§2 实际问题中的函数模型题组训练 -2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册 第五章（含答案）

§2　实际问题中的函数模型
基础过关练
题组一　利用已知函数模型解决问题
1.(江西南昌洪都中学期中)据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与第x年近似满足关系y=alog3(x+2),观测发现2015年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只,估计到2021年冬有越冬白鹤(　　)
A.4 000只 B.5 000只 C.6 000只 D.7 000只
2.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x之间满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月份,2月份分别生产该产品1万件,1.5万件,则此工厂3月份生产该产品　　　　万件.
3.(湖南张家界高一期末联考)习近平总书记在十九大报告中指出,“要着力解决突出环境问题,坚持全民共治,源头防治,持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战”.为落实好这一精神,某市环保局规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中,废气中的污染物含量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系式为P(t)=P0e-kt(e为自然对数的底数,P0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测,发现污染物的含量为原来的.
(1)求函数P(t)的关系式;
(2)要使污染物的含量不超过初始值的,至少需过滤几小时 (参考数据:
lg 2≈0.3)
题组二　自建函数模型解决问题
4.(四川成都实验中学高一期中)如图所示,点P在边长为1的正方形的边上运动,M是CD的中点.当点P沿路线A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是(　　)
5.已知光线每通过一块玻璃板强度就减弱10%,要使通过玻璃板的光线的强度不大于原来强度的,则至少需要通过玻璃板的块数为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
6.(山东临沂期中)我国工农业总产值从1998年到2018年的20年间翻了两番,设1998年总产值为1,平均每年的增长率为x,则有(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3
C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=4
7.(山东烟台高一期中)某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为(　　)
8.某公司拟投资100万元,有两种获利的方案可供选择.第一种方案是年利率为10%,按单利的方式计算利息,5年后收回本金和利息;第二种方案是年利率为9%,按复利的方式计算利息,5年后收回本金和利息,哪一种投资更有利 5年后,这种投资比另一种投资可多得利息多少万元 (不计利息税,参考数据:1.094≈1.411 6,1.095≈1.538 6,1.096≈1.677 1)
题组三　拟合函数模型解决问题
9.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(　　)
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y=2x-2 B.y=(x2-1)
C.y=log2x D.y=lox
10.(重庆涪陵高一调研)为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年,特发行黑山谷纪念邮票,从2017年11月1日开始上市.通过市场调查,得到该纪念邮票在一周内每张的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:
上市时间x(天) 1 2 6
市场价y(元) 5 2 10
(1)分析上表数据,说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的变化关系,并判断y与x满足下列哪种函数关系:①一次函数,②二次函数,③对数函数,并求出函数的解析式;
(2)利用你选取的函数,求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低价格.
11.(广东仲元中学高一模拟)表中表示的是某款车的车速与刹车距离的关系,试分别就y=a·ekx(a≠0),y=axn(a≠0),y=ax2+bx+c(a≠0)三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟函数,根据最佳模拟函数求车速为120 km/h时的刹车距离.
车速(km/h) 10 15 30 40 50
刹车距离(m) 4 7 12 18 25
车速(km/h) 60 70 80 90 100
刹车距离(m) 34 43 54 66 80
12.(福建福安一中高一期中)水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾,严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)(单位:月)的关系有函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(参考数据:≈1.414,≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求最初投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1 000倍.
能力提升练
题组一　已知函数模型解决实际问题
1.(河北邢台高三一轮摸底,)某人2010年1月1日到银行存入一年期存款a元,若年利率为x,并按复利计算,到2018年1月1日可取款(不计利息税)(　　)
A.a(1+x)8元 B.a(1+x)7元
C.a(1+x8)元 D.a(1+x7)元
2.(山西太原五中高一月考,)国家规定某行业征税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税.有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是(　　)
A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元
3.(福建福安一中高一期中,)某企业制订奖励条例,对企业产品的销售取得优异成绩的员工给予奖励,奖励金额(元)满足f(n)=k(n)·(n-500)(n为年销售额),而k(n)=若一员工获得400元的奖励,那么该员工一年的销售额为(　　)
A.800 B.1 000
C.1 200 D.1 500
4.(江西吉安高一段考,)衣柜里的樟脑丸因挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,t天后的体积与天数t的关系式为V=a·e-kt(e为自然对数的底数),已知新丸50天后体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过(　　)　 　　　　　 　　　　　
A.75天 B.100天
C.125天 D.150天
5.(山东泰安高一月考,)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)·e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约为　　　　.(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693,保留小数点后两位)
6.(2018陕西汉中高一上期末,)食品安全问题越来越受人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康造成了危害.为了让消费者吃到放心的蔬菜,某农村合作社搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,且每年投入200万元种蔬菜,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验发现,种西红柿的年收入P(万元)、种黄瓜的年收入Q(万元)与投入资金a(万元)分别满足关系式:P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入资金为x万元,每年两个大棚的总收入为f(x)(万元).
