2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.3确定二次函数表达式同步训练（Word版，附答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.3确定二次函数表达式同步训练（Word版，附答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 306.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-27 23:54:41 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.3确定二次函数表达式》培优训练（附答案）
1．函数写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2021 B．y＝2（x﹣1）2+2021
C．y＝2（x+1）2+2021 D．y＝﹣2（x+1）2+2021
3．如图是一个不倒翁的部分剖面图，可看作一个抛物线，若肚子最大的宽度AB＝10cm，OD＝15cm，按图示位置建立的平面直角坐标系可知，抛物线表达式为（ ）
A．y＝x2 B．y＝﹣x2 C．y＝x2 D．y＝﹣x2
4．已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式只可能是（ ）
A．y＝﹣x2+x+3 B．y＝﹣x2﹣3x﹣3 C．y＝﹣x2﹣x+3 D．y＝x2+x+3
5．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是 ．
6．已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是 ．
7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过平行四边形ABCD的顶点A，B（1，m），D（7，1），它的对称轴经过AC，BD的交点，若AB＝5，则这条抛物线的解析式为 ．
8．已知某抛物线的顶点为（2，4），且过点（1，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P（a，6）能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
9．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？
10．如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+3交y轴于点A，AB∥x轴交抛物线于另一点B，抛物线的顶点为C，AC＝AB．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）P（0，b）是y轴上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线的对称轴于点D，取PD的中点M，若点M恰好落在抛物线上，求b的值．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）连接CA，CB，若点P是x轴下方抛物线上的一点，连接PC，PB，当S△PCB＝S△ACB时，求点P的坐标．
12．已知抛物线y＝ax2+2ax+5﹣a2经过点（﹣3，﹣5）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标．
（2）设点A（m，y1），B（1，y2）在抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
13．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求抛物线的解析式和顶点E坐标；
（2）该抛物线有一点D，使得S△DBC＝S△EBC，求点D的坐标．
14．如图，抛物线的顶点为A（﹣3，﹣3），此抛物线交x轴于O、B两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若抛物线上另一点P满足S△POB＝S△AOB，请求出点P的坐标．
15．如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求当﹣1≤x≤3时，y的取值范围；
（3）直接写出当y＞3时，x的取值范围．
16．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（﹣1，3）．
（1）求点B的坐标；
（2）抛物线y＝ax2+bx经过点A、B，求它的解析式．
17．平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）直接写出A点坐标；
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数表达式，并写出函数y随x增大而增大时x的取值范围；
（3）当x≥0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）图象最低点到直线y＝2a的距离为3，求a的值．
18．如图，两条抛物线y1＝﹣x2+4，y2＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．
（1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标；
（2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取最大值时，求S△BCD．
