2021-2022学年上海市浦东新区民办新竹园中学七年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年上海市浦东新区民办新竹园中学七年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共4题，每题3分，共12分）
1．（3分）在代数式，2xy，0，x2+y2，（a+b）3，中，单项式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）已知：﹣2xmy3与5xyn是同类项，则代数式m﹣2n的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣2 D．5
3．（3分）下列各式中，正确的因式分解是（　　）
A．a2﹣b2+2ab﹣c2＝（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）
B．﹣（x﹣y）2﹣（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y+1）
C．2（a﹣b）+3a（b﹣a）＝（2+3a）（a﹣b）
D．2x2+4x+2﹣2y2＝（2x+2+2y）（x+1﹣y）
4．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
二、填空题（本大题共16题，每题2分，共32分）
5．（2分）x与y的积的加上x的平方的和用代数式表示为 　 　．
6．（2分）多项式的三次项系数是 　 　．
7．（2分）计算：（x2+x+4）（﹣2）＝　 　．
8．（2分）当x　 　时，代数式有意义．
9．（2分）化简：﹣x2﹣2x﹣4＝　 　．
10．（2分）已知（x﹣3）x+2＝1，则整数x的值是 　 　．
11．（2分）因式分解：81x4﹣1＝　 　．
12．（2分）分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3＝　 　．
13．（2分）因式分解：a4+7a2+16＝　 　．
14．（2分）当m＝　 　时，关于x的方程会产生增根．
15．（2分）若（x2+mx+4）（x2﹣3x+n）展开后不含x3和x项，则m+n的值为 　 　．
16．（2分）已知x2﹣4x+1＝0，则x2+的值是 　 　．
17．（2分）若x2+（k+1）xy+16y2是一个完全平方式，则实数k＝　 　．
18．（2分）已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为 　 　．
19．（2分）若不论x取何值，二次三项式x2+4x+m的值恒大于10，则m的取值范围是 　 　．
三、简答题（本大题共7题，每题4分，满分28分）
20．（4分）（a+2b﹣3c）（a﹣2b+3c）
21．（4分）计算：a3﹣2a[a2﹣3（a﹣1）]．
22．（4分）因式分解：﹣ax2+4ax﹣6a．
23．（4分）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．
24．（4分）计算：﹣（﹣）2÷（﹣y﹣1z）﹣4 （﹣）3
25．（4分）化简：（） （）．
26．（4分）解方程：．
四.解答题：（本大题共6题，30、31每题4分，32、33、34、35每题5分，满分28分）
27．（4分）化简求值：[（﹣2a3x2）（a﹣2x）﹣a2x3]÷[﹣（ax）2]，其中a＝，x＝﹣4．
28．（4分）已知10﹣2a＝3，10﹣b＝，求106a+2b的值．
29．（5分）已知关于x的方程+＝无解，求a的值．
30．（5分）已知实数x，y，z满足x+y＝5，z2＝xy+y﹣9，求x+2y+3z的值．
31．（5分）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
32．（5分）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．
例：若x＝123456789×123456786，y＝123456788×123456787，试比较x，y的大小．
解：设123456788＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2
y＝a（a﹣1）＝a2﹣a
∵x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0
∴x＜y
看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！
问题：若x＝20072007×20072011﹣20072008×20072010，y＝20072008×20072012﹣20072009×20072011，试比较x，y的大小．
2021-2022学年上海市浦东新区民办新竹园中学七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共4题，每题3分，共12分）
1．（3分）在代数式，2xy，0，x2+y2，（a+b）3，中，单项式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据单项式的定义即可得出答案．
【解答】解：单项式有：2xy，0，共3个，不是整式，x2+y2和（a+b）3是多项式，
故选：C．
【点评】本题考查了单项式的定义，解题的关键是掌握数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，注意分母中不能有未知数．
2．（3分）已知：﹣2xmy3与5xyn是同类项，则代数式m﹣2n的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣2 D．5
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【解答】解：由题意，得
m＝1，n＝3，
m﹣2n＝1﹣2×3＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．
3．（3分）下列各式中，正确的因式分解是（　　）
A．a2﹣b2+2ab﹣c2＝（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）
B．﹣（x﹣y）2﹣（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y+1）
