2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程同步达标测评（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.5二次函数与一元二次方程》
同步达标测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．如图，直线y1＝﹣x+b与抛物线交于点A（﹣2，4），B（1，1），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＞1
2．如图，直线y1＝2x和抛物线y2＝﹣x2+4x，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞2 C．0＜x＜4 D．x＜0或x＞4
3．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣9中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　）
x … 2 2.1 2.2 2.3 2.4 …
y … ﹣1 ﹣0.39 0.24 0.89 1.56 …
A．2 B．2.1 C．2.2 D．2.3
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则下列说法中不正确的是（　　）
A．a＜0，c＜0 B．4a+b＝0
C．方程ax2+bx+c＝0的实数为x1＝1，x2＝3
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集为1＜x＜3
5．抛物线y＝x2+4x﹣m2+2（m是常数）与坐标轴交点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．2或3
6．直线y＝x+1与抛物线y＝x2+1的图象如图所示，若一次函数的值大于二次函数的值，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．0＜x＜1 D．x＜0或x＞1
7．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝kx+n（k≠0）上．下列结论错误的是（　　）
A．a+b+c＞﹣k+n
B．不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1
C．abc＜0
D．方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根
8．已知函数y1＝ax2+bx+c与函数y2＝kx+b的图象大致如图所示，若y1＜y2．则自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜ B．x＞2或x＜﹣ C．x＜﹣2或x＞ D．﹣＜x＜2
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与二次函数的图象交于C、D两点，D点在x轴的下方，而且D的横坐标小于4，下列结论：
①4ac﹣b2＜0；②2a+b＝0；③5a+3b+c＞0；④不等式﹣x+c＜ax2+bx+c的取值范围是0＜x＜4．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题，满分30分）
10．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x+m＞x2+bx+c的解集为 　 　．
11．在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是 　 　．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0）则方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　；不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　 　；不等式ax2+bx+c≤0的解集为 　 　．
13．如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，y1与y2交点的横坐标分别是﹣2和1，则当y2＞y1时，x的取值范围是 　 　．
14．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，5）和B（5，2），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分54分）
15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c图象经过（﹣1，0）和（3，0）．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小；
（3）直接写出不等式﹣x2+bx+c＞0的解集；
（4）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．
16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点B（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若0≤x≤4求函数y的取值范围；
（3）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y＝mx+n经过A、C两点，根据图象直接写出满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．
17．先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题．
例题：解一元二次不等式x2﹣3x+2＞0．
解：令y＝x2﹣3x+2，画出y＝x2﹣3x+2如图所示，由图象可知：当x＜1或x＞2时，y＞0．所以一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集为x＜1或x＞2．
填空：（1）x2﹣3x+2＜0的解集为 　 　；
（2）﹣x2+2＜0的解集为 　 　；
（3）用类似的方法解一元二次不等式﹣（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6＞0．
18．已知二次函数y＝x2﹣2x+c和一次函数y＝kx+b的图象交于A（a，0）（a＜0），B（4，5）两点．
（1）求c的值；
（2）求一次函数解析式；
（3）直接写出二次函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．
19．抛物线y＝x2与直线y＝x+2交于A，B两点．
（1）求A，B两点坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式x2﹣x＞2的解集．
20．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题：
（1）直接写出该二次函数的解析式为 　 　；
（2）不等式ax2+bx+c≤0的解集是 　 　；
（3）求y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根，求k的取值范围是 ．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．解：由图可知，直线在抛物线下方部分对应的x取值范围为x＜﹣2或x＞1，
∴当y1＜y2时，x＜﹣2或x＞1．
故选：C．
2．解：由，解得或，
∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），
由图可知，y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞2．
故选：B．
3．解：当x＝2.1时，y＝﹣0.39；当x＝2.2时，y＝0.24．
∵0.24更接近于0，
∴方程的一个近似根为2.2．
故选：C．
4．解：A、∵开口向下，与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴a＜0，c＜0，故选项A正确，不符合题意；
B、∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b+4a＝0，故选项B正确，不符合题意；
C、∵函数图象与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝2，
∴函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的实数为x1＝1，x2＝3，故选项C正确，不符合题意；
D、由图象可知，函数图象在x轴下方部分对应的x取值范围为x＜1或x＞3，
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜1或x＞3，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
