章末综合测评(七)概率
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是( )
A．甲、乙两人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院针对一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报某天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
2．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个电话打给甲的概率是( )
A． B．
C． D．
3．从3名女教师和2名男教师中任选2人参加信息技术培训，则选中的2人都是女教师的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
4．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
5．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个颜色的环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学作为模型进行制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
6．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )
A． B．
C． D．
7．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )
A． B．
C． D．
8．设两个独立事件A和B同时不发生的概率是p，A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，则事件A发生的概率为( )
A．2p B．
C．1－ D．1－
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是( )
A．根据古典概型概率计算公式P(A)＝求出的值是事件A发生的概率的精确值
B．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值是P(A)的近似值
C．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率会越来越稳定在某个常数上，即为概率
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同
10．下列各对事件中，为相互独立事件的是( )
A．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”
C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”
11．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下：
组号 分组 频数 频率
第一组 [230,235) 8 0.16
第二组 [235,240) ① 0.24
第三组 [240,245) 15 ②
第四组 [245,250) 10 0.20
第五组 [250,255] 5 0.10
合计 50 1.00
以下结论正确的有( )
A．表中①位置的数据是12
B．表中②位置的数据是0.3
C．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人
D．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5
12．2020年“国庆节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是( )
A．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h的概率为0.35
C．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为
D．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13．一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件A＝{摸出黑球}，事件B＝{摸出绿球}，事件C＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B∪C)＝________.
14．袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 011
203 331 100 231 130 133 231 031 320
122 103 233 221 020 132
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为________．
15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是________．
16．如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集合，设点C是其中的一个岔路口点．则甲经过点C的概率为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：
派出人数 2人及以下 3 4 5 6人及以上
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4个人或5个人培训的概率；
(2)求至少有3个人培训的概率．
18．(本小题满分12分)用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：cm)检验，结果如下：
直径(单位：cm) 个数 直径(单位：cm) 个数
(6.88,6.89] 1 (6.93,6.94] 26
(6.89,6.90] 2 (6.94,6.95] 15
(6.90,6.91] 10 (6.95,9.96] 8
(6.91,6.92] 17 (6.96,6.97] 2
(6.92,6.93] 17 (6.97,6.98] 2
从这100个螺母中任意取一个，检验其直径的大小，求下列事件的频率：
(1)事件A：螺母的直径在(6.93,6.95]范围内；
(2)事件B：螺母的直径在(6.91,6.95]范围内；
(3)事件C：螺母的直径大于6.96.
19．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
20．(本小题满分12分)A，B两个箱子分别装有标号为0,1,2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示．
标号张数箱 0 1 2
A 2 1 3
B 2 1 2
(1)从A，B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2 的概率；
(2)从A，B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率．
21．(本小题满分12分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标(x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x，y，z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
22．(本小题满分12分)某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层随机抽样检查，测得身高(单位：cm)频数分布表如表1、表2.
表1：男生身高频数分布表
身高(cm) [160，165) [165，170) [170，175) [175，180) [180，185) [185，190]
频数 2 5 14 13 4 2
表2：女生身高频数分布表
身高(cm) [150，155) [155，160) [160，165) [165，170) [170，175) [175，180]
频数 1 7 12 6 3 1
(1)求该校高一女生的人数；
(2)估计该校学生身高在[165,180)的概率；
(3)以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，求这2人中至少有1人的身高在[165,180)内的频率．
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10章末综合测评(七)概率
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是( )
A．甲、乙两人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院针对一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报某天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
D [概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性．故选D.]
2．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个电话打给甲的概率是( )
A． B．
C． D．
B [给三人打电话的顺序有6种可能，其中第一个电话打给甲的可能有2种，故所求概率为＝.故选B.]
3．从3名女教师和2名男教师中任选2人参加信息技术培训，则选中的2人都是女教师的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
A [设3名女教师为a1，a2，a3,2名男教师为b1，b2，从中任选2人的样本点有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个，选中的2人都是女教师的样本点为(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3个，因此其概率为P＝0.3，故选A.]
4．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
B [记“取到质量小于4.8 g的羽毛球”为事件E，“取到质量不小于4.85 g的羽毛球”为事件F，“取到质量在[4.8,4.85)范围内的羽毛球”为事件G.易知事件E，F，G互斥，且E∪F∪G为必然事件，所以P(E∪F∪G)＝P(E)＋P(F)＋P(G)＝0.3＋0.32＋P(G)＝1，即P(G)＝1－0.3－0.32＝0.38.]
5．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个颜色的环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学作为模型进行制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
C [结合互斥事件和对立事件的概念可知C正确．]
6．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )
A． B．
C． D．
B [最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P＝＋×＋2×＝，故选B.]
7．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )
A． B．
C． D．
C [记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种，其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为.故选C.]
8．设两个独立事件A和B同时不发生的概率是p，A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，则事件A发生的概率为( )
A．2p B．
C．1－ D．1－
C [根据题意设事件A发生的概率为a，事件B发生的概率为b，则有
由②知a＝b，代入①得a＝1－.故选C.]
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是( )
A．根据古典概型概率计算公式P(A)＝求出的值是事件A发生的概率的精确值
B．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值是P(A)的近似值
C．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率会越来越稳定在某个常数上，即为概率
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同
ABCD [很明显A项命题是正确的；随机模拟中得到的值是概率的近似值，则B项命题正确；频率稳定在某个常数上，这个常数叫做概率，C命题正确；5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性都是，D命题正确；故选ABCD.]
10．下列各对事件中，为相互独立事件的是( )
A．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”
C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”
ABD [在A中，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件M＝{2,4,6}，事件N＝{3,6}，事件MN＝{6}，∴P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝×＝，即P(MN)＝P(M)P(N)．故事件M与N相互独立，A正确．在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确．在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误．在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确．故选ABD.]
