章末综合测评(六)统计
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2∶3∶2∶4，则该样本中D类产品的数量为( )
A．22 B．33
C．40 D．55
2．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中的一组．已知该组的频率为m，该组上的频率分布直方图的高为h，则|a－b|等于
( )
A．mh B．
C． D．m＋h
3．我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度(单位：km/h)如下表：
上班时间 18 20 21 26 27 28 30 32 33 35 36 40
下班时间 16 17 19 22 25 27 28 30 30 32 36 37
则上、下班时间行驶时速的中位数分别为( )
A．28与28.5 B．29与28.5
C．28与27.5 D．29与27.5
4．下列数据的70%分位数为( )
20, 14, 26, 18, 28, 30, 24, 26, 33, 12, 35, 22.
A．14 B．20
C．28 D．30
5．下列说法：
①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为( )
A．4∶3∶1 B．5∶3∶1
C．5∶3∶2 D．3∶2∶1
7．设有两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1－3y1＋1,2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均数是
( )
A．2－3 B．2－3＋1
C．4－9 D．4－9＋1
8．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为( )
A．64 B．54
C．48 D．27
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，三者关系不可能是( )
A．p1＝p2
C．p1＝p310．现要完成下列2项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
抽样方法不合理的是( )
A．①抽签法， ②分层随机抽样
B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法
D．①抽签法， ②随机数法
11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下四种说法中正确的是( )
甲 乙
①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数
③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
A．① B．②
C．③ D．④
12．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品数 0 1 2 3 4
频率 0.5 0.2 0.05 0.2 0.05
则次品数的众数、平均数不可能为( )
A．0,1.1 B．0,1
C．4,1 D．0.5,2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________．
14．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是________．
15．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：
甲：3,4,5,6,8,8,8,10；
乙：4,6,6,6,8,9,12,13；
丙：3,3,4,7,9,10,11,12.
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲________，乙________，丙________．
16．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数 管理 技术开发 营销 生产 总计
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
总计 160 320 480 1 040 2 000
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
18．(本小题满分12分)在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形的高度比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数量最多？有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？
19．(本小题满分12分)为了更好地进行精准扶贫，在某地区经过分层随机抽样得到本地区贫困人口收入的平均数(单位：万元/户)和标准差，如下表：
劳动能力差 有劳动能力但无技术 有劳动能力但无资金
户数 10 12 8
平均数 1.2 2.0 2.4
标准差 1 4 4
求所抽样本的这30户贫困人口收入的平均数和方差．
20．(本小题满分12分)对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲 60 80 70 90 70
乙 80 60 70 80 75
问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展比较平衡？
21．(本小题满分12分)某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”．统计结果如下图表所示．
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 [15,25) a 0.5
第2组 [25,35) 18 x
第3组 [35,45) b 0.9
第4组 [45,55) 9 0.36
第5组 [55,65] 3 y
(1)分别求出a，b，x，y的值；
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人？
22．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125]
频数 6 26 38 22 8
(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
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9章末综合测评(六)统计
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2∶3∶2∶4，则该样本中D类产品的数量为( )
A．22 B．33
C．40 D．55
C [根据分层随机抽样，总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等，∴样本中D类产品的数量为110×＝40.]
2．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中的一组．已知该组的频率为m，该组上的频率分布直方图的高为h，则|a－b|等于
( )
A．mh B．
C． D．m＋h
C [在频率分布直方图中小长方形的高等于，所以h＝，|a－b|＝，故选C.]
3．我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度(单位：km/h)如下表：
上班时间 18 20 21 26 27 28 30 32 33 35 36 40
下班时间 16 17 19 22 25 27 28 30 30 32 36 37
则上、下班时间行驶时速的中位数分别为( )
A．28与28.5 B．29与28.5
C．28与27.5 D．29与27.5
D [上班时间行驶速度的中位数是＝29，
下班时间行驶速度的中位数是＝27.5.]
4．下列数据的70%分位数为( )
20, 14, 26, 18, 28, 30, 24, 26, 33, 12, 35, 22.
A．14 B．20
C．28 D．30
C [把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：
12,14,18,20,22, 24, 26, 26, 28, 30, 33, 35，
因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.]
5．下列说法：
①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [①错，众数可以有多个；②错，方差可以为0.]
6．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为( )
A．4∶3∶1 B．5∶3∶1
C．5∶3∶2 D．3∶2∶1
B [体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.3，体重在[55,60]内的频率为0.02×5＝0.1，
∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1，故选B.]
7．设有两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1－3y1＋1,2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均数是
( )
A．2－3 B．2－3＋1
C．4－9 D．4－9＋1
B [设zi＝2xi－3yi＋1(i＝1,2，…，n)，
则＝(z1＋z2＋…＋zn)＝(x1＋x2＋…＋xn)－(y1＋y2＋…＋yn)＋＝2－3＋1.]
8．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为( )
A．64 B．54
C．48 D．27
B [前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.故选B.]