19．如图，在平面坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），点P的横坐标为2，将点A绕点P旋转，使它的对应点B恰好落在x轴上（不与A点重合）；再将点B绕点O逆时针旋转90°得到点C．
（1）直接写出点B和点C的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式．
参考答案
1．解：＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）﹣2＝（x﹣3）2+1，即y＝（x﹣1）2+．
故选：D．
2．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，
∵抛物线y＝a（x+1）2+2021二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，
∴a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+2021．
故选：D．
3．解：由题意可知A（﹣5，15），B（5，15），顶点是原点，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∴15＝25a，
解得a＝，
∴抛物线表达式为y＝x2，
故选：A．
4．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0．
故选：C．
5．解：设所求的抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点为（﹣6，0），
∴h＝﹣6，k＝0，
又∵开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同，
∴a＝﹣，
∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x+6）2，
6．解：设所求抛物线是y＝ax2+bx+c，根据题意得，
，
解得
，
故所求函数解析式是y＝2x2﹣8x+6．
故答案是y＝2x2﹣8x+6．
7．解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AC，BD互相平分且O'为AC，BD的中点，
又因为B（1，m），D（7，1），
所以，
所以抛物线对称轴为直线x＝4，
过点A作AE⊥直线x＝1于点E，
因为AE＝3，AB＝5，由勾股定理可得“，
又因为B（1，m），所以A（4，m﹣4）或（4，m+4），
因为B在抛物线上，所以B（1，a+b+c），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4），
根据抛物线经过点D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4）且对称轴为直线x＝4可列方程为：
或，
解得：或．
故抛物线的解析式为：或y＝﹣+﹣．
8．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，
将（1，2）代入上式得2＝a（1﹣2）2+4，
解得a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+4，
（2）动点P（a，6）不在抛物线上，理由如下：
∵抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+4的最大值为4，
∴动点P（a，6）不在抛物线上；
（3）∵抛物线的函数关系式为：y＝﹣2（x﹣2）2+4，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线上，且m＜n＜0＜2，
∴y1＜y2．
9．解：（1）A（﹣1，0），B（4，0）分别代入y＝ax2+bx+4（a≠0）得，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）把x＝0代入y＝﹣x2+3x+4得y＝4，
∴C（0，4），
设BC所在直线解析式为y＝kx+b，
把B（4，0），C（0，4）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝﹣x+4，
设M（m，0），则D（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，
∵OB＝OC＝4，OC⊥OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵DM⊥x轴，
∴∠DEF＝∠BEM＝45°，
又∵DF⊥BC，
∴DF＝DE＝（﹣m2+4m）＝（m﹣2）2+2，
∵＜0，
∴当m＝2时，DF有最大值为2．
10．解：（1）抛物线y＝ax2﹣6ax+3交y轴于点A，
令x＝0，则y＝3，
∴点A（0，3），
对称轴为：x＝﹣＝3，
∵AB∥x轴，
∴A、B关于x＝3对称，
∴B（6，3），则AB＝6，
又AC＝AB＝5，
过C作AB的垂线CN，
则AN＝3，
在Rt△ACN中，
由勾股定理得：CN＝＝＝4，
∴C（3，﹣1），
把C点坐标代入y＝ax2﹣6ax+3得，
﹣1＝9a﹣18a+3，
解得：a＝，
∴抛物线函数表达式为：y＝x2﹣x+3．
（2）由题意得：D点坐标为（3，b），
∵M为PD中点，
∴M（，b），
又∵M在抛物线上，代入得：
b＝×﹣×+3＝0，
∴b＝0．
11．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA．
∴B（2，0），C（0，2），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2；
（2）如图，
∵S△ACB＝AB OC＝×3×2＝3，
∴S△PCB＝S△ACB＝4，
∵点P是x轴下方抛物线上的一点，设P（m，﹣m2+m+2），