C．2（a﹣b）+3a（b﹣a）＝（2+3a）（a﹣b）
D．2x2+4x+2﹣2y2＝（2x+2+2y）（x+1﹣y）
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案．
【解答】解：A．a2﹣b2+2ab﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），故此选项不合题意；
B．﹣（x﹣y）2﹣（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y+1），故此选项符合题意；
C．2（a﹣b）+3a（b﹣a）＝（2﹣3a）（a﹣b）），故此选项不合题意；
D．2x2+4x+2﹣2y2＝2（x+1+2y）（x+1﹣y），故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
4．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【分析】直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的分母不为零是解题关键．
二、填空题（本大题共16题，每题2分，共32分）
5．（2分）x与y的积的加上x的平方的和用代数式表示为 　xy+x2　．
【分析】根据关系式直接列式即可解答．
【解答】解：由题意得：
x与y的积的加上x的平方的和用代数式表示为：xy+x2．
故答案为：xy+x2．
【点评】本题主要考查整式的加减，列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
6．（2分）多项式的三次项系数是 　﹣1　．
【分析】根据系数的定义即可得出答案．
【解答】解：三次项系数为＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了多项式，注意每一项都包含前面的符号．
7．（2分）计算：（x2+x+4）（﹣2）＝　x3﹣8　．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（x2+x+4）（x﹣2）
＝x3﹣x2+x2﹣2x+2x﹣8
＝x3﹣8．
故答案为：x3﹣8．
【点评】此题考查了多项式乘多项式．解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
8．（2分）当x　x≠﹣1且x≠0　时，代数式有意义．
【分析】根据分式有意义的条件和负整数指数幂a﹣p＝（a≠0）即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣1+1≠0，x≠0，
∴≠﹣1，x≠0，
∴x≠﹣1，x≠0，
故答案为：x≠﹣1且x≠0．
【点评】本题考查了分式有意义的条件和负整数指数幂，掌握a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．
9．（2分）化简：﹣x2﹣2x﹣4＝　　．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣（x2+2x）﹣4
＝﹣x（x+2）﹣4
＝﹣﹣
＝﹣﹣
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
10．（2分）已知（x﹣3）x+2＝1，则整数x的值是 　4，2，﹣2　．
【分析】分三种情况讨论①x﹣3＝1时，②x﹣3＝﹣1时，③当x+2＝0时，分别求解即可．
【解答】解：∵（x﹣3）x+2＝1，
∴①x﹣3＝1时，x＝4，
②x﹣3＝﹣1时，x＝2，x+2＝4，成立，
③当x+2＝0时，x＝﹣2，成立，
∴整数x的值是4，2，﹣2．
故答案为：4，2，﹣2．
【点评】本题主要考查了零指数幂及有理数的乘方，解题的关键是分类讨论．
11．（2分）因式分解：81x4﹣1＝　（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1）　．
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（9x2+1）（9x2﹣1）
＝（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1），
故答案为：（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1）．
【点评】本题考查了因式分解，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
12．（2分）分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3＝　（x+y）（x2+xy+y2）　．
【分析】可用分组分解法来解，x3和y3一组，剩下的两项一组．
【解答】解：x3+2x2y+2xy2+y3＝（x3+y3）+（2x2y+2xy2）
＝（x+y）（x2﹣xy+y2）+2xy（x+y）
＝（x+y）（x2+xy+y2）
故答案为：（x+y）（x2+xy+y2）
【点评】本题考查因式分解里面的分组分解法以及立方公式，要熟记公式和方法．
13．（2分）因式分解：a4+7a2+16＝　（a2+4﹣a）（a2+4+a）　．
【分析】将原始变形为a4+8a2+16﹣a2，分组后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝a4+8a2+16﹣a2＝（a2+4）2﹣a2＝（a2+4﹣a）（a2+4+a）．
故答案是：（a2+4﹣a）（a2+4+a）．
【点评】本题考查了运用公式法因式分解，解题的关键是能够灵活使用各种方法对多项式进行因式分解．
14．（2分）当m＝　6或﹣4　时，关于x的方程会产生增根．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），
∴原方程增根为x＝﹣2或2，
∴把x＝﹣2代入整式方程，得﹣2m＝﹣12，解得m＝6；
把x＝2代入整式方程，得8+2m＝0，解得m＝﹣4．
故答案为：6或﹣4．
【点评】考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．（2分）若（x2+mx+4）（x2﹣3x+n）展开后不含x3和x项，则m+n的值为 　7　．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出关于m、n的方程，求出m、n即可．