(1)求f(50)的值;
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入资金,才能使总收入最高
题组二　自建函数模型解决实际问题
7.(江西新余高三上期末,)有一直角墙角的平面图如图所示,两墙的长度足够长,在点P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(08.(北京丰台高一期中联考,)一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的剩余量为原来的一半所需的时间t等于(　　)
A.lg B.lg C. D.
9.(多选)()某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则(　　)
A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元
B.甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
C.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5 元
D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+
10.(天津南开高一期末,)有一批360 m长的材料,如果用此材料在一边靠墙(墙足够长)的地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为　　　　m2(围墙厚度不计).
11.(辽宁沈阳五校协作体高一期中,)为了落实国务院“提速降费”的要求,某市移动公司欲下调移动用户消费资费.已知该公司共有移动用户10万人,人均月消费50元.经测算,若人均月消费下降x%,则用户人数会增加万人.
(1)若要保证该公司月总收入不减少,试求x的取值范围;
(2)为了布局“5G网络”,该公司拟投入资金进行5G网络基站建设,投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金,若使该公司总盈利最大,试求x的值.(总盈利资金=总收入资金-总投入资金)
12.(山西晋城期中模拟,)某森林出现火灾,火势正以100 m2/min的速度顺风蔓延,消防站接到报警后立即派消防队员前去,在火灾发生5 min后到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2,灭火过程中火势蔓延的速度不变,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁1 m2森林的损失费为60元,则应该派多少名消防队员前去救火,才能使总损失最少
题组三　拟合函数模型解决实际问题
13.(福建厦门高一调考,)某超市2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型:
①f(x)=p·qx(q>0,q≠1);
②f(x)=logpx+q(p>0,p≠1);
③f(x)=x2+px+q.
(1)能较准确反映超市月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为　　　　(填序号);
(2)若所选函数满足f(1)=10,f(3)=2,则f(x)min=　　　　.
14.(山东枣庄高一期末,)汽车“定速巡航”技术主要应用于控制汽车的定速行驶,当汽车被设定为定速巡航状态时,电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量,使汽车始终保持所设定的车速行驶,而无需司机操纵油门,从而减轻疲劳,促进安全,节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况,选择一段长度为240 km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位:L)与速度v(0≤v≤120,单位:km/h)的相关数据如下表所示:
v 0 40 60 80 120
F 0 10 20
为了描述汽车每小时耗油量F与速度v之间的关系,现有以下三种函数模型可供选择:
F(v)=av3+bv2+cv,F(v)=+a,F(v)=klogav+b.
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少
答案全解全析
基础过关练
1.C　当x=1时,由3 000=alog3(1+2),得a=3 000,所以到2021年冬,即当x=7时,有3 000×log3(7+2)=6 000(只).故选C.
2.答案　1.75
解析　由题意得
解得∴y=-2×0.5x+2,
∴3月份该产品的产量为-2×0.53+2=1.75(万件).
3.解析　(1)根据题意,得P0=P0e-k,易知P0≠0,
∴e-k=,∴P(t)=P0.
(2)由P(t)=P0≤P0,
得≤,
两边同时取以10为底的对数,并整理,
得t(1-3lg 2)≥3,∴t≥30.
因此,至少需过滤30小时.
4.A　由题意得,当0当1当2≤x<时,S△APM=××1=-x+.
结合各选项可知,A选项符合题意.
5.D　设需要通过玻璃板的块数为n,由题意得(1-10%)n≤,解得n≥11,所以至少要通过11块玻璃板.
6.D　增长率模型为指数型函数模型,由题可得(1+x)20=4.
7.D　设山区第一年绿色植被的面积为a,则y==(1+10.4%)x,易知其定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),且随x的增大,y增长的速度越来越快.故选D.
8.解析　按第一种方案5年后本利和为y1=100+100×10%×5=150(万元).
按第二种方案5年后本利和为y2=100(1+9%)5≈153.86(万元).
∵y2>y1,∴按第二种方案投资更有利.
∵y2-y1≈153.86-150=3.86(万元),
∴5年后,按第二种方案投资比按第一种方案投资可多得利息3.86万元.
9.B　由题中表格可知函数在(0,+∞)上是增函数,且增长速度越来越快,分析选项可知B符合,故选B.
10.解析　(1)由题表知,市场价y随上市时间x的增大先减小后增大.
模型①③均为单调函数,不符合题意,
故选择②二次函数模型.
设y=ax2+bx+c(a,b,c均为常数且a≠0),由题表中数据可知
解得∴y=x2-6x+10(x∈N*).
(2)由(1)知y=x2-6x+10=(x-3)2+1,
当x=3时,黑山谷纪念邮票市场价最低,最低为1元/张.
故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市时间为第3天,最低价格为1元/张.
11.解析　若以y=a·ekx(a≠0)为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得
解得∴y=2.422 8e0.050 136x,
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的刹车距离分别为
220.8 m,364.5 m,与实际数据相比,误差较大.
