2021_2022学年新教材高中数学3指数运算与指数函数章末综合测评（Word原卷板+解析版）北师大版必修第一册

C．q＝r>p D．p＝r>q
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列运算结果中错误的为(　　)
A．a2·a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝－a6
10．以下各式化简正确的是(　　)
11．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　)
A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)
B．f(－2)C．f(x)－g(x)＝π－x
D．f(2x)＝2f(x)g(x)
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是(　　)
A．g(x)是偶函数
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在R上是增函数
D．g(x)的值域是{－1,0,1}
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13．已知函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标为________．
14．已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则( RA)∩B＝________.
15．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
16．(一题两空)设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)化简下列各式(式中字母均为正数)．
(1)；
(2) (结果为分数指数幂)．
18．(本小题满分12分)求不等式a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)中x的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
20．(本小题满分12分)已知x＋x＝3，求的值．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
22．(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
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7指数运算与指数函数
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知am＝4，an＝3，则的值为(　　)
A． B．6
C． D．2
A　[∵am＝4，an＝3，∴am－2n＝＝，
∴＝＝.选A.]
2．已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝(　　)
A. B．
C．1 D．2
A　[由题意得f(－1)＝2－(－1)＝2，f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝4a＝1，∴a＝.]
3．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是(　　)
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
D　[∵f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数．故选D.]
4．函数f(x)＝的值域是(　　)
A．(－∞，1) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
B　[∵3x＋1>1，∴0<<1，∴函数的值域为(0,1)．]
5．已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－3,0)
C．[0,1) D．(0,1)
A　[由题意，知f(a)<1等价于或解得－36．函数y＝的图象大致是(　　)
A　　　　B　　 　C　　 　D
B　[当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.]
7．要得到函数y＝23－x的图象，只需将函数y＝x的图象(　　)
A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位
C．向右平移8个单位 D．向左平移8个单位
A　[∵y＝23－x＝x－3，∴y＝x的图象向右平移3个单位得到y＝x－3即是y＝23－x的图象，故选A.]
8．设f(x)＝ex,0A．q＝r

C．q＝r>p D．p＝r>q
C　[∵0，又f(x)＝ex在(0，＋∞)上为增函数，∴f >f()，即q>p.又r＝＝＝e＝q，故q＝r>p.故选C.]
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列运算结果中错误的为(　　)
A．a2·a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝－a6
ABC　[对于A选项：a2·a3＝a2＋3＝a5，所以A选项错误；对于B，D选项：(－a2)3＝－a6，而(－a3)2＝a6，所以B选项错误，D选项正确；对于C选项：0的0次幂没有意义，当a＝1时，(－1)0无意义．]
10．以下各式化简正确的是(　　)
11．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　)
A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)
B．f(－2)C．f(x)－g(x)＝π－x
D．f(2x)＝2f(x)g(x)
ABD　[A正确，f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；B正确，可知函数f(x)为增函数，所以f(－2)12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是(　　)
A．g(x)是偶函数
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在R上是增函数
D．g(x)的值域是{－1,0,1}
BC　[根据题意知，f(x)＝－＝－.∵g(1)＝[f(1)]＝＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1，∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知f(x)＝－在R上是增函数，C正确；∵ex>0，∴1＋ex>1，∴－三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13．已知函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标为________．
(2,2)　[由题意，令x＝2，可得f(2)＝a2－2＋1＝2，所以函数f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,2)．]
14．已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则( RA)∩B＝________.
{x|－1所以 RA＝{x|x<0}．
又B＝＝{x|－1所以( RA)∩B＝{x|－115．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
0　[当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.]
16．(一题两空)设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
　2　[由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)化简下列各式(式中字母均为正数)．
(1)；
(2) (结果为分数指数幂)．
[解]　
(2)原式＝4×(－3)×·.
18．(本小题满分12分)求不等式a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)中x的取值范围．
[解]　对于a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)．
当a>1时，有4x＋5>2x－1，解得x>－3；
当0故当a>1时，x的取值范围为{x|x>－3}；
当019．(本小题满分12分)已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
[解]　已知函数y＝a2x＋2ax－1，(a>1)，x∈[－1,1]，
令t＝ax，x∈[－1,1]，a>1，则≤t≤a，
则y＝t2＋2t－1，对称轴为t＝－1，
所以函数在上是增函数，
当t＝a时取得最大值14，即a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍)．
20．(本小题满分12分)已知x＋x＝3，求的值．
[解]　法一：∵x＋x＝3，
∴两边平方，得2＝9，即x＋x－1＝7.
两边再平方得x2＋x－2＝47，
将等式x＋x＝3两边立方，
得x＋x＋3x＋3x＝27，
即x＋x＝18.
∴原式＝＝.
法二：设x＝t，则x＝，t＋＝3，t2＋＝7，
∴原式＝
＝
＝＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
[解]　(1)先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象，如图所示．
(2)函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
22．(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
[解]　(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝＝－＋.
任取x1因为函数y＝2x在R上是增函数且x10.
又(2 x1＋1)(2 x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)因为f(x)是奇函数，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，
所以f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)．
因为f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而知判别式Δ＝4＋12k<0，
解得k<－.即k的取值范围是.
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