∴直线PC为y＝（﹣m+1）x+2，y＝0时，x＝，m＜﹣1或m＞2，
∴S△PCB＝BM [2﹣（﹣m2+m+2）]＝×（2﹣）×（m2﹣m）＝4，
解得：m＝1﹣，
∴点P的坐标为（1+，﹣3﹣）或（1﹣，﹣3）．
12．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+5﹣a2经过点（﹣3，﹣5），
∴﹣5＝9a﹣6a+5﹣a2，
解得a1＝﹣2，a2＝5，
当a＝﹣2时，该抛物线的表达式是y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3），
当a＝5时，该抛物线的表达式是y＝5x2+10x﹣20＝5（x+1）2﹣25，顶点坐标为（﹣1，﹣25），
由上可得，当a＝﹣2时，该抛物线的表达式是y＝﹣2x2﹣4x+1，顶点坐标为（﹣1，3）；
当a＝5时，该抛物线的表达式是y＝5x2+10x﹣20，顶点坐标为（﹣1，﹣25）；
（2）∵点A（m，y1），B（1，y2）在抛物线上，y1＞y2，
∴当a＝﹣2时，抛物线的表达式是y＝﹣2x2﹣4x+1，顶点坐标为（﹣1，3），则﹣3＜m＜1；
当a＝5时，该抛物线的表达式是y＝5x2+10x﹣20，顶点坐标为（﹣1，﹣25），则m＞1或m＜﹣3．
13．解：（1）由题意，设y＝a（x﹣1）（x﹣5），
代入A（0，4），得，
∴，
∴，
故顶点E坐标为；
（2）∵S△DBC＝S△EBC，
∴两个三角形在公共边BC上的高相等，
又点E到BC的距离为，
∴点D到BC的距离也为，
则（x﹣3）2﹣＝，
解得x＝3±2，
则点D或．
14．解：（1）如图，连接AB、OA．设抛物线的解析式为y＝a（x+3）2﹣3，
把（0，0）代入得a×32﹣3＝0，解得a＝，
所以此抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣3；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴B点坐标为（﹣6，0），
∴△AOB的面积＝×6×3＝9；
（3）设P点坐标为（x，y），
∵S△POB＝S△AOB，
∴|y|×6＝9，
解得y＝3或y＝﹣3（舍去），
∴（x+3）2﹣3＝3，
解得x1＝3﹣3，x2＝﹣3﹣3，
∴P点坐标为（3﹣3，3），（﹣3﹣3，3）．
15．解：（1）∵A（0，1）为抛物线顶点，
∴抛物线对称轴为y轴，
∵C，F在抛物线上，
∴BC＝BF，
∵矩形CDEF面积为CF OB＝8，
∴CF＝＝4，
∴BC＝BF＝2，
∴点F坐标为（2，2），
设抛物线解析式为y＝ax2+1，
把（2，2）代入解析式得2＝4a+1，
解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x2+1．
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＝0时，y取最小值为1，
∵3﹣0＞0﹣（﹣1），
∴x＝3时y取最大值，
把x＝3代入y＝x2+1得．
∴1≤y≤．
（3）把y＝3代入y＝x2+1得3＝x2+1，
解得x＝﹣2或x＝2，
∴y＞3时，x＜﹣2或x＞2．
16．解：（1）作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∠AOC+∠CAO＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°．
∴∠CAO＝∠BOD．
又∵AO＝BO，
∴△AOC≌△OBD（AAS）．
又∵A（﹣1，3），
∴AC＝OD＝3，OC＝BD＝1，
∴B（3，1）．
（2）由抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣1，3）、B（3，1）得，
解得，
∴解析式为．
17．解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，
∴点A的坐标为：（0，﹣1）；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，
得：2＝1﹣2a﹣1，
解得：a＝﹣1，
∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），
当a＜0时，对称轴在y轴左侧，
∵x≥0，
∴最低点就是A（0，﹣1），
如图所示：
∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，
∴|2a﹣（﹣1）|＝3，
解得：a＝﹣2或a＝1（舍去），
当a＞0，对称轴在y轴右侧，
∵x≥0，
∴顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，
如图所示：
∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝3，
整理得：（a+1）2＝3，
解得：a1＝﹣1﹣（不合题意舍去），a2＝﹣1+；
综上所述，a的值为﹣2或﹣1+；
18．解：（1）当y1＝0时，即﹣x2+4＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
又点A在x轴的负半轴，
∴点A（﹣2，0），
∵点A（﹣2，0），是抛物线y2的最高点．
∴﹣＝﹣2，即b＝﹣，
把A（﹣2，0）代入y2＝﹣x2﹣x+c得，c＝﹣，
∴抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣；
由得，，，
∵A（﹣2，0），
∴点B（3，﹣5），
答：抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣，点B（3，﹣5）；
（2）由题意得，CD＝y1﹣y2＝﹣x2+4﹣（﹣x2﹣x﹣），
即：CD＝﹣x2+x+，
