1.2利用二分法求方程的近似解 题组训练 -2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册 第五章（含答案）

1.2　利用二分法求方程的近似解
基础过关练
题组一　二分法的概念及适用条件
1.下面关于二分法的叙述,正确的是(　　)
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任意一位
C.二分法无规律可循
D.只有在求函数零点时才用二分法
2.(山东日照实验高级中学周考)下列图象对应的函数能用二分法求零点的是(　　)
3.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f>0,则(　　)
A. f(x)在上有零点
B. f(x)在上有零点
C. f(x)在上无零点
D. f(x)在上无零点
4.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是　(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
5.(山东威海三校联考)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
A. f(x)=3x-1 B. f(x)=x3
C. f(x)=|x| D. f(x)=x2-1
6.(贵州铜仁一中月考)用二分法研究f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈　　　　,第二次计算　　　　,以上横线应填的内容分别是(　　)
A.(0,0.5); f(0.25) B.(0,1); f(0.25)
C.(0.5,1); f(0.75) D.(0,0.5); f(0.125)
题组二　用二分法求函数零点的近似值
7.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是(　　)
A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001
8.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间是(　　)
A.[-2,-1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
9.(江西南昌二中高一期末)已知用二分法计算函数f(x)=x3+2x-8的零点时,其附近的函数值参考数据如下表所示:
x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.687 5
f(x) -5.00 4.00 -1.63 0.86 -0.46 0.18
则方程x3+2x-8=0的近似解可取为(精确度为0.1)(　　)
A.1.50 B.1.66 C.1.70 D.1.75
10.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线,且函数f(x)在区间(a,b)上有一个零点x0,f(a)f(b)<0,用二分法求x0时,当f=0时,函数f(x)的零点是　　　　.
11.(广西桂林一中月考)在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即可得出方程的一个近似解为　　　　(精确度为0.1).
12.(山西太原一中月考)已知函数f(x)=3x2-1在区间(0,1)上有唯一零点x0,如果用“二分法”求这个零点(精确度ε=0.05)的近似值,那么将区间(0,1)等分的次数至少是　　　　.此时规定只要零点的存在区间(a,b)满足|a-b|<ε,则可用作为零点的近似值,由此求得x0=　　　　.
题组三　二分法思想的应用
13.(陕西渭南一中月考)设a是函数f(x)=2x-lox的零点,若x0>a,则f(x0)满足(　　)
A. f(x0)=0 B. f(x0)>0
C. f(x0)<0 D.以上都有可能
14.(山东聊城校际联考)函数f(x)=log3x-在区间[1,3]内有零点,则用二分法判断含有零点的区间为(　　)
A. B. C. D.
15.(广西南宁三中高一期末)用二分法研究函数f(x)在区间(0,1)内的零点时,计算得f(0)<0,f(0.5)<0,f(1)>0,那么下一次应计算x=　　　　时的函数值.
16.(广东揭阳期中)某同学在借助计算器求方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0, f(2)>0,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是1.8.那么他再取的4个x的值依次是　　　　　　　　　　　　　　.
17.(安徽六安毛坦厂中学月考)利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 …
y=2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 …
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …
若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为　 .
18.已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障),这是一条10 km长的线路,应如何迅速查出故障所在
19.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0, f(0)>0, f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
20.(四川广元期中模拟)已知函数f(x)=ax3+2ax+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若a=,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根.
答案全解全析
基础过关练
1.B　只有函数的图象在零点附近是连续不断的且在该零点两侧的函数值异号时,才可以用二分法求函数零点的近似值,故A错.二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故C错.求方程的近似解也可以用二分法,故D错.
2.C　在A和D中,函数虽有零点,但它们均是不变号零点,因此它们都不能用二分法求零点.在B中,函数无零点.在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且其零点为变号零点,所以C中对应的函数能用二分法求零点.
3.B　由f(a)f(b)<0, f(a)f>0,可知ff(b)<0,根据零点存在定理可知f(x)在上有零点.
4.C　观察题中图象可知:零点x3的两侧的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.
5.C　只有f(x)的图象是连续不断的,且f(a)·f(b)<0时,才能利用二分法求零点.选项C中f(x)≥0恒成立,不存在x1=a,x2=b,使得f(a)·f(b)<0,故不能用二分法求零点.故选C.
6.A　f(x)=x2+3x-1的图象在(0,0.5)上连续并且f(0)<0, f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈(0,0.5),根据二分法可知在第二次计算时,应计算f(0.25),故选A.
7.B　据二分法的步骤知当区间长度|a-b|小于精确度时,便可结束计算.
8.A　由于f(-2)=-3<0, f(-1)=4>0,故可以取区间[-2,-1]作为计算的初始区间.
9.B　由题表可知函数零点在区间(1.625,1.687 5)内,所以近似解可取为1.66,故选B.
10.答案　
解析　因为f=0,所以函数f(x)的零点是.
11.答案　0.75(答案不唯一)
解析　因为|0.75-0.625|=0.125>0.1,|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1,所以区间[0.687 5,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解,故方程的一个近似解为0.75.
12.答案　5;
解析　开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n(n∈N*)次操作后,区间长度变为,故有≤0.05,即2n≥20,因为24=16,25=32,所以n≥5.
故计算5次就可满足要求,所以将区间(0,1)等分的次数至少是5次.
因为f<0,所以第一次得到的区间为;
因为f>0,所以第二次得到的区间为;
因为f>0,所以第三次得到的区间为;
因为f<0,所以第四次得到的区间为;
因为f>0,所以第五次得到的区间为,
因为-=<0.05,
所以函数零点为=.
13.B　画出y=2x与y=lox的图象(图略),可知当x0>a时,>lox0,故f(x0)>0.
14.C　f(1)=-<0, f(3)=>0, f(2)=log32-=log32-log3=log3=log3<0, f=log3-=log3-log3=log3>log3=log3>0,因此,函数f(x)的零点在区间内,故选C.
15.答案　0.75
解析　∵f(0)<0,f(0.5)<0,f(1)>0,∴根据二分法求函数零点的步骤可知下一次计算应取x=0.75.
16.答案　1.5,1.75,1.875,1.812 5
解析　第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).
17.答案　-1或-0.8
解析　令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0, f(-0.6)>0, f(-0.8)<0,
f(-0.4)>0,
所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.
18.解析　如图,可首先从中点C开始检查,若AC段正常,则故障在BC段;再从BC段中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段;再从BD段中点E检查,……,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,这样即可迅速找到故障所在.
19.证明　∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,
∴-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0.
取区间[0,1]的中点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
∵f(0)>0, f(1)>0,
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点.
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,
∴f(x)=0在[0,1]内有两个实根.
20.解析　(1)若a=0,则f(x)=-4,与题意不符.
若a≠0,则易得f(x)在(-1,1)上是单调连续函数,∵f(x)在区间(-1,1)上有一个零点,∴f(-1)·f(1)=-4(6a-4)<0,解得a>,
故a的取值范围为.
(2)若a=,
则f(x)=x3+x-,
∴f(-1)=-4<0, f(0)=-<0, f(1)=>0,
∴函数f(x)的零点在区间(0,1)上,
又f=0,
∴方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根为.