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，三者关系不可能是( )
A．p1＝p2C．p1＝p3ABC [在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为，所以p1＝p2＝p3.]
10．现要完成下列2项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
抽样方法不合理的是( )
A．①抽签法， ②分层随机抽样
B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法
D．①抽签法， ②随机数法
BCD [①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样．]
11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下四种说法中正确的是( )
甲 乙
①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数
③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
A．① B．②
C．③ D．④
ABCD [乙＝×(5＋5＋5＋6＋9)＝6，甲＝×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，故甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数；
甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故甲大于乙；
甲的成绩的方差为×(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为×(12×3＋32×1)＝2.4；③正确，
甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差等于4，④正确．]
12．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品数 0 1 2 3 4
频率 0.5 0.2 0.05 0.2 0.05
则次品数的众数、平均数不可能为( )
A．0,1.1 B．0,1
C．4,1 D．0.5,2
BCD [数据xi出现的频率为pi(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，xn的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.因此次品数的平均数为0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.
由频率知，次品数的众数为0.]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________．
0.5 [小李这5天的平均投篮命中率＝＝0.5.]
14．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是________．
5 [x2－5x＋4＝0的两根是1,4.
当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4，
当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.
∴a＝1，b＝4.则方差s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.]
15．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：
甲：3,4,5,6,8,8,8,10；
乙：4,6,6,6,8,9,12,13；
丙：3,3,4,7,9,10,11,12.
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲________，乙________，丙________．
众数 平均数 中位数 [甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数＝＝8；丙：该组数据的中位数是＝8.]
16．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．
甲 [甲＝9，乙＝9，s＝×2＝，s＝×6＝，甲的方差较小，故甲入选．]
四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数 管理 技术开发 营销 生产 总计
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
总计 160 320 480 1 040 2 000
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
[解] (1)不同年龄段的人的身体状况有所差异，所以应该按年龄段用分层随机抽样的方法来调查该单位的职工的身体状况，老年、中年、青年所占的比例分别为＝，＝，＝，所以在抽取40人的样本中，老年人抽40×＝4人，中年人抽40×＝12人，青年人抽取40×＝24人；
(2) 因为不同部门的人对单位的发展及薪金要求有所差异，所以应该按部门用分层随机抽样的方法来确定参加座谈会的人员，管理、技术开发、营销、生产人数分别占的比例为＝，＝，＝，＝，所以在抽取25人出席座谈会中，管理人员抽25×＝2人，技术开发人员抽25×＝4人，营销人员抽25×＝6人，生产人员抽25×＝13人．
18．(本小题满分12分)在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形的高度比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数量最多？有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？
[解] (1)依题意知第三组的频率为
＝，
又因为第三组的频数为12，
∴本次活动的参评作品数为＝60(件)．
(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，
共有60×＝18(件)．
(3)第四组的获奖率是＝，
第六组上交的作品数量为60×＝3(件)，∴第六组的获奖率为＝，显然第六组的获奖率高．
19．(本小题满分12分)为了更好地进行精准扶贫，在某地区经过分层随机抽样得到本地区贫困人口收入的平均数(单位：万元/户)和标准差，如下表：
劳动能力差 有劳动能力但无技术 有劳动能力但无资金
户数 10 12 8
平均数 1.2 2.0 2.4
标准差 1 4 4
求所抽样本的这30户贫困人口收入的平均数和方差．
[解] 由表可知所抽样本的这30户贫困人口收入的平均数为
×1.2＋×2＋×2.4＝1.84(万元)，
这30户贫困人口收入的方差为
[12＋(1.2－1.84)2]＋[42＋(2－1.84)2]＋[42＋(2.4－1.84)2]＝11.230 4.
20．(本小题满分12分)对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲 60 80 70 90 70
乙 80 60 70 80 75
问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展比较平衡？
[解] 甲的平均成绩甲＝(60＋80＋70＋90＋70)＝74.乙的平均成绩乙＝(80＋60＋70＋80＋75)＝73.所以甲的平均成绩好．
甲的方差是s＝[(－14)2＋62＋(－4)2＋162＋(－4)2]＝104，乙的方差是s＝[72＋(－13)2＋(－3)2＋72＋22)]＝56.
因为s＞s，所以乙的各门功课发展较平衡．
21．(本小题满分12分)某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”．统计结果如下图表所示．
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 [15,25) a 0.5
第2组 [25,35) 18 x
第3组 [35,45) b 0.9
第4组 [45,55) 9 0.36
第5组 [55,65] 3 y
(1)分别求出a，b，x，y的值；
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人？
[解] (1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为＝25，
再结合频率分布直方图可知n＝＝100，
∴a＝100×0.01×10×0.5＝5，
b＝100×0.03×10×0.9＝27，x＝＝0.9，y＝＝0.2.
(2)第2,3,4组回答正确的共有54人，
∴利用分层随机抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：×6＝2(人)，第3组：×6＝3(人)，第4组：×6＝1(人)．
22．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125]
频数 6 26 38 22 8
(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
[解] (1)频率分布直方图如图：
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
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