2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质同步测试(Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》培优测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．在下列四个函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．y＝2x B． C．y＝3x﹣2 D．y＝x2
2．关于y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相同 D．图象形状相同
3．下列说法中错误的是（　　）
A．在函数y＝﹣x2中，当x＝0时y有最大值0
B．在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
C．抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝﹣2中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝﹣x2的开口最大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点
4．抛物线y＝x2﹣2的对称轴是（　　）
A．直线x＝0 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线y＝0
5．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（　　）
A．直线x＝ B．直线x＝﹣ C．直线x＝2 D．y轴
6．二次函数y＝x2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）
7．二次函数y＝﹣3x2+2图象的顶点坐标为（　　）
A．（0，0） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（0，2）
8．对于y＝ax2（a≠0）的图象，下列叙述正确的是（　　）
A．a越大开口越大，a越小开口越小 B．a越大开口越小，a越小开口越大
C．|a|越大开口越小，|a|越小开口越大 D．|a|越大开口越大，|a|越小开口越小
9．下列各图象中有可能是函数y＝ax2+a（a≠0）的图象的是（　　）
A． B． C． D．
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．将抛物线y＝x2+1绕原点O旋转180°，得到的抛物线解析式为　 　．
12．若抛物线y＝ax2+k（a≠0）与y＝﹣2x2+4关于x轴对称，则a＝　 　，k＝　 　．
13．将抛物线y＝2x2﹣1向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是　 　．
14．抛物线y＝ax2与的开口大小相等，开口方向相反，则a＝　 　．
15．已知点A（﹣2，y1），点B（1，y2）在抛物线y＝3x2﹣2上，则y1，y2的大小关系是：y1　 　y2．（填“＞”或“＜”）
16．已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　 　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
三．解答题（共4小题，满分36分）
17．若x2﹣2m在﹣1≤x≤2的最小值为﹣2，求m的值．
18．把y＝﹣x2的图象向上平移2个单位．
（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
（2）画出平移后的函数图象；
（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
19．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．
20．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　 　个．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：A、函数y＝2x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；
B、函数y＝，当x＜0或x＞0时，y随着x增大而减小，故本选项正确；
C、函数y＝3x﹣2，y随着x增大而增大，故本选项错误．
D、函数y＝x2，当x＜0时，y随着x增大而减小，当x＞0时，y随着x增大而增大，故本选项错误；
故选：B．
2．解：关于y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象，它们的顶点相同，都是原点；对称轴相同，都是y轴；最低点相同，都是原点；
由于二次项系数不相同，所以图象形状不同．
故选：D．
3．解：A、在函数y＝﹣x2中，当x＝0时y有最大值0，正确；
B、在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大，正确；
C、抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝﹣x2中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝﹣x2的开口最大，错误，
D、不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，正确，
故选：C．
4．解：对称轴为直线：x＝﹣，
其中，a＝1，b＝0，
∴x＝0，
故选：A．
5．解：
∵y＝﹣2x2+1，
∴b＝0，
∴其图象关于y轴对称，
故选：D．
6．解：∵y＝x2+2＝（x﹣0）2+2，
∴顶点坐标为（0，2）．
故选：D．
7．解：二次函数y＝﹣3x2+2的图象的顶点坐标是（0，2）．
故选：D．
8．解：∵对于y＝ax2（a≠0）的图象，|a|越大，开口越小，
∴C是正确的．
故选：C．
9．解：当a＞0时，开口向上，顶点在y轴的正半轴；
当a＜0时，开口向下，顶点在y轴的负半轴，
故选：B．
10．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴一次函数y＝kx+1的图象经过经过第一、二、四象限，A、D选项不符合题意，C符合题意；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：将抛物线y＝x2+1绕原点O旋转180°得到的抛物线的解析式是y＝﹣[（﹣x）2+1]，即y＝﹣﹣1．
故答案是：．
12．解：∵y＝﹣2x2+4的顶点坐标为（0，4），对称轴x＝0，
又∵y＝ax2+k（a≠0）与y＝﹣2x2+4关于x轴对称，开口向下，
∴抛物线y＝ax2+k（a≠0）的顶点坐标为（0，﹣4），对称轴为x＝0，开口向上，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣0）2﹣4，
∴a＝2，k＝﹣4，
故答案为2，﹣4．
13．解：抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）向下平移3个单位后所得对应点的坐标为（0，﹣4），所以平移后的抛物线的表达式是y＝2x2﹣4．
故答案为y＝2x2﹣4．
14．解：∵抛物线y＝ax2与y＝x2开口大小相等、方向相反，
∴a＝．
15．解：∵点A（﹣2，y1），点B（1，y2）在抛物线y＝3x2﹣2上，
∴当x＝﹣2时，y1＝12﹣2＝10，
当x＝1时，y2＝3﹣2＝1，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
16．解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0，
故答案为：＞．
三．解答题（共4小题，满分36分）
17．解：设y＝x2﹣2m，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∵x2﹣2m在﹣1≤x≤2的最小值为﹣2，
∴二次函数y＝x2﹣2m在顶点处取得最小值，
即﹣2m＝﹣2，
∴m＝1．
18．解：（1）把y＝﹣x2的图象向上平移2个单位后得到抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2，
所以它的顶点坐标是（0，2），对称轴是直线x＝0．即y轴；
（2）由y＝﹣x2+2，得
x ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 8
y ﹣16 ﹣6 0 2 0 ﹣6 ﹣16 ﹣30
其函数图象如图所示：
；
（3）如图所示：当x＝0时，y最大＝2．
19．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，
∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，
∴令x＝0，得y＝﹣2，
∴G（0，﹣2），
∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，
∴二次函数表达式为y＝﹣x2，
由一次函数与二次函数联立可得，
解得，，
∴S△OAB＝OG |A的横坐标|+OG 点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．
20．解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．