2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.4二次函数的应用同步达标训练(Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.4二次函数的应用》同步达标训练（附答案）
1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）
A．此抛物线的解析式是y＝﹣x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
2．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（　　）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
3．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝　 　m时，矩形土地ABCD的面积最大．
4．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是　 　m．
5．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为　 　．
6．铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
（3）该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？
7．随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆．我市某旅行社推出“辽阳﹣葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用y（元）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元．旅行社收到的团队总报名费用为w（元）．
（1）直接写出当x≥20时，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？
（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？
8．服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）设服装厂所获利润为w（元），若10≤x≤50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？
9．某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？
10．某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？
11．为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．
甲 乙 丙
单价（元/棵） 14 16 28
合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4
12．绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
13．为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
14．我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：y＝，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10
（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；
（2）若月利润w（万元）＝当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；
（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？
15．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
16．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣n（n＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．
（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；
（3）如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若AE：ED＝1：4，求n的值．
17．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
21．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；
②当∠AEF＝∠DBE时，求点F的坐标．
23．已知抛物线F：y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．
（1）求抛物线F的解析式；
（2）如图1，直线l：y＝x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；
（3）在（2）中，若m＝，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．
①判断△AA′B的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+3.5．
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
∴当x＝﹣2.5时，
h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25（m）．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项错误．
故选：A．
2．解：A、当t＝9时，h＝136；当t＝13时，h＝144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t＝24时h＝1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、当t＝10时h＝141m，此选项错误；
D、由h＝﹣t2+24t+1＝﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
故选：D．
3．解：设AB＝xm，则BC＝（900﹣3x），
由题意可得，S＝AB×BC＝x×（900﹣3x）＝﹣（x2﹣300x）＝﹣（x﹣150）2+33750
∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33750，
∴AB＝150m，
故答案为：150．
4．解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）
故答案是：24．
5．解：如图所示：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2．
∴∠1+∠2＝90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF＝90°，EH＝EF．
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△AHE与△BEF中，
∵，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
∴AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
EH2＝AE2+AH2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4；
即y＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2），
故答案为：y＝2x2﹣4x+4．
6．解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
把（2，120）和（4，140）代入得，，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝10x+100；
（2）根据题意得，（60﹣40﹣x）（10x+100）＝2090，
解得：x＝1或x＝9，
∵为了让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9，
答：这种干果每千克应降价9元；
（3）该干果每千克降价x元时，商贸公司获利最大，最大利润是w元，
根据题意得，w＝（60﹣40﹣x）（10x+100）＝﹣10x2+100x+2000，
∴w＝﹣10（x﹣5）2+2250，
故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元．
7．解：（1）设y＝kx+b，
把（20，120）和（32，96）代入得：，
解得：，
y与x之间的函数关系式为：y＝﹣2x+160；
∵旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元，
当y≥88时，﹣2x+160≥88，
x≤36，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣2x+160（20≤x≤36）；
（2）20×120＝2400＜3000，
由题意得：w＝xy＝x（﹣2x+160）＝3000，
﹣2x2+160x﹣3000＝0，
x2﹣80x+1500＝0，
（x﹣50）（x﹣30）＝0，
x＝50或30，
当x＝50时，y＝＝60，不符合题意，舍去，
当x＝30时，y＝＝100＞88，符合题意，
答：报名旅游的人数是30人；
