2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程同步达标测评（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.5二次函数与一元二次方程》
同步达标训练（附答案）
1．下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（　　）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 1 2 1 ﹣2 ﹣7
A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间 C．﹣1与0之间 D．0与1之间
2．如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　）
x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 …
A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（　　）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
A．a＜0 B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0 D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2
4．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：
①b＞0；
②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＜0；
④a+b+c＞0；
⑤关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣3之间，
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0有一个根为x＝3，且y＝ax2﹣2ax+c过（2，﹣3），则不等式ax2﹣2ax+c≤﹣x﹣1的解为（　　）
A．﹣1≤x≤2 B．x≤﹣1 C．x≥2 D．﹣1＜x＜2
6．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜6 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＜1或x＞6
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（　　）
A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4
B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4
C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2
D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4
8．如图是函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象，有下列结论：
（1）b2﹣4c＞0；（2）b+c+1＝0；
（3）方程x2+（b﹣1）x+c＝0的解为x1＝1，x2＝3；
（4）当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 3
y n 1 1
当n＜0时，下列结论中一定正确的是　 　．（填序号即可）
①b＝﹣3a；②n＞4a；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一根在3和4之间；④当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝kx相交于O，A（3，2）两点，则不等式ax2+bx﹣kx＜0的解集是 　 　．
11．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＞0的解集为　 　．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象如图所示，其中直线l∥x轴，则当ax2+bx+c≥1时，x的取值范围是　 　．
13．已知二次函数y＝x2﹣2x+b，过点（﹣2，5），则x2﹣2x+b＞5的解为　 　．
14．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　 　．
15．已知抛物线y＝（a﹣1）x2﹣4x﹣1与x轴有交点，则a的取值范围是 　 　．
16．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的实数根是 　 　．
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答：
（1）当y＞0时，写出自变量x的取值范围 　 　；
（2）若方程ax2+bx+c﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　 　．
18．二次函数y＝ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根，则c的最小值为 　 　．
19．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 　 　．
20．已知函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则m＝　 　．
21．已知二次函数y＝x2﹣2x+c和一次函数y＝kx+b的图象交于A（a，0）（a＜0），B（4，5）两点．
（1）求c的值；
（2）求一次函数解析式；
（3）直接写出二次函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．
22．抛物线y＝x2与直线y＝x+2交于A，B两点．
（1）求A，B两点坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式x2﹣x＞2的解集．
参考答案
1．解：∵当x＝0时，y＝1，x＝1时，y＝﹣2，
∴函数在0～1之间由正到负，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在0与1之间，
故选：D．
2．解：当x＝2.3时，y＝﹣0.11；当x＝2.4时，y＝0.56．
∵﹣0.11更接近于0，
∴方程的一个近似根为2.3．
故选：B．
3．解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，
∴a＜0，
故A正确；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，
故B错误；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝＞1，
∴2a+b＞0，
故C正确；
∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），
∵＜5，
∴y1＜y2，
故D正确；
故选：B．
4．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴2a+b＝0，
故①②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点（4，y）与（﹣2，y）关于直线x＝1对称，
∵x＝4时，y＜0，
∴x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c＞0，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
∴关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣1之间，
故⑤错误；
∴正确结论的有①②③④共4个，
故选：D．