当x＝﹣＝时，CD最大＝﹣×+×+＝5，
∴S△BCD＝×5×（3﹣）＝．
19．解：（1）如图所示，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0），
把（0，3）代入得：3a＝3，
解得：a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3．
1．函数写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2021 B．y＝2（x﹣1）2+2021
C．y＝2（x+1）2+2021 D．y＝﹣2（x+1）2+2021
3．如图是一个不倒翁的部分剖面图，可看作一个抛物线，若肚子最大的宽度AB＝10cm，OD＝15cm，按图示位置建立的平面直角坐标系可知，抛物线表达式为（ ）
A．y＝x2 B．y＝﹣x2 C．y＝x2 D．y＝﹣x2
4．已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式只可能是（ ）
A．y＝﹣x2+x+3 B．y＝﹣x2﹣3x﹣3 C．y＝﹣x2﹣x+3 D．y＝x2+x+3
5．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是 ．
6．已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是 ．
7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过平行四边形ABCD的顶点A，B（1，m），D（7，1），它的对称轴经过AC，BD的交点，若AB＝5，则这条抛物线的解析式为 ．
8．已知某抛物线的顶点为（2，4），且过点（1，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P（a，6）能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
9．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？
10．如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+3交y轴于点A，AB∥x轴交抛物线于另一点B，抛物线的顶点为C，AC＝AB．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）P（0，b）是y轴上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线的对称轴于点D，取PD的中点M，若点M恰好落在抛物线上，求b的值．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）连接CA，CB，若点P是x轴下方抛物线上的一点，连接PC，PB，当S△PCB＝S△ACB时，求点P的坐标．
12．已知抛物线y＝ax2+2ax+5﹣a2经过点（﹣3，﹣5）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标．
（2）设点A（m，y1），B（1，y2）在抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
13．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求抛物线的解析式和顶点E坐标；
（2）该抛物线有一点D，使得S△DBC＝S△EBC，求点D的坐标．
14．如图，抛物线的顶点为A（﹣3，﹣3），此抛物线交x轴于O、B两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若抛物线上另一点P满足S△POB＝S△AOB，请求出点P的坐标．
15．如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求当﹣1≤x≤3时，y的取值范围；
（3）直接写出当y＞3时，x的取值范围．
16．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（﹣1，3）．
（1）求点B的坐标；
（2）抛物线y＝ax2+bx经过点A、B，求它的解析式．
17．平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）直接写出A点坐标；
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数表达式，并写出函数y随x增大而增大时x的取值范围；
（3）当x≥0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）图象最低点到直线y＝2a的距离为3，求a的值．
18．如图，两条抛物线y1＝﹣x2+4，y2＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．
（1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标；
（2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取最大值时，求S△BCD．
19．如图，在平面坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），点P的横坐标为2，将点A绕点P旋转，使它的对应点B恰好落在x轴上（不与A点重合）；再将点B绕点O逆时针旋转90°得到点C．
（1）直接写出点B和点C的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式．
参考答案