（3）w＝xy＝x（﹣2x+160）＝﹣2x2+160x＝﹣2（x2﹣80x+1600﹣1600）＝﹣2（x﹣40）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴x＜40，w随x的增大而增大，
∵x＝36时，w有最大值为：﹣2（36﹣40）2+3200＝3168，
∴当一个团队有36人报名时，旅行社收到的总报名费最多，最多总报名费是3168元．
8．解：（1）当10≤x≤50时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得，
∴当10≤x≤50时，y与x的函数关系式为y＝﹣0.5x+105，
当x＞50时，y＝80，
即y与x的函数关系式为：y＝；
（2）由题意可得，
w＝（﹣0.5x+105﹣65）x＝﹣0.5x2+40x＝﹣0.5（x﹣40）2+800，
∴当x＝40时，w取得最大值，此时w＝800，
答：批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元．
9．解：（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128+8x）件，
则y＝（128+8x）（100﹣x﹣80）＝﹣8x2+32x+2560，
即y与x之间的函数解析式是y＝﹣8x2+32x+2560；
（2）∵y＝﹣8x2+32x+2560＝﹣8（x﹣2）2+2592，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝2592，
∴销售单价为：100﹣2＝98（元），
答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．
10．解：（1）由题意可知y＝2x+40（1≤x≤30且x为整数）．；
（2）根据题意可得：w＝（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），
＝﹣2x2+80x+2400，
＝﹣2（x﹣20）2+3200，
∵a＝﹣2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝20时，w有最大值为3200元，
∴第20天的利润最大，最大利润是3200元．
11．解：（1）y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）
（2）由题意：﹣2x2+36x＝160，
解得x＝10或8．
∵x＝8时，36﹣16＝20＞18，不符合题意，
∴x的值为10．
（3）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，
∴x＝9时，y有最大值162，
设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，
由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，
∴a+7b＝1500，
∴b的最大值为214，此时a＝2，
需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2＜162，
∴丙种植物，最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．
12．解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵经过点（0，168）与（180，60），
∴，解得：，
∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1＝﹣x+168（0≤x≤180）；
（2）由题意，可得当0≤x≤50时，y2＝70；
当130≤x≤180时，y2＝54；
当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2＝mx+n，
∵直线y2＝mx+n经过点（50，70）与（130，54），
∴，解得，
∴当50＜x＜130时，y2＝﹣x+80．
综上所述，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2＝；
（3）设产量为xkg时，获得的利润为W元，
①当0≤x≤50时，W＝x（﹣x+168﹣70）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝50时，W的值最大，最大值为3400；
②当50＜x＜130时，W＝x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]＝﹣（x﹣110）2+4840，
∴当x＝110时，W的值最大，最大值为4840；
③当130≤x≤180时，W＝x（﹣x+168﹣54）＝﹣（x﹣95）2+5415，
∴当x＝130时，W的值最大，最大值为4680．
因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．
13．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，得，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣0.5x+110；
（2）设合作社每天获得的利润为w元，
w＝x（﹣0.5x+110）﹣20（﹣0.5x+110）＝﹣0.5x2+120x﹣2200＝﹣0.5（x﹣120）2+5000，
∵60≤x≤150，
∴当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5000，
答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
14．解；（1）当1≤x≤9时，设每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式为z＝kx+b，
，得，
即当1≤x≤9时，每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式为z＝﹣x+20，
当10≤x≤12时，z＝10，
由上可得，z＝；
（2）当1≤x≤8时，
w＝（x+4）（﹣x+20）＝﹣x2+16x+80，
当x＝9时，
w＝（﹣9+20）×（﹣9+20）＝121，
当10≤x≤12时，
w＝（﹣x+20）×10＝﹣10x+200，
由上可得，w＝；
（3）当1≤x≤8时，w＝﹣x2+16x+80＝﹣（x﹣8）2+144，
∴当x＝8时，w取得最大值，此时w＝144；
当x＝9时，w＝121，
当10≤x≤12时，w＝﹣10x+200，
则当x＝10时，w取得最大值，此时w＝100，
由上可得，当x为8时，月利润w有最大值，最大值144万元．
15．解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
16．解：（1）若△ABC为直角三角形
∴△AOC∽△COB
∴OC2＝AO OB
当y＝0时，0＝x2﹣x﹣n
由一元二次方程根与系数关系
OA OB＝OC2
n2＝2n
解得n＝0（舍去）或n＝2
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2
（2）由（1）当x2﹣x﹣2＝0时
解得x1＝﹣1，x2＝4
∴OA＝1，OB＝4
∴B（4，0），C（0，﹣2）
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣
∴设点Q坐标为（，b）
由平行四边形性质可知
当BQ、CP为平行四边形对角线时，点P坐标为（，b+2）
代入y＝x2﹣x﹣2
解得b＝则P点坐标为（，）
当CQ、PB为为平行四边形对角线时，点P坐标为（﹣，b﹣2）
代入y＝x2﹣x﹣2
解得b＝则P坐标为（﹣，），
综上点P坐标为（，）（﹣，）；
（3）设点D坐标为（a，b）
∵AE：ED＝1：4
则OE＝，OA＝
∵AD∥CB
∴△AEO∽△BCO
∵OC＝n
∴
∴OB＝
由一元二次方程根与系数关系
x1x2＝＝﹣a ，
∴b＝
将点A（﹣，0），D（a，）代入y＝x2﹣x﹣n
解得a＝6或a＝0（舍去）
则n＝
17．解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C（0，2）代入，得：﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；
（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），
设直线BD解析式为y＝kx+b，
将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，
解得：，
∴直线BD解析式为y＝x﹣2，
当点P在线段AB上时，
∵QM⊥x轴，P（m，0），
∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），
则QM＝﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝﹣m2+m+4，
∵F（0，）、D（0，﹣2），
∴DF＝，
∵QM∥DF，
∴当﹣m2+m+4＝时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m＝﹣1或m＝3，
即m＝﹣1或m＝3时，四边形DMQF是平行四边形；
综上，当m＝﹣1或m＝3时，四边形DMQF是平行四边形．
（3）如图所示：
∵QM∥DF，
∴∠ODB＝∠QMB，
分以下两种情况：
①当∠DOB＝∠MBQ＝90°时，△DOB∽△MBQ，
则＝＝＝，
∵∠MBQ＝90°，
∴∠MBP+∠PBQ＝90°，
∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，
∴∠MBP+∠BMP＝90°，
∴∠BMP＝∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴＝，即＝，
解得：m1＝3、m2＝4，
当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m＝3，点Q的坐标为（3，2）；
②当∠BQM＝90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
