§2对数的运算 题组训练 -2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册 第四章 （含答案）

§2　对数的运算
基础过关练
题组一　对数的运算性质
1.当a>0,且a≠1,x>0,y>0时,下列结论正确的是(　　)
A.loga(x-y)=logax-logay B.=logax-logay
C.loga=logax-logay D.loga=
2.(北京人大附中高一期中)若ab>0,给出下列四个等式:
①lg(ab)=lg a+lg b;②lg =lg a-lg b;
③lg=lg ;④lg(ab)=.
其中正确的是(　　)
A.①②③④ B.①②
C.③④ D.③
3.已知x,y为正实数,则(　　)
A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y
C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y D.2lg(xy)=2lg x·2lg y
4.(山东日照高一校际联考)lg 2+lg 50=　　　　.
5.(江苏七校联盟高一联考)计算:=　　　　.
题组二　换底公式
6.计算:=(　　)
A.log54 B.3log52 C.2 D.3
7.计算:log29×log34=(　　)
A. B. C.2 D.4
8.设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是(　　)
A.logab·logcb=logca
B.logab·logca=logcb
C.loga(bc)=logab·logac
D.loga(b+c)=logab+logac
9.(江苏徐州高一期中)若log5·log36·log6x=2,则x=(　　)
A.9 B.
C.25 D.
10.若log23×log325×log5m=2,则m=　　　　.
题组三　用代数式表示对数
11.若lg 5=a,lg 7=b,用a,b表示log75为(　　)
A.a+b B.a-b C. D.
12.(上海理工大附中高一模拟)若ln 2=a,ln 3=b,则log418=(　　)
A. B. C. D.
13.(吉林长春高三期末)设log23=a,log215=b,则lo9=(　　)
A. B. C. D.
14.若3x=4y=36,则+=　　　　.
题组四　对数与方程
15.(辽宁沈阳高一期中)已知lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则的值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
16.(江西上饶中学高一期中)方程lg(4x+2)=lg 2x+lg 3的解是　　　　　　.
17.若关于x的方程(lg x)2-(lg 2+lg 3)lg x+lg 2×lg 3=0的两个根为x1,x2,求x1·x2的值.
18.(湖北荆州沙市中学高一月考)若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.
能力提升练
题组一　对数的基本运算
1.(四川凉山高一期中,)若xlog23=1,则3x+9x的值为(　　)
A.6 B.3 C. D.
2.(福建三明高一期中,)已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logxyx的值是(　　)
A.1 B.0 C.x D.y
3.(北师大附中高一期中,)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=ex+b(b为常数),则f(-ln 2)等于(　　)
A.- B.1 C.-1 D.-3
4.(吉林舒兰一中高一月考,)阅读下列材料,然后解答问题:对于任意实数x,符号[x]表示“不超过x的最大整数”.在数轴上,当x是整数时,[x]就是x;当x不是整数时,[x]是点x左侧的第一个整数点.这个函数叫作“取整函数”,也叫高斯函数.如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2.则+++[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5.(湖南长沙雅礼中学高一期末,)设集合A={x|0≤x≤1},B={x|16.(河北石家庄二中高一月考,)已知二次函数f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最大值为3,求a的值.
题组二　对数积、商、幂的运算
7.(湖北宜昌部分示范高中联考,)若lg x-lg y=a,则lg-lg=(　　)
A.3a B.a C.a D.
8.(吉林长春十一高高一期末,)若实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的是(　　)
A.+=1 B.+=2
C.+=2 D.+=
9.(江苏泰州高一模拟,)计算:++(-)0-log31+2lg 5+lg 4-=　　　　.
10.(湖北武汉高一期末,)(1)计算:+×+lg 500-lg 0.5;
(2)设2x=3y=72,求+的值.
题组三　换底公式及其应用
11.(陕西西安一中高一上期末,)已知log29=a,log25=b,则log275用a,b表示为(　　)
A.2a+2b B.2a+b
C.a+2b D.(a+b)
12.(多选)(安徽黄山一中月考,)下列运算错误的是(　　)
A.10+0.25=2
B.log427·log258·log95=
C.log225·log3·log5=16
D.lg 2+lg 50=10
13.(2018安徽合肥一中高一上期中,)计算:log43×=　　　　.
14.(陕西临潼高一校际联考,)已知函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N+),定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的k(k∈N+)叫作企盼数,则在区间[1,2 017]内的企盼数共有　　　　个.
答案全解全析
基础过关练
1.C　由对数的运算性质,知选项A,B,D错误,选项C正确.
2.D　①②成立的前提是a>0,b>0;④成立的前提是ab≠1.只有③式正确.
3.D　2lg(xy)=2lg x+lg y=2lg x·2lg y,故选D.
4.答案　2
解析　lg 2+lg 50=lg 100=2.
5.答案　1
解析　原式=
=
====1.
6.D　=log28=3.
7.D　原式=log232×log322=2log23×2log32=2log23×=4.故选D.