5．解：∵Δ＝42﹣4×1×（﹣m2+2）＝4m2+8＞0，
∴抛物线与x轴有2个公共点，
∵x＝0时，y＝﹣m2+2，
若m＝±，则抛物线与y轴交于原点，
此时抛物线与坐标轴有2个交点，
若m≠±，则抛物线与y轴交于（0，﹣m2+2 ），
此时抛物线与坐标轴有3个交点，
故选：D．
6．解：由图象可知，
当0＜x＜1时，一次函数图象在二次函数图象上方，即一次函数的值大于二次函数的值．
故选：C．
7．解：∵直线y2＝kx+n（m≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），
∴a﹣b+c＝﹣k+n，
∴a+b+c＞﹣k+n，所以A正确；
∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1，
∴不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以B正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以C正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以D错误；
故选：D．
8．解：由图象可得当﹣2＜x＜时，抛物线在直线下方，
∴﹣2＜x＜时，y1＜y2．
故选：A．
9．解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A、B 两点，
∴b2﹣4ac＞0，即：4ac﹣b2＜0，故①符合题意；
∵对称轴为直线 x＝1，
∴，即：b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②符合题意；
∵4ac﹣b2＜0，b＝﹣2a，
∴4ac﹣4a2＜0，
又∵a＜0，
∴c﹣a＞0，
∴5a+3b+c＝5a﹣6a+c＝﹣a+c＞0，
故③符合题意；
∵直线 y＝﹣x+c 与抛物线 y＝ax2+bx+c 交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于4，
∴不等式﹣x+c＜ax2+bx+c 的取值范围是：0＜x＜D点的横坐标，故④不符合题意；
故正确的结论有3个．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分30分）
10．解：∵直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），
∴由图象得：不等式x2+bx+c＞x+m的解集为x＜1或x＞3．
故答案为：x＜1或x＞3．
11．解：由图可知，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的交点坐标为（0，0），（2，4），
所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．
故答案为：0＜x＜2．
12．解：（1）方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝2；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜2；
（3）不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞2．
故答案为：（1）x1＝﹣1，x2＝2；（2）﹣1＜x＜2；（3）x＜﹣1或x＞2．
13．解：∵y2＞y1，
∴一次函数的图象在抛物线的上方，
由图象可知，当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，
∴当﹣2＜x＜1时，y2＞y1，
故答案为：﹣2＜x＜1．
14．解：观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即ax2+bx+c＜mx+n，
故答案为﹣1＜x＜5．
三．解答题（共6小题，满分54分）
15．解：（1）将点（﹣1，0）和（3，0）代入函数解析式，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴函数开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴x≥1时，y随x的增大而减小．
（3）由图可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的上方，
∴﹣x2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3．
（4）由图象开口向下，对称轴为直线x＝1知，
当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，当1＜x＜3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y最大值＝﹣1+2+3＝4，当x＝3时，y最小值＝﹣32+2×3+3＝0，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围为0＜y≤4．
16．解：（1）∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，3）代入解析式得3＝﹣3a，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，4﹣1＞1﹣0，
∴当x＝1时，y＝﹣1+2+3＝4为最大值，
x＝4时，y＝﹣16+8+3＝﹣5为最小值，
∴0≤x≤4时，﹣5≤y≤4．
（3）∵点B坐标为（0，3），对称轴为直线x＝1，
∴点C坐标为（2，3），
由图象可得﹣1＜x＜2时，抛物线在直线上方，
∴ax2+bx+c＞mx+n时，﹣1＜x＜2．
17．解：（1）解x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2，
所以，不等式x2﹣3x+2＜0的解集为1＜x＜2；
（2）解﹣x2+2＝0得，x1＝﹣，x2＝，
所以，不等式﹣x2+2＜0的解集为x＜﹣或x＞；
（3）令y＝﹣（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6，解﹣（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6＝0得，x1＝2，x2＝﹣5，
一元二次不等式﹣（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6＞0的解集为﹣5＜x＜2．
故答案为：（1）1＜x＜2；（2）x＜﹣或x＞；
18．解：（1）∵B（4，5）在二次函数y＝x2﹣2x+c的图象上，
∴5＝42﹣2×4+c，
∴c＝﹣3；
（2）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3经过点A（a，0），
∴a2﹣2a﹣3＝0，
解得a＝3或﹣1，
∴a＜0，
∴a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
把A、B点的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
（3）观察图象，二次函数的值大于一次函数的值时x的取值范围为x＜﹣1或x＞4．
19．解：（1）联立直线和抛物线的解析式，
得：，
解得或，
∴A（﹣1，1），B（2，4）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A，B代入直线的解析式，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，
∴C（0，2），
∴，，
∴S△AOB＝1+2＝3；
（3）∵x2﹣x＞2，
∴x2＞x+2，
∴抛物线的图象在直线AB的上方的部分对应的x的范围即为不等式的解集，
由图象可知当x＜﹣1或x＞2时，抛物线在直线的上方，
∴x2﹣x＞2的解集为x＜﹣1或x＞2．
20．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
将（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣4）得4＝﹣8a，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4，
故答案为：y＝﹣x2+x+4．
（2）由图象可得x≤﹣2或x≥4时，y≤0，
故答案为：x≤﹣2或x≥4．
（3）∵图象经过（﹣2，0），（4，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵抛物线开口向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，
故答案为：x＞1．
（4）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴y≤，
∴y＜时，ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根，
故答案为：k＜．