洛阳市2021—2022学年第一学期期中考试
高二理科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4
页．共150分．考试时间120分钟．
第I卷(选择题，共60分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若a＝4，B＝60°，A＝45°，
则b＝
A．2 2 B．2 3 C．2 6 D．3 6
x＋2y－1
2．不等式 x y 3 ＞0表示的平面区域为 － ＋
A B C D
3．一个n边形的周长等于158，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44，公差
等于3，则n＝
A．4 B．5 C．6 D．7
4．下列结论正确的是
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，c＜0，则a＋c＜b＋c D．若 a＜ b，则a＜b
a b c
5．已知△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，cos A＝cos B＝cos C，
则△ABC一定是
A．直角三角形 B．钝角三角新
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．在△ABC中，a＝2，b＝3，A＝45°，则此三角形解的情况是
A．两解 B．一解 C．一解或两解 D．无解
7．数列{an}满足a1＝1，a2＝1，且an＝an－1－an－2(n≥3)，记数列{an}的前n项和为Sn，
则S20＝
A．0 B．1 C．2 D．14
8．已知x＞0，y＞0，若2x＋y＋8xy＝2，则xy的取值范围是
1 1 1 1 1
A．(0，4] B．(0，8] C．[8，＋∞) D．[8，4]
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－9，a3＋a7＝－4，则当Sn取最小值时，
n等于
A．6 B．7 C．8 D．9
10．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R，则实数a的取值范围
3 3
A．(－5，1） B．[－5，1]
3 3
C．(－5，1)∪{－1} D．(－5，1]
11 ＋1．已知等比数列{an}的前 n 项和为 S nn＝a·2 ＋b－1，则 4a＋2b 的最小值为
A．3 B．3 4＋3 2 C．2 2 D． 2
12．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知c(cos A＋1)＝acoc C，
且a，b，c成公差为－1的等差数列，则△ABC的最小角的余弦值为
2 3 1 3
A．5 B．5 C．2 D．4
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
x－y≥0
13．已知x，y满足 x＋y－4≥0，则z＝4x一y的最小值为_______
x≤4
a2＋b2－c2
14．已知△ABC的面积S＝ 4 ，则角C的大小为_____
15．已知数列{an}为递增数列，a 2n＝n －λn＋3，则λ的取值范围是________．
16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，c＝ 6，asinC＝2csinB，
则△ABC的面积的最大值是_______
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或滴肃步
面。
17．（本小题满分10分）
(1)若关于x的不等式ax2＋3x＋b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b．
(2)求关于x的不等式mx2－(m＋1)x＋1＜0的解集（其中m＞0）．
18．（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，D为BC边上一点，△ABD为等边三角形，AB＝2CD．
(1)若△ACD的面积为2 3，求AB；
A
(2)若AC＝ 7，求sin∠BAC．
B D C
19．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a4＋a6＝22，且a4，a7，a12
成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
1 1 1
(2)若Tn＝S ＋S ＋…＋S ，求Tn． 1 2 n
20．（本小题满分12分）
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设
菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
1 2
(2)若使用的篱笆总长度为15m，求x ＋y 的最小值． ＋1 ＋1
y
x
21．（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3asin C－b－c
＝0．
（1）求A；
（2）若a＝2，求△ABC内切圆半径r的最大值。
22．（本小题满分12分）
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a ＝1，S ＋S ＝a 2 1 n＋1 n n+1，数列{bn}满足b1
＝2，b ·b ＝2an＋1n n＋1 ．
(1)求证{an}为等差数列；
a1 a2 a(2) n求证：b ＋1 b ＋…＋b ＜2． 2 n022学年第一学期期中考试
高二数学试卷参考答案(理)
不等
为方程a
两根
为(
0无解
解
解
不等式的解集为O
原不等式的解集为
原不等式的解集
ACD的面积为
分
故AB
AD= AB
数学答案(理)第
共4页)
得
在
为等差数
数列
笆总长为x
√2xy
当
等号成
菜园的长x为
使所
数学答案(理)第
共4页)
2y+1
等号成立
最
弦定理得
CA
余
知
当且仅当
成
数学答案(理)第
共4页)
故△ABC内切圆半径r的最大值为
解
两式相减得
或
为等差数
知
b,·b
数时
为偶数
分
数学答案(理)第4页(共4页)洛阳市2021—2022学年第一学期期中考试
高二理科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．
第I卷(选择题，共60分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若a＝4，B＝60°，A＝45°，则b＝
A．2 B．2 C．2 D．3
2．不等式＞0表示的平面区域为
A B C D
3．一个n边形的周长等于158，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44，公差等于3，则n＝
A．4 B．5 C．6 D．7
4．下列结论正确的是
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，c＜0，则a＋c＜b＋c D．若＜，则a＜b
5．已知△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，＝＝，则△ABC一定是
A．直角三角形 B．钝角三角新
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．在△ABC中，a＝2，b＝3，A＝45°，则此三角形解的情况是
A．两解 B．一解 C．一解或两解 D．无解
7．数列{an}满足a1＝1，a2＝1，且an＝an－1－an－2(n≥3)，记数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝
A．0 B．1 C．2 D．14
8．已知x＞0，y＞0，若2x＋y＋8xy＝2，则xy的取值范围是
A．(0，] B．(0，] C．[，＋∞) D．[，]
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－9，a3＋a7＝－4，则当Sn取最小值时，
n等于
A．6 B．7 C．8 D．9
10．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R，则实数a的取值范围
A．(－，1） B．[－，1]
C．(－，1)∪{－1} D．(－，1]
11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n＋1＋b－1，则4a＋2b的最小值为
A．3 B．＋ C．2 D．
12．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知c(cos A＋1)＝acoc C，且a，b，c成公差为－1的等差数列，则△ABC的最小角的余弦值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知x，y满足，则z＝4x一y的最小值为_______
14．已知△ABC的面积S＝，则角C的大小为_____
15．已知数列{an}为递增数列，an＝n2－λn＋3，则λ的取值范围是________．
16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，c＝，asinC＝2csinB，则△ABC的面积的最大值是_______
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或滴肃步面。
17．（本小题满分10分）
(1)若关于x的不等式ax2＋3x＋b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b．
(2)求关于x的不等式mx2－(m＋1)x＋1＜0的解集（其中m＞0）．
18．（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，D为BC边上一点，△ABD为等边三角形，AB＝2CD．
(1)若△ACD的面积为2，求AB；
(2)若AC＝，求sin∠BAC．
19．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a4＋a6＝22，且a4，a7，a12成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Tn＝＋＋…＋，求Tn．
20．（本小题满分12分）
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为15m，求＋的最小值．
21．（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0．
（1）求A；
（2）若a＝2，求△ABC内切圆半径r的最大值。
22．（本小题满分12分）
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＋Sn＝a，数列{bn}满足b1＝2，bn·bn＋1＝2an＋1．
(1)求证{an}为等差数列；
(2)求证：＋＋…＋＜2．