5．解：把（2，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+c得4a﹣4a+c＝﹣3，即c＝﹣3，
把x＝3代入ax2﹣2ax+c＝0得9a﹣6a+c＝0，解3a﹣3＝0，解得a＝1，
所以抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，
解方程x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣x﹣1的交点的横坐标分别为﹣1和2，
即不等式ax2﹣2ax+c≤﹣x﹣1的解为﹣1≤x≤2，
故选：A．
6．解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的交点A、B的坐标分别为（1，﹣3）、（6，1），
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6，
故选：D．
7．解：联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，
由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，
而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x＜2或x＞4，
故选：D．
8．解：由图象知，二次函数过（3，3）（0，3），（1，1），
∴，
解得：，
∴b+c+1＝﹣3+3+1＝1，故②错误；
∵a＝1，
∴抛物线为y＝x2+bx+c，
∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4c＜0，故①错误；
由图象知，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为（1，1）和（3，3），
∴方程x2+（b﹣1）x+c＝0的解为x1＝1，x2＝3，故③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；
故选：B．
9．解：①函数的对称轴为直线x＝（0+3）＝，即﹣＝，则b＝﹣3a，故①正确；
②∵c＝1，b＝﹣3a，
∴x＝﹣1时，n＝y＝a﹣b+c＝4a+1＞4a，故②正确；
③∵n＜0，故在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线经过点（3，1），
∴抛物线与x轴的交点的横坐标x＞3，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一根在3和4之间，故③正确；
④∴a＜0，﹣＝，
∴当x＞上，y随x的增大而减小，故④错误；
故答案为：①②③．
10．解：由ax2+bx﹣kx＜0得到：ax2+bx＜kx，
∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，
∴关于x的不等式ax2+bx＜kx的解集是0＜x＜3，
即关于x的不等式ax2+bx﹣kx＜0的解集是0＜x＜3，
故答案为：0＜x＜3．
11．解：∵由函数图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标的横坐标为1和3
∴函数y＝a（x+2）2+b（x+2）+c的图象与x轴的交点横坐标为﹣1，1，
由函数图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c，当1＜x＜3时，函数图象在x轴的上方，
∴二次函数y＝a（x+2）2+b（x+2）+c，当﹣1＜x＜1时，函数图象在x轴的上方，
∴不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0＜0的解集为﹣1＜x＜1．
故答案为：﹣1＜x＜1．
12．解：由图象可知，函数的对称轴x＝1，
则点（2.5，1）关于x＝1对称的点为（﹣0.5，1），
∵ax2+bx+c≥1的解集为﹣0.5≤x≤2.5，
故答案为﹣0.5≤x≤2.5．
13．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+b，
∴此函数的对称轴为：x＝﹣＝1，
∵二次函数y＝x2﹣2x+b，过点（﹣2，5），
∴此函数一定过（4，5），
∵二次函数中a＝1＞0，
∴图象开口向上，
∴x2﹣2x+b＞5的解为：x＜﹣2或x＞4．
故答案为：x＜﹣2或x＞4．
14．解：∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x．
当x＝﹣1时，y＝1+2＝3；
当x＝4时，y＝16﹣2×4＝8；
当x＝1时，y＝1﹣2＝﹣1．
∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：﹣1≤t＜8．
15．解：∵y＝（a﹣1）x2﹣4x﹣1与x轴有交点，
∴，
解得a≥﹣3且a≠1，
故答案为：a≥﹣3且a≠1．
16．解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴9a﹣6a+c＝0，
解得：c＝﹣3a，
∴方程ax2﹣2ax+c＝0可转化为ax2﹣2ax﹣3a＝0，
即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴方程ax2﹣2ax+c＝0的实数根是﹣1或3，
故答案为：﹣1或3．
17．解：（1）当y＞0时，1＜x＜3；
故答案为：1＜x＜3；
（2）方程ax2+bx+c﹣k＝0变形为ax2+bx+c＝k，
所以方程ax2+bx+c﹣k＝0有两个不相等的实数根可看作二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝k有两个交点，如图，
所以k＜2．
故答案为：k＜2．
18．解：由图可知：y≤4，即ax2+bx≤4，
∵ax2+bx+c＝0，
∴ax2+bx＝﹣c，
∴﹣c≤4，
∴c≥﹣4．
∴c的最小值为﹣4．
故答案是：﹣4．
19．解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故答案为：﹣6＜m＜﹣2．
20．解：（1）m＝0时，函数的图象是一条直线：y＝2x+2，
它与x轴、y轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
（2）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＝0，
∴m2﹣2m+1＝0，
解得m＝1；
（3）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＞0，
∴（m﹣1）2＞0，
此时函数的图象一定经过原点，
∴﹣m+2＝0，
解得m＝2；
综上，可得m的值为0或1或2．
故答案为：0或1或2．
21．解：（1）∵B（4，5）在二次函数y＝x2﹣2x+c的图象上，
∴5＝42﹣2×4+c，
∴c＝﹣3；
（2）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3经过点A（a，0），
∴a2﹣2a﹣3＝0，
解得a＝3或﹣1，
∴a＜0，
∴a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
把A、B点的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
（3）观察图象，二次函数的值大于一次函数的值时x的取值范围为x＜﹣1或x＞4．
22．解：（1）联立直线和抛物线的解析式，
得：，
解得或，
∴A（﹣1，1），B（2，4）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A，B代入直线的解析式，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，
∴C（0，2），
∴，，
∴S△AOB＝1+2＝3；
（3）∵x2﹣x＞2，
∴x2＞x+2，
∴抛物线的图象在直线AB的上方的部分对应的x的范围即为不等式的解集，
由图象可知当x＜﹣1或x＞2时，抛物线在直线的上方，
∴x2﹣x＞2的解集为x＜﹣1或x＞2．