8.B　利用对数的换底公式进行验证,logab·logca=·logca=logcb,B正确.
9.D　因为log5·log36·log6x=2,
所以··=2,
所以lg x=-2lg 5=lg 5-2,所以x=.
10.答案　2
解析　∵log23×log325×log5m=××=××==2,
∴lg m=lg 2,∴m=2.
11.D　log75==.
12.D　log418===.
13.A　由log23=a,log215=b,可得log25=b-a,则lo9==
=.故选A.
14.答案　1
解析　解法一:3x=4y=36,取以6为底的对数,得xlog63=ylog64=2,
∴=log63,=log64,即=log62,
故+=log63+log62=1.
解法二:∵3x=4y=36,∴x=log336=,
y=log436=,
∴+=+
===1.
15.B　因为lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,所以结合根与系数的关系得lg a+lg b=2,lg a·lg b=,所以=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=22-4×=2.
16.答案　x=0或x=1
解析　原方程可化为lg(4x+2)=lg(2x×3),从而可得4x+2=2x×3,令t=2x(t>0),则方程可化为t2+2=3t,即t2-3t+2=0,解得t=1或t=2,即2x=1或2x=2,所以x=0或x=1.经检验,x=0与x=1都是原方程的解.
17.解析　设t=lg x,则原方程变形为t2-(lg 2+lg 3)t+lg 2×lg 3=0,
设t1,t2是上述方程的两个实根,
∴t1+t2=lg 2+lg 3=lg 6,
∴lg x1+lg x2=lg(x1·x2)=t1+t2=lg 6,
∴x1·x2=6.
18.解析　原方程可变形为2(lg x)2-4lg x+1=0,设t=lg x,则方程变形为2t2-4t+1=0,设t1,t2是方程2t2-4t+1=0的两个实根,则t1+t2=2,t1·t2=.
已知a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,
不妨令t1=lg a,t2=lg b,则lg a+lg b=2,
lg a·lg b=,
∴lg(ab)·(logab+logba)
=(lg a+lg b)·
=(lg a+lg b)·
=(lg a+lg b)·
=2×=12.
能力提升练
1.A　由题意得log23=,∴=3,∴3x=2.因此9x=(3x)2=4,所以3x+9x=2+4=6,故选A.
2.B　由x2+y2-4x-2y+5=0,得(x-2)2+(y-1)2=0,∴x=2,y=1,∴logxyx=log212=0.
3.C　由f(x)在R上是奇函数,知f(0)=e0+b=0,因此b=-1,经检验,符合题意.
∴f(-ln 2)=-f(ln 2)=-(eln 2-1)=-1,故选C.
4.B　+++
[log21]+[log22]+[log23]+[log24]
=-2-2-1+0+1+1+2=-1.
5.答案　log2
解析　由题意得,f(x0)==,解得x0=log2.
6.解析　原函数式可化为f(x)=lg a·-+4lg a.
∵f(x)有最大值3,
∴lg a<0,且-+4lg a=3,
整理得4(lg a)2-3lg a-1=0,
解得lg a=1或lg a=-.
又∵lg a<0,∴lg a=-,∴a=1.
7.A　lg-lg=3(lg x-lg 2)-3·(lg y-lg 2)=3(lg x-lg y)=3a,故选A.
8.A　由题意得,a=log210,b=log510.
+=+=lg 2+lg 5=1,故A正确;
+=+=lg 4+lg 5=lg 20≠2,故B错误;
+=+=lg 2+lg 25=lg 50,故C、D不正确.故选A.
9.答案　
解析　∵==,
===1,
(-)0=1,log31=0,
2lg 5+lg 4=lg(52×4)=lg 102=2,=2,
∴原式=+1+1-0+2-2=.
10.解析　(1)(×)6+×+lg 500-lg 0.5
=22×33+3×4+lg=108+12+3=123.
(2)依题意得x=log272,y=log372,
∴=log722,=log723,
∴+=3log722+2log723=log72(8×9)=1.
11.C　∵log29=a,∴log23=,
∴log275=log2(5×15)=log25+log2(3×5)=log25+log23+log25=2log25+log23=a+2b,故选C.
12.ABD　对于A, 2lo10+lo0.25=102+0.25=(102×0.25)=25=-2,故A错误;
对于B,log427·log258·log95=··=··=,故B错误;
对于C,log225·log3·log5=log252·log32-4·log53-2=··=16,故C正确;
对于D,lg 2+lg 50=lg 100=2,故D错误.
13.答案　
解析　原式=×=×=×=.
14.答案　9
解析　令g(k)=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k),
∵f(k)=log(k+1)(k+2)=,
∴g(k)=××…×==log2(k+2),
则k+2=2n,n∈N+.
∵k∈[1,2 017],∴k+2∈[3,2 019],
即2n∈[3,2 019].
∵22=4,……,210=1 024,211=2 048,
∴可取n=2,3,…,10.
因此在区间[1,2 017]内的企盼数共有9个.