【解答】解：（x2+mx+4）（x2﹣3x+n）
＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx+4x2﹣12x+4n
＝x4+（﹣3+m）x3+（n﹣3m+4）x2+（mn﹣12）x+4n，
∵（x2+mx+4）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x3项和x项，
∴﹣3+m＝0，mn﹣12＝0，
解得：m＝3，n＝4，
m+n＝3+4＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，能够正确得出关于m、n的方程是解题的关键．
16．（2分）已知x2﹣4x+1＝0，则x2+的值是 　14　．
【分析】利用完全平方公式将原式进行进行变形后，然后结合等式的性质将已知条件进行变形，从而利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式＝（x+）2﹣2，
∵x2﹣4x+1＝0，且由题意可得x≠0，
∴﹣＝0，
∴x+＝4，
∴原式＝42﹣2＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的结构是解题关键．
17．（2分）若x2+（k+1）xy+16y2是一个完全平方式，则实数k＝　3或﹣5　．
【分析】根据完全平方式得出（k+1）xy＝±2×x 4y，再求出k即可．
【解答】解：∵x2+（k+1）xy+16y2是一个完全平方式，
∴（k+1）xy＝±2×x 4y，
解得：k+1＝±4，
解得：k＝3或﹣5，
故答案为：3或﹣5．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有两个a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
18．（2分）已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为 　5　．
【分析】根据题意知道a≠±1，化简这个分式，根据分式的值是整数，a是整数，求出符合题意的a的值，求和即可．
【解答】解：∵a2﹣1≠0，
∴a≠±1，
∴
＝
＝，
∵分式的值是整数，a是整数，
∴a﹣1＝±1，±2，
∴符合题意的a＝2，0，3，
∴2+0+3＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式，根据分式的值是整数，a是整数，得到a﹣1＝±1，±2是解题的关键．
19．（2分）若不论x取何值，二次三项式x2+4x+m的值恒大于10，则m的取值范围是 　m＞14　．
【分析】先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解．
【解答】解：x2+4x+m，
＝x2+4x+4﹣4+m，
＝（x+2）2﹣4+m，
∵代数式x2+4x+m的值恒大于10，
∴﹣4+m＞10，
解得m＞14．
故答案为：m＞14．
【点评】本题考查了完全平方公式，偶次方非负数的性质，解一元一次不等式，利用完全平方公式配方是解题的关键．
三、简答题（本大题共7题，每题4分，满分28分）
20．（4分）（a+2b﹣3c）（a﹣2b+3c）
【分析】原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果．
【解答】解：原式＝a2﹣（2b﹣3c）2＝a2﹣4b2+12bc﹣9c2．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
21．（4分）计算：a3﹣2a[a2﹣3（a﹣1）]．
【分析】根据去括号法则：括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．把括号去掉，再合并同类项．
【解答】解：a3﹣2a[a2﹣3（a﹣1）]
＝a3﹣2a（a2﹣a+3）
＝a3﹣a3+2a2﹣6a
＝2a2﹣6a．
【点评】本题主要考查了去括号与添括号，掌握根据去括号法则，乘法分配律的熟练应用是解题关键．
22．（4分）因式分解：﹣ax2+4ax﹣6a．
【分析】先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣a（x2﹣6x+9）
＝﹣a（x﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法和公式法，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
23．（4分）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．
【分析】将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
【解答】解：设x2+x＝y，则
原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10
＝（y﹣2）（y+5）＝（x2+x﹣2）（x2+x+5）
＝（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）．
说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，
比如令x2+x+1＝u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．
故答案为（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）
【点评】对于展开后次数较高的因式分解，不要急于展开，要多观察查找规律．常用换元法来解决．
24．（4分）计算：﹣（﹣）2÷（﹣y﹣1z）﹣4 （﹣）3
【分析】根据积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则把原式变形，再根据分式的乘除法法则计算，得到答案．
【解答】解：原式＝﹣÷×（﹣）
＝﹣××（﹣）
＝．
【点评】本题考查的是分式的乘除法、负整数指数幂，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
