2.4.1 圆的标准方程 同步培优训练 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

2021-2022学年高二数学（人教A版选择性必修一）
2.4.1 圆的标准方程 同步培优训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知圆的方程是，则点（ ）
A．在圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
2．函数的图象是（ ）
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半圆弧
3．若圆上的点到直线的最短距离为1，则圆的半径r为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
4．过，，三点的圆的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点，，线段为圆的直径，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
8．圆关于点对称的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知三角形的三个顶点分别为，，，则（ ）
A．三角形OMN外接圆的方程为
B．三角形OMN外接圆的半径长为5
C．三角形OMN外接圆的圆心坐标
D．大于三角形OMN外接圆的半径
10．下列说法错误的是（ ）
A．圆的圆心为，半径为5
B．圆的圆心为，半径为b
C．圆的圆心为，半径为
D．圆的圆心为，半径为
11．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知圆和直线及轴都相切，且过点，则该圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题。本大题共4小题。
13．过两点，，且圆心在直线上的圆的标准方程是______．
14．与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________．
15．已知圆，过圆内一点M（3，0）的最长弦所在的直线方程是________．
16．圆关于点中心对称的圆的方程为___________.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知圆过点，.
（1）若圆还过点，求圆的标准方程；
（2）若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程.
18．已知圆C过点A（6，0），B（1，5）.
（1）求线段AB的垂直平分线所在的直线方程；
（2）若圆C的圆心在直线2x-7y+8=0上，求圆C的方程.
19．已知圆过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）将圆向上平移1个单位长度后得到圆，求圆的标准方程．
20．如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.
（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；
（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？
21．已知圆C经过三点.
（1）求圆C的方程；
（2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，记点M的轨迹为.
①求的方程；
②试探究：在直线上是否存在定点T(异于原点O)，使得对于上任意一点P，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.
22．已知圆：过点.
（1）求圆的标准方程及其圆心、半径；
（2）若直线分别与轴，轴交于、两点，点为圆上任意一点，求面积的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】因为，所以点P在圆内．
故选：C．
2．D
【解析】解：可化为，所以的图象是半圆弧．
故选：D.
3．A
【解析】由圆的方程可知圆心为，圆心到直线的距离．
依题意知，，所以．
故选：A
4．D
【解析】解：设所求的圆的方程为，因为，，三点在圆上，所以解得于是所求圆的一般方程是.
故选：D.
5．A
【解析】由圆的标准方程为，知圆心为，半径为.
故选：A.
6．D
【解析】因为点，，
所以线段的中点坐标为，即圆心坐标为，半径，
所以圆的标准方程为.
故选：D
7．A
【解析】圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为M(1，0)．
因为直线MP与AB垂直，
所以kAB＝－＝－＝1.
又因为直线AB过点P(2，－1)，
所以直线AB方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.
故选：A
8．A
【解析】圆的圆心为，
因为点关于点对称的点为，
所以对称圆的圆心为，
又因为半径不变，
所以所求圆的标准方程为.
故选：A
9．ABC
【解析】OM中点，中点，OM的垂直平分线PE的直线方程为①．MN的垂直平分线PF的直线方程为②．
联立①②，得解得则点为PE，PF的交点，即为圆心，，即为圆的半径．所以圆的方程为．．
故选：ABC．
10．ABD
【解析】对于A：由圆可得：圆心为，半径为，故选项A错误；
对于B：由圆可得：圆心为，半径为，故选项B错误，
对于C：由圆可得：圆心为，半径为，故选项C正确；
对于D：由圆可得：圆心为，半径为，故选项D错误，
故选：ABD.
11．AD
【解析】由已知条件可得，即，解得.
故选：AD.
12．AB
【解析】解：由题意设所求圆的方程为，则有，
解得或
所以该圆的方程为或，
故选：AB
13．
【解析】因为PQ的中垂线为，由得所以圆心为，半径．故所求的圆的标准方程为．
故答案为：．
14．
【解析】圆的圆心为，设所求圆的方程为，由点在圆上可知，解得．故所求圆的方程为．
故答案为：
15．
【解析】由可得圆心为，所以过圆内一点M（3，0）的最长弦所在的直线方程是，即
故答案为：．
16．
【解析】圆心关于点中心对称点的坐标为，
故所求圆的方程为.
故答案为：.
17．
（1）
（2）
18．（1）；（2）.
【解析】（1）∵线段的斜率，
∴的垂直平分线的斜率，
∵中点，即为点，
∴的垂直平分线的方程为，整理得.
（2）∵圆心一定在的垂直平分线上，又在直线上，
联立直线，解出，即圆心，
，
∴圆的方程为.
19．（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为1．
又易知线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
因为圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点．
由，解得．
所以圆心为，半径．
所以圆的标准方程是．
（2）由（1），知圆的圆心坐标为，
将点向上平移1个单位长度后得到点，
故圆的圆心坐标为，半径为，
故圆的标准方程为．
20．（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，有，，.
所求圆的圆心在轴上，设圆的方程为（，），
，都在圆上，
，解得.
圆的标准方程是.
（2）设限高为，作，交圆弧于点，
则.
将点的横坐标代入圆的方程，得，
得或（舍去）.
.
故车辆通过隧道的限制高度为.
21．（1）；（2）①；②存在，定点为．
【解析】（1）设圆C的方程为，将三点分别代入得
， 解得，
所以圆C的方程为；
（2）①设，则：，
∴， ∴，
∵点A在圆C上运动，∴，
即：∴∴，
所以点M的轨迹方程为，
它是一个以为圆心，以1为半径的圆；
②假设存在一点满足(其中为常数)，
设，则：，
整理化简得：，
∵P在轨迹上，
∴，
化简得：，
所以，
整理得，
∴，
解得：；
∴存在满足题目条件．
22．（1），圆心为，，半径为（2），
【解析】（1）由题意，，
解得；
圆的方程为，
化为标准方程：，圆心为，，半径为；
（2）由题意得，，，，
，
圆心到直线的距离，
点到直线的距离的最小值为，最大值为．
的面积的最小值为，最大值为．
面积的取值范围是，．