1．解：＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）﹣2＝（x﹣3）2+1，即y＝（x﹣1）2+．
故选：D．
2．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，
∵抛物线y＝a（x+1）2+2021二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，
∴a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+2021．
故选：D．
3．解：由题意可知A（﹣5，15），B（5，15），顶点是原点，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∴15＝25a，
解得a＝，
∴抛物线表达式为y＝x2，
故选：A．
4．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0．
故选：C．
5．解：设所求的抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点为（﹣6，0），
∴h＝﹣6，k＝0，
又∵开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同，
∴a＝﹣，
∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x+6）2，
6．解：设所求抛物线是y＝ax2+bx+c，根据题意得，
，
解得
，
故所求函数解析式是y＝2x2﹣8x+6．
故答案是y＝2x2﹣8x+6．
7．解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AC，BD互相平分且O'为AC，BD的中点，
又因为B（1，m），D（7，1），
所以，
所以抛物线对称轴为直线x＝4，
过点A作AE⊥直线x＝1于点E，
因为AE＝3，AB＝5，由勾股定理可得“，
又因为B（1，m），所以A（4，m﹣4）或（4，m+4），
因为B在抛物线上，所以B（1，a+b+c），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4），
根据抛物线经过点D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4）且对称轴为直线x＝4可列方程为：
或，
解得：或．
故抛物线的解析式为：或y＝﹣+﹣．
8．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，
将（1，2）代入上式得2＝a（1﹣2）2+4，
解得a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+4，
（2）动点P（a，6）不在抛物线上，理由如下：
∵抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+4的最大值为4，
∴动点P（a，6）不在抛物线上；
（3）∵抛物线的函数关系式为：y＝﹣2（x﹣2）2+4，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线上，且m＜n＜0＜2，
∴y1＜y2．
9．解：（1）A（﹣1，0），B（4，0）分别代入y＝ax2+bx+4（a≠0）得，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）把x＝0代入y＝﹣x2+3x+4得y＝4，
∴C（0，4），
设BC所在直线解析式为y＝kx+b，
把B（4，0），C（0，4）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝﹣x+4，
设M（m，0），则D（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，
∵OB＝OC＝4，OC⊥OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵DM⊥x轴，
∴∠DEF＝∠BEM＝45°，
又∵DF⊥BC，
∴DF＝DE＝（﹣m2+4m）＝（m﹣2）2+2，
∵＜0，
∴当m＝2时，DF有最大值为2．
10．解：（1）抛物线y＝ax2﹣6ax+3交y轴于点A，
令x＝0，则y＝3，
∴点A（0，3），
对称轴为：x＝﹣＝3，
∵AB∥x轴，
∴A、B关于x＝3对称，
∴B（6，3），则AB＝6，
又AC＝AB＝5，
过C作AB的垂线CN，
则AN＝3，
在Rt△ACN中，
由勾股定理得：CN＝＝＝4，
∴C（3，﹣1），
把C点坐标代入y＝ax2﹣6ax+3得，
﹣1＝9a﹣18a+3，
解得：a＝，
∴抛物线函数表达式为：y＝x2﹣x+3．
（2）由题意得：D点坐标为（3，b），
∵M为PD中点，
∴M（，b），
又∵M在抛物线上，代入得：
b＝×﹣×+3＝0，
∴b＝0．
11．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA．
∴B（2，0），C（0，2），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2；
（2）如图，
∵S△ACB＝AB OC＝×3×2＝3，
∴S△PCB＝S△ACB＝4，
∵点P是x轴下方抛物线上的一点，设P（m，﹣m2+m+2），
∴直线PC为y＝（﹣m+1）x+2，y＝0时，x＝，m＜﹣1或m＞2，
∴S△PCB＝BM [2﹣（﹣m2+m+2）]＝×（2﹣）×（m2﹣m）＝4，
解得：m＝1﹣，
∴点P的坐标为（1+，﹣3﹣）或（1﹣，﹣3）．
12．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+5﹣a2经过点（﹣3，﹣5），
∴﹣5＝9a﹣6a+5﹣a2，