此时m＝﹣1，点Q的坐标为（﹣1，0）；
综上，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
18．解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，DE＝ME，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，
∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，
∴点P的坐标为（2，3），
∴点E的坐标为（1，3），
∴点M的坐标为（1，6）．
故在直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，点M的坐标为（1，6）．
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴S＝PF OB＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+．
②∵﹣＜0，
∴当t＝时，S取最大值，最大值为．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴线段BC＝＝3，
∴P点到直线BC的距离的最大值为＝，此时点P的坐标为（，）．
19．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB＝MB′，
∴MB+MD＝MB′+MD＝DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y＝x+3，
当x＝0时，y＝x+3＝3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y＝3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y＝﹣x+b，
把C（0，3）代入得b＝3，
∴直线PC的解析式为y＝﹣x+3，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线AP的解析式可设为y＝﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得+b＝0，解得b＝﹣，
∴直线AP的解析式为y＝﹣x﹣，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），
20．解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a 8 2＝4，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y＝x，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣12，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y＝2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t，
∴直线MN的解析式为y＝2x﹣2t，
解方程组得，则N（t，t），
∴S△AMN＝S△AOM﹣S△NOM
＝ 4 t﹣ t t
＝﹣t2+2t
＝﹣（t﹣3）2+3，
当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
（3）设Q（m，m2﹣m），
∵∠OPQ＝∠ACO，
∴当＝时，△PQO∽△COA，即＝，
∴PQ＝2PO，即|m2﹣m|＝2|m|，
解方程m2﹣m＝2m得m1＝0（舍去），m2＝14，此时P点坐标为（14，0）；
解方程m2﹣m＝﹣2m得m1＝0（舍去），m2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；
∴当＝时，△PQO∽△CAO，即＝，
∴PQ＝PO，即|m2﹣m|＝|m|，
解方程m2﹣m＝m得m1＝0（舍去），m2＝8，此时P点坐标为（8，0）；
解方程m2﹣m＝﹣m得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）；
综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
21．解：（1）①如图1，
∵y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x﹣）2+，
∴顶点为M的坐标为（，），
当x＝时，y＝﹣2×+4＝3，则点N坐标为（，3）；
②不存在．
理由如下：
MN＝﹣3＝，
设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），
∴PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，
∵PD∥MN，
当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m＝，解得m1＝（舍去），m2＝，此时P点坐标为（，1），
∵PN＝＝，
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不为菱形，
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）存在．
如图2，OB＝4，OA＝2，则AB＝＝2，
当x＝1时，y＝﹣2x+4＝2，则P（1，2），
∴PB＝＝，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+4，
把A（2，0）代入得4a+2b+4＝0，解得b＝﹣2a﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+4，
当x＝1时，y＝ax2﹣2（a+1）x+4＝a﹣2a﹣2+4＝2﹣a，则D（1，2﹣a），
∴PD＝2﹣a﹣2＝﹣a，
∵DC∥OB，
∴∠DPB＝∠OBA，
∴当＝时，△PDB∽△BOA，即＝，解得a＝﹣2，此时抛物线解析式为y＝﹣2x2+2x+4；
当＝时，△PDB∽△BAO，即＝，解得a＝﹣，此时抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4；
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．
22．解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．
设直线BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将（3，0）、（1，4）代入y＝mx+n，
，解得：，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），
∴FM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）＝﹣x2+4x﹣3，
∴S△BDF＝FM （xB﹣xD）＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，S△BDF取最大值，最大值为1．
②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′＝ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．
∵EF1∥BD，
∴∠AEF1＝∠DBE．
∵ON＝ON′，EO⊥NN′，
∴∠AEF2＝∠AEF1＝∠DBE．
∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴点E的坐标为（1，0）．
设直线EF1的解析式为y＝﹣2x+b1，
将E（1，0）代入y＝﹣2x+b1，
﹣2+b1＝0，解得：b1＝2，
∴直线EF1的解析式为y＝﹣2x+2．
联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，，
解得：，（舍去），
∴点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）．
当x＝0时，y＝﹣2x+2＝2，
∴点N的坐标为（0，2），
∴点N′的坐标为（0，﹣2）．
同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y＝2x﹣2．
联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，，
解得：，（舍去），
∴点F2的坐标为（﹣，﹣2﹣2）．
综上所述：当∠AEF＝∠DBE时，点F的坐标为（2﹣，2﹣2）或（﹣，﹣2﹣2）．
23．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣，0），
∴，解得：，
∴抛物线F的解析式为y＝x2+x．
（2）将y＝x+m代入y＝x2+x，得：x2＝m，
解得：x1＝﹣，x2＝，
∴y1＝﹣+m，y2＝+m，
∴y2﹣y1＝（+m）﹣（﹣+m）＝（m＞0）．
（3）∵m＝，
∴点A的坐标为（﹣，），点B的坐标为（，2）．
∵点A′是点A关于原点O的对称点，
∴点A′的坐标为（，﹣）．
①△AA′B为等边三角形，理由如下：
∵A（﹣，），B（，2），A′（，﹣），
∴AA′＝，AB＝，A′B＝，
∴AA′＝AB＝A′B，
∴△AA′B为等边三角形．
②∵△AA′B为等边三角形，
∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．
（i）当A′B为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（2，）；
（ii）当AB为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣，）；
（iii）当AA′为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣，﹣2）．
综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（2，）、（﹣，）和（﹣，﹣2）．