25．（4分）化简：（） （）．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的乘法．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，理解分式混合运算的运算顺序和计算法则，掌握通分和约分的技巧是解题关键．
26．（4分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x﹣3）﹣1+x2＝2x（x﹣2），
去括号得：x2﹣3x﹣1+x2＝2x2﹣4x，
移项合并得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
四.解答题：（本大题共6题，30、31每题4分，32、33、34、35每题5分，满分28分）
27．（4分）化简求值：[（﹣2a3x2）（a﹣2x）﹣a2x3]÷[﹣（ax）2]，其中a＝，x＝﹣4．
【分析】先根据积的乘方进行计算，再根据单项式乘多项式进行计算，再根据多项式除以单项式进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：[（﹣2a3x2）（a﹣2x）﹣a2x3]÷[﹣（ax）2]
＝（﹣2a4x2+4a3x3﹣a2x3）÷（﹣a2x2）
＝2a2﹣4ax+x，
当a＝，x＝﹣4时，原式＝2×（）2﹣4××（﹣4）+×（﹣4）＝+8﹣3＝5．
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
28．（4分）已知10﹣2a＝3，10﹣b＝，求106a+2b的值．
【分析】先把已知条件的两个式子进行整理，再利用同底数幂的乘法则的法则以及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵10﹣2a＝3，10﹣b＝，
∴，，
则102a＝，10b＝5，
∴106a+2b
＝106a×102b
＝（102a）3×（10b）2
＝（）3×52
＝
＝．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与应用．
29．（5分）已知关于x的方程+＝无解，求a的值．
【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）（x﹣1），得：
x﹣2+a（x﹣1）＝2a+2，
化简得：（1+a）x＝3a+4，
当a＝﹣1时，原方程无解，
x可能的增根是x＝1或x＝2，
当x＝1时，a＝﹣1.5，当x＝2时，a＝﹣2，
∴当a＝﹣1.5或﹣2时，原方程唯一的实根是增根，原方程无解，
∴a＝﹣1.5或﹣2或﹣1时原方程无解．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
30．（5分）已知实数x，y，z满足x+y＝5，z2＝xy+y﹣9，求x+2y+3z的值．
【分析】得出x＝5﹣y，代入第二个式子后整理得出z2+（y﹣3）2＝0，推出z＝0，y﹣3＝0，求出x，y，z的值，最后将x，y，z的值代入计算，即可求出x+2y+3z的值．
【解答】解：∵x+y＝5，z2＝xy+y﹣9，
∴x＝5﹣y，
代入z2＝xy+y﹣9得：z2＝（5﹣y）y+y﹣9，
z2+（y﹣3）2＝0，
z＝0，y﹣3＝0，
∴y＝3，x＝5﹣3＝2，
x+2y+3z＝2+2×3+3×0＝8．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，平方的非负性及代数式求值的方法，综合性较强，有一定难度．
31．（5分）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
【分析】（1）设第一次每支铅笔进价为x元，则第二次每支铅笔进价为x元，根据题意可列出分式方程解答；
（2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
【解答】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得，﹣＝30，
解得x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解．
答：第一次每支铅笔的进价为4元．
（2）设售价为y元，第一次每支铅笔的进价为4元，则第二次每支铅笔的进价为4×＝5元
根据题意列不等式为：
×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，
解得y≥6．
答：每支售价至少是6元．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．最后不要忘记检验．
32．（5分）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．
例：若x＝123456789×123456786，y＝123456788×123456787，试比较x，y的大小．
解：设123456788＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2
y＝a（a﹣1）＝a2﹣a
∵x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0
∴x＜y
看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！
问题：若x＝20072007×20072011﹣20072008×20072010，y＝20072008×20072012﹣20072009×20072011，试比较x，y的大小．
【分析】设20072007＝a，得出x＝a（a+4）﹣（a+1）（a+3），y＝（a+1）（a+5）﹣（a+2）（a+4），求出后比较即可．
【解答】解：设20072007＝a，
则x＝a（a+4）﹣（a+1）（a+3）
＝a2+4a﹣a2﹣3a﹣a﹣3
＝﹣3，
y＝（a+1）（a+5）﹣（a+2）（a+4）
＝a2+5a+a+5﹣a2﹣4a﹣2a﹣8
＝﹣3，
所以x＝y．
【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键，培养了学生的理解能力和计算能力，难度适中．
2021/11/25 9:31:35；
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