11．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下：
组号 分组 频数 频率
第一组 [230,235) 8 0.16
第二组 [235,240) ① 0.24
第三组 [240,245) 15 ②
第四组 [245,250) 10 0.20
第五组 [250,255] 5 0.10
合计 50 1.00
以下结论正确的有( )
A．表中①位置的数据是12
B．表中②位置的数据是0.3
C．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人
D．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5
AB [①位置的数据为50－(8＋15＋10＋5)＝12，A正确；②位置的数据为＝0.3，B正确；由分层随机抽样得，第三、四、五组参加考核的人数分别为3,2,1，C错误；设上述6人为a，b，c，d，e，f(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种．记“2人中至少有1名是第四组的”为事件A，则事件A所含的样本点的个数为9.所以P(A)＝＝，故2人中至少有1名是第四组的概率为，D错误．故选AB.]
12．2020年“国庆节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是( )
A．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h的概率为0.35
C．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为
D．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为
ABC [在A中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值＝77.5，A正确；在B中，车速超过80 km/h的频率为0.05×5＋0.02×5＝0.35，用频率估计概率知B正确；在C中，由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为，即车速都在[60,65)内的概率为，故C正确，D错误．故选ABC.]
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13．一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件A＝{摸出黑球}，事件B＝{摸出绿球}，事件C＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B∪C)＝________.
[由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.]
14．袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 011
203 331 100 231 130 133 231 031 320
122 103 233 221 020 132
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为________．
[由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率P＝＝.]
15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是________．
[不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，试验的样本空间有45个样本点，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以“随机选取两个不同的数，其和等于30”的样本点有3个，故概率为＝.]
16．如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集合，设点C是其中的一个岔路口点．则甲经过点C的概率为________．
[设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，
甲选路线2的概率为，在路线2上从岔路口P到达点C的概率为，这两个事件相互独立，
所以选择路线2走到C的概率P1＝×＝.
同理，选择路线3走到点C的概率P2＝×＝.
因为选择路线2和路线3两个事件彼此互斥，
所以P(M)＝P1＋P2＝＋＝.]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：
派出人数 2人及以下 3 4 5 6人及以上
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4个人或5个人培训的概率；
(2)求至少有3个人培训的概率．
[解] (1)设有2人及以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率可知P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
18．(本小题满分12分)用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：cm)检验，结果如下：
直径(单位：cm) 个数 直径(单位：cm) 个数
(6.88,6.89] 1 (6.93,6.94] 26
(6.89,6.90] 2 (6.94,6.95] 15
(6.90,6.91] 10 (6.95,9.96] 8
(6.91,6.92] 17 (6.96,6.97] 2
(6.92,6.93] 17 (6.97,6.98] 2
从这100个螺母中任意取一个，检验其直径的大小，求下列事件的频率：
(1)事件A：螺母的直径在(6.93,6.95]范围内；
(2)事件B：螺母的直径在(6.91,6.95]范围内；
(3)事件C：螺母的直径大于6.96.
[解] (1)螺母的直径在(6.93,6.95]范围内的频数为nA＝26＋15＝41，
所以事件A的频率为＝0.41.
(2)螺母的直径在(6.91,6.95]范围内的频数为nB＝17＋17＋26＋15＝75.
所以事件B的频率为＝0.75.
(3)螺母的直径大于6.96的频数为nC＝2＋2＝4，
所以事件C的频率为＝0.04.
19．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
[解] (1)甲、乙出手指都有5种可能，因此样本点的总数为5×5＝25，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)共5种情况，
∴P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的样本点的个数为13个．
(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.所以这种游戏规则不公平．
20．(本小题满分12分)A，B两个箱子分别装有标号为0,1,2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示．
标号张数箱 0 1 2
A 2 1 3
B 2 1 2
(1)从A，B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2 的概率；
(2)从A，B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率．
[解] (1)记事件A＝{从A，B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}．
样本点的总个数为6×5＝30，事件A包含样本点的个数为5.
由古典概型的概率公式得P(A)＝＝.则x＝2的概率为.
(2)记事件B＝{从A，B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}．
事件B包含样本点的个数为10.由古典概型的概率公式得P(B)＝＝.
则x＝0且y＝2的概率为.
21．(本小题满分12分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标(x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x，y，z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
[解] (1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，
故该样本的一等品率为＝0.6，
从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种.
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，
则事件B发生的所有可能结果为
{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝＝.
22．(本小题满分12分)某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层随机抽样检查，测得身高(单位：cm)频数分布表如表1、表2.
表1：男生身高频数分布表
身高(cm) [160，165) [165，170) [170，175) [175，180) [180，185) [185，190]
频数 2 5 14 13 4 2
表2：女生身高频数分布表
身高(cm) [150，155) [155，160) [160，165) [165，170) [170，175) [175，180]
频数 1 7 12 6 3 1
(1)求该校高一女生的人数；
(2)估计该校学生身高在[165,180)的概率；
(3)以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，求这2人中至少有1人的身高在[165,180)内的频率．
[解] (1)设高一女生人数为x，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40,30，
则＝，解得x＝300.因此高一女生的人数为300.
(2)由表1和表2可得样本中身高在[165,180)的男、女生人数分别为5＋14＋13,6＋3＋1，
其和为5＋14＋13＋6＋3＋1＝42.样本容量为70.
所以样本中该校学生身高在[165,180)的频率＝＝.
估计该校学生身高在[165,180)的概率为.
(3)由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为，男生身高在[165,180)的概率为，所以这2人中至少有1人的身高在[165,180)内的概率为×＋×＋×＝.
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