACB<π)，具体操作方法如下∶在弦AB上取一点D，满足AD=2DB，以AD为实轴，为虚轴作双曲线，交圆弧AB于点M，则∠ACM=2∠MCB，即CM为∠ACB的三等分线，已知双曲线E的方程为，点A，D分别为双曲线E的左，右顶点，点B为其右焦点，点C为双曲线E的右准线上一点，且不在x轴上，线段CB交双曲线E于点P，若扇形CMB的面积为，则的值为___________.
16．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点A是在第一象限的公共点，若点A关于的一条渐近线的对称点为，则________．
四、解答题
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程.
（1）焦点在x轴上，，经过点A；
（2）焦点在y轴上，焦距是16，离心率；
（3）离心率，经过点M ．
18．已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.
（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；
（2）若直线y=x+m被双曲线CC截得的弦长为，求m的值.
19．已知双曲线：的离心率为，点在上，为的右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）设为的左顶点，过点作直线交于（不与重合）两点，点是的中点，求证：.
20．已知双曲线：与点．
（1）是否存在过点的弦，使得的中点为；
（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆．
参考答案
1．D
令，可得渐近线方程为．
故选：D
2．D
解析：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.
∴ m2＝1，即m＝±1.
故选：D.
3．C
解：因为双曲线的离心率为，所以，解得，，所以双曲线方程为，所以渐近线方程为，右焦点，
不妨取，即，则到渐近线的距离，所以
故选：C
4．A
试题分析：由题意设，则，即，所以，又有，则，即，所以双曲线的离心率为.
考点：双曲线的定义及性质.
5．B
由消去y，整理得，
的两根为x1，x2，
∵直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，
∴，∴k＜﹣1，
∴.
故选：B．
6．B
设点，因点是的中点，则，
从而有，两式相减得：，
即，于是得直线l的斜率为，
直线l的方程为：，即，
由消去y并整理得：，此时，即方程组无解，
所以直线l不存在.
故选：B
7．D
解：在图①中，连接，设，
∵，∴，∴，
∴，
在图②中，连接，，设，
∴，解得，
又∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
在图③中，连接，，设，
∵，∴，
∴，
∴，
∴.
故选：D.
8．C
根据题意，不妨设，则，
则，，
又因为原点在以线段为直径的圆上，
所以，所以，即，
所以，
又因为直线的斜率为，所以，
所以，解得
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：C
9．ACD
解：由，得，
所以，
所以，
所以离心率，实轴长，虚轴长，
顶点为，
所以A，C，D正确，B错误，
故选：ACD
10．ACD
因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以，
又双曲线过点，所以，得，，
所以双曲线的标准方程为，选项A正确；
易知，所以，所以，所以选项B不正确；
设点，则点到两渐近线的距离的乘积为，
因为点在双曲线上，所以，即，
所以点到两渐近线的距离的乘积为，所以选项C正确；
当点为双曲线的左顶点时，取得最小值为1，所以选项D正确．
故选：ACD．
11．BD
由题意，双曲线，；
双曲线，，
，
当时，；当时，，
故选：BD
12．BCD
解：对A：椭圆焦点位置不确定，可能在轴上也可能在轴上，所以应有两个值，故选项A错误；
对B：由题意，则，所以，则的周长为，所以选项B正确；
对C：由题意，，，
因为双曲线为黄金双曲线，则，
所以，所以，
所以，，，
所以，所以，所以选项C正确；
对D：设，，，，，，
则，两式相减得，
是的中点，且，
，，
从而，
所以，
所以选项D正确；
故选：BCD.
13．
由双曲线方程知：渐近线方程为，两条渐近线互相垂直，
两条渐近线夹角的弧度数为.
故答案为：.
14．
因为双曲线，所以渐近线方程为，又因为两条渐近线互相垂直，所以，所以，即，因此，
因此，又由双曲线的定义可知，则，
所以在中由余弦定理可得
，
故答案为：.
15．
由可得，右准线方程为
设，，则圆C∶，
由题意可得，又有，即
可得，则BC：，联立，可得
所以
故答案为：
16．2
由题意可得焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
则由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，
所以，
因为点A关于的一条渐近线的对称点为，
所以双曲线的一条渐近线是线段的中垂线，
所以，所以，
所以，即，
所以，所以，
故答案为：2.
17．（1），（2），（3），
解：
（1）由题意设双曲线方程为，
因为，所以，
因为双曲线经过点A，
所以，解得，
所以双曲线方程为，
（2）由题意设双曲线方程为，
因为焦距是16，离心率，所以，解得，
所以，
所以双曲线方程为，
（3）因为离心率，所以，即，
所以，
所以双曲线为等轴双曲线，
所以设双曲线方程为，
因为双曲线经过点M ，
所以，得，
所以双曲线方程为
18．
（1）
（2）
解：（1）
双曲线离心率为，实轴长为2，
，，解得，，
，
所求双曲线C的方程为；
∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，
∴双曲线的焦点到渐近线的距离为.
（2）
设,,
联立，，，
，．
，
，
解得．
19．
（1）；
（2）证明见解析.
解：（1）
由已知可得，，解得：…①，
又点在上，…②，
由①②可得：，，双曲线的方程为；
（2）
当的斜率为时，此时中有一点与重合，不符合题意.
当斜率不为时，设，，，
联立得：，
则，解得：.
，
，
，则是直角三角形，是斜边，
点是斜边的中点，，即.
20．（1）存在；（2）证明见解析.
解：（1）双曲线的标准方程为，，．
设存在过点的弦，使得的中点为，
设，，，
两式相减得，即得：，．
存在这样的弦．这时直线的方程为．
（2）设直线方程为，则点在直线上．
则，直线的方程为，
设，，的中点为，，
两式相减得，则，则
又因为在直线上有，解得，
，解得，，
，整理得，则
则
由距离公式得
所以、、、四点共圆．