若以y=axn(a≠0)为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得解得
∴y=0.328 9x1.085,
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的刹车距离分别为
43.39 m,48.65 m,与实际数据相比,误差也较大.
若以y=ax2+bx+c(a≠0)为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,得
解得
∴y=x2+x+2,
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的刹车距离分别为68 m,82 m,与前两个函数相比,此函数更符合实际情况.故最佳模拟函数为y=x2+x+2.
当x=120时,y=114,即当车速为120 km/h时,刹车距离为114 m.
12.解析　(1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢,∴由题可知应选y=kax(k>0,a>1).
由题意得解得
∴y=8×(x∈N).
(2)当x=0时,y=8.
设经过n个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1 000倍.
所以8·=8×1 000,
解得n=lo1 000=
=≈17.04.
∴原先投放的水葫芦的面积为8 m2,约经过17个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1 000倍.
能力提升练
1.A　2011年1月1日可取款a(1+x)元,2012年1月1日可取款a(1+x)2元,同理可得,2018年1月1日可取款a(1+x)8元.
2.D　设该公司的年收入为a万元,则280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%,
解得a==320.
所以该公司的年收入为320万元.故选D.
3.D　根据题意,奖励金额f(n)可以看成关于年销售额n的函数,那么该问题就是已知函数值为400时,求自变量n的值的问题.根据题中所给的函数关系式可算得n=1 500,故选D.
4.A　由题意得a=ae-50k,解得e-25k=,设新丸的体积变为a需经过t天.令ae-kt=a,即e-kt==(e-25k)3=e-75k,则t=75,即需经过75天.
5.答案　4.58
解析　由题意可得
40=10+(100-10)e-0.24t,
化简可得e-0.24t=,
∴-0.24t=ln =-ln 3,
因此0.24t=ln 3≈1.099,∴t≈4.58.
6.解析　(1)若甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元, f(50)=80+4+×150+120=277.5.
(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,
依题意得 20≤x≤180,
故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).
令t=,则t∈[2,6],
y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,
当t=8,即x=128时, f(x)max=282.
所以甲大棚的投入资金为128万元,乙大棚的投入资金为72万元时,总收入最高.
7.C　设BC=x m,则花圃的面积y=x(16-x)=-(x-8)2+64,且a≤x≤12.当08.C　由题意得a(1-8%)t=,∴t=.
9.ABCD　由题图知甲厂制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系为y1=0.5x+1,故A,B正确;
当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5元,故C正确;
易知当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=x+,故D正确.
10.答案　8 100
解析　设垂直于墙的边长为a m,平行于墙的每个小矩形的边长为b,则b=(360-4a)m,记围成场地的面积为S m2,
则S=3ab=a·(360-4a)=-4a2+360a=-4(a-45)2+8 100(0∴当a=45时,Smax=8 100,
∴围成场地的最大面积为8 100 m2.
11.解析　(1)根据题意,设该公司的月总收入为W万元,
则W=50,0若该公司月总收入不减少,则有50·≥10×50,
解得0(2)设该公司总盈利为y万元,
则y=50-210+=-+x+480=-(x-8)2+484,0结合二次函数的性质分析可得,当x=8时,该公司的总盈利最大.
12.解析　设派x名消防队员前去救火,用t min将火扑灭,总损失为y元,则t==(x>2),
y=125tx+100x+60(500+100t)
=125x·+100x+30 000+
=1 250·+100(x-2+2)+30 000+
=31 450+100(x-2)+≥31 450+2=36 450,
当且仅当100(x-2)=,即x=27时,y有最小值,最小值为36 450.
所以应该派27名消防队员前去救火,才能使总损失最少.
13.答案　(1)③　(2)1
解析　(1)因为f(x)=pqx(q>0,q≠1), f(x)=logpx+q(p>0,p≠1)是单调函数, f(x)=x2+px+q是一元二次函数,且图象开口向上,可以出现先下降后上升的趋势,所以应选③f(x)=x2+px+q模拟函数.
(2)因为f(1)=10, f(3)=2,
所以
解得p=-8,q=17,
所以f(x)=x2-8x+17=(x-4)2+1,所以f(x)min=f(4)=1.
14.解析　(1)由题意可知,符合本题的函数模型必须满足定义域为[0,120],且在[0,120]上为增函数.
函数F(v)=+a在[0,120]上是减函数,所以不符合题意;
函数F(v)=klogav+b中v不能为0,即定义域不可能为[0,120],也不符合题意;
所以选择函数F(v)=av3+bv2+cv.
由已知数据得
解得
所以F(v)=v3-v2+v(0≤v≤120).
(2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y,行驶时间为t,由题意得y=F·t
=·
=v2-v+70
=(v-80)2+30,
因为0≤v≤120,所以当v=80时,y有最小值30.
故这辆车在该测试路段上以80 km/h的速度行驶时总耗油量最少,最少为30 L.