解得a1＝﹣2，a2＝5，
当a＝﹣2时，该抛物线的表达式是y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3），
当a＝5时，该抛物线的表达式是y＝5x2+10x﹣20＝5（x+1）2﹣25，顶点坐标为（﹣1，﹣25），
由上可得，当a＝﹣2时，该抛物线的表达式是y＝﹣2x2﹣4x+1，顶点坐标为（﹣1，3）；
当a＝5时，该抛物线的表达式是y＝5x2+10x﹣20，顶点坐标为（﹣1，﹣25）；
（2）∵点A（m，y1），B（1，y2）在抛物线上，y1＞y2，
∴当a＝﹣2时，抛物线的表达式是y＝﹣2x2﹣4x+1，顶点坐标为（﹣1，3），则﹣3＜m＜1；
当a＝5时，该抛物线的表达式是y＝5x2+10x﹣20，顶点坐标为（﹣1，﹣25），则m＞1或m＜﹣3．
13．解：（1）由题意，设y＝a（x﹣1）（x﹣5），
代入A（0，4），得，
∴，
∴，
故顶点E坐标为；
（2）∵S△DBC＝S△EBC，
∴两个三角形在公共边BC上的高相等，
又点E到BC的距离为，
∴点D到BC的距离也为，
则（x﹣3）2﹣＝，
解得x＝3±2，
则点D或．
14．解：（1）如图，连接AB、OA．设抛物线的解析式为y＝a（x+3）2﹣3，
把（0，0）代入得a×32﹣3＝0，解得a＝，
所以此抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣3；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴B点坐标为（﹣6，0），
∴△AOB的面积＝×6×3＝9；
（3）设P点坐标为（x，y），
∵S△POB＝S△AOB，
∴|y|×6＝9，
解得y＝3或y＝﹣3（舍去），
∴（x+3）2﹣3＝3，
解得x1＝3﹣3，x2＝﹣3﹣3，
∴P点坐标为（3﹣3，3），（﹣3﹣3，3）．
15．解：（1）∵A（0，1）为抛物线顶点，
∴抛物线对称轴为y轴，
∵C，F在抛物线上，
∴BC＝BF，
∵矩形CDEF面积为CF OB＝8，
∴CF＝＝4，
∴BC＝BF＝2，
∴点F坐标为（2，2），
设抛物线解析式为y＝ax2+1，
把（2，2）代入解析式得2＝4a+1，
解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x2+1．
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＝0时，y取最小值为1，
∵3﹣0＞0﹣（﹣1），
∴x＝3时y取最大值，
把x＝3代入y＝x2+1得．
∴1≤y≤．
（3）把y＝3代入y＝x2+1得3＝x2+1，
解得x＝﹣2或x＝2，
∴y＞3时，x＜﹣2或x＞2．
16．解：（1）作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∠AOC+∠CAO＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°．
∴∠CAO＝∠BOD．
又∵AO＝BO，
∴△AOC≌△OBD（AAS）．
又∵A（﹣1，3），
∴AC＝OD＝3，OC＝BD＝1，
∴B（3，1）．
（2）由抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣1，3）、B（3，1）得，
解得，
∴解析式为．
17．解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，
∴点A的坐标为：（0，﹣1）；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，
得：2＝1﹣2a﹣1，
解得：a＝﹣1，
∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），
当a＜0时，对称轴在y轴左侧，
∵x≥0，
∴最低点就是A（0，﹣1），
如图所示：
∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，
∴|2a﹣（﹣1）|＝3，
解得：a＝﹣2或a＝1（舍去），
当a＞0，对称轴在y轴右侧，
∵x≥0，
∴顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，
如图所示：
∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝3，
整理得：（a+1）2＝3，
解得：a1＝﹣1﹣（不合题意舍去），a2＝﹣1+；
综上所述，a的值为﹣2或﹣1+；
18．解：（1）当y1＝0时，即﹣x2+4＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
又点A在x轴的负半轴，
∴点A（﹣2，0），
∵点A（﹣2，0），是抛物线y2的最高点．
∴﹣＝﹣2，即b＝﹣，
把A（﹣2，0）代入y2＝﹣x2﹣x+c得，c＝﹣，
∴抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣；
由得，，，
∵A（﹣2，0），
∴点B（3，﹣5），
答：抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣，点B（3，﹣5）；
（2）由题意得，CD＝y1﹣y2＝﹣x2+4﹣（﹣x2﹣x﹣），
即：CD＝﹣x2+x+，
当x＝﹣＝时，CD最大＝﹣×+×+＝5，
∴S△BCD＝×5×（3﹣）＝．
19．解：（1）如图所示，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0），
把（0，3）代入得：3a＝3，
解得：a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3．