2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质培优训练（Word版，附答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质培优训练（Word版，附答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 542.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-27 23:48:34 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》培优训练（附答案）
一．选择题（共8小题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
2．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
4．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与x轴交于点A，与二次函数交于点B、点C，点A、B、C三点的横坐标分别是a、b、c，则下面四个等式中不一定成立的是（ ）
A．a2+bc＝c2﹣ab B．＝
C．b2（c﹣a）＝c2（b﹣a） D．＝+
5．如图，直线y＝kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）
A．1.4 B．2.5 C．2.8 D．3
6．已知，平面直角坐标系中，直线y1＝x+3与抛物线y2＝﹣+2x的图象如图，点P是y2上的一个动点，则点P到直线y1的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
7．若抛物线y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）经过四个象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣3 B．﹣1＜m＜2 C．﹣3＜m＜0 D．﹣2＜m＜1
8．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．
那么，其中正确的结论是 ．
10．若函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象不经过第 象限．
11．如图，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中，CD＝2DE，点O、C、F在y轴上，点A在x轴上，O为坐标原点，点M为线段OC的中点，若抛物线y＝ax2+b经过M、B、E三点，则的值等于 ．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有 个．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 4 …
y … 10 5 2 5 …
则当x≥1时，y的最小值是 ．
14．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y＝﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE＝，则正方形CEFG的面积为 ；
（2）连接DF、DG，则△DFG面积的最小值为 ．
16．已知矩形长与宽分别为a、b（a＞b），截一个面积最大的菱形，使菱形的顶点落在矩形的边上，该菱形最大面积为 ．
17．当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，则m、n的值分别是 ．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．
（1）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（2）若直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．
19．如图，函数y＝﹣x+2的图象交y轴于M，交轴于N，点P是直线MN上任意一点，PQ⊥x轴，设Q是垂足，设点Q的坐标为（t，0），△POQ的面积为S（当点P与M、N重合时，其面积记为0）．
（1）试求S与t之间的函数关系式；
（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得s＝a（a＞0）的点P的个数．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t秒（0＜t≤4）．
（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）的函数关系式，当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求b和c；
（2）当0＜x＜4时，求y的取值范围；
（3）点P为x轴下方抛物线上一点，试说明P点运动到哪个位置时S△PAB最大，并求出最大面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+与直线y＝x+b交于A、B两点，其中点A在x轴上，点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）过P作y轴的平行线交直线于点C，连接PA、PB．
（1）求直线的解析式及A、B点的坐标；
（2）当△APB面积最大时，求点P的坐标以及最大面积．
参考答案
1．解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正确；
②当x＝时，y＝0，
即a+b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0），
所以与x轴的另一个交点为（﹣，0），
当x＝﹣时，a﹣b+c＝0，
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正确；
④当x＝时，a+2b+4c＝0，
又对称轴：﹣＝﹣1，
∴b＝2a，a＝b，
b+2b+4c＝0，
∴b＝﹣c．
∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0，
∴3b+2c＜0．
所以④错误．
或者∵当x＝1时，a+b+c＜0，
∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，
∴a＝b，
∴c＜﹣b，
∴2c＜﹣3b，
∴2c+3b＜0，
∴结论④错误
故选：C．
2．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝|﹣|，
∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：B．
3．解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B．∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D．∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
4．解：一次函数y＝mx+n与x轴的轴交于点A，故点（a，0），
将点A（a，0）坐标代入一次函数表达式得：0＝am+n，
解得：n＝﹣am，
故一次函数的表达式为y＝mx﹣am，
∵点B、C在一次函数上，故点B、C的坐标分别为（b，mb﹣ma）、（c，mc﹣ma），
设二次函数的表达式为y＝Ax2，
点B、C在该二次函数上，则，
（1）②﹣①得：A（b2﹣c2）＝m（c﹣b），等式两边同除以Ab2得，，即，故B正确，不符合题意；
（2）①÷②得：③，即C正确，不符合题意；
（3）化简③得：a＝，即＝，故D正确，不符合题意；
（4）化简A得：a2﹣c2＝﹣bc﹣ab，化简得：a+b＝c，而从上述各式看，该式不一定成立，故A符合题意，
故选：A．
5．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，
∴CE+EF＝C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
由题意可得，解得，
∴直线解析式为y＝x+3；
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴F（，），
∴C′F＝＝
即CE+EF的最小值为．
故选：C．
6．解：设过点P平行直线y1的解析式为y＝x+b，
当直线y＝x+b与抛物线只有一个交点时，点P到直线y1的距离最小，
由，消去y得到：x2﹣2x+2b＝0，
当Δ＝0时，4﹣8b＝0，
∴b＝，
∴直线的解析式为y＝x+，
如图设直线y1交x轴于A，交y轴于B，直线y＝x+交x轴于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，则A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣，0）
∴OA＝OB＝3，OC＝，AC＝，
∴∠DAC＝45°，
∴CD＝＝，
∵AB∥PC，CD⊥AB，PE⊥AB，
∴PE＝CD＝，
故选：B．
7．解：令y＝0，得 （x﹣m）（x﹣m﹣3）＝0，
解得x1＝m，x2＝m+3，
∴抛物线与x轴的两个交点为（m，0 ）和（m+3，0），
∵抛物线经过四个象限，
∴（m，0 ）和（m+3，0）分别位于原点两侧，
即 m＜0＜m+3，
∴﹣3＜m＜0，
故选：C．
8．解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，
则AE＝a2，BF＝b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即．
化简得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴，
即，
化简得ab＝1．
则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴距离的最大．
故选：A．
9．解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
∴对称轴x＝＝1，
即2a+b＝0；
故①正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而＞0
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③错误；
④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0即a﹣b+c＝0；
x＝3时y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝，c＝﹣；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵AO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AC＝BC时
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤错误．
故答案为：①④．
10．解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴为x＝＜0，
∴a、b同号，即b＞0．
∴一次函数y＝ax+b的图象不经过第四象限．
11．解：设正方形OABC的边长为m，DE＝n，CD＝EF＝2n，
∵点M为OC的中点，
∴点M为（0，m）、点B为（m，m）和点E为（2n，m+n），
∵抛物线y＝ax2+b经过M，B，E三点，
∴m＝am2+，
解得：a＝，
∴抛物线y＝x2+，
把点E（2n，m+n）代入抛物线得
m+n＝ 4n2+，
解得：m＝（﹣1）n或m＝（﹣﹣1）n不合题意，舍去），
∴＝＝．
12．解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，于是①正确；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，因此有2a+b＝0，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，而2a+b＝0，所以3a+c＜0，故②不正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；
抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点在﹣1与0之间，因此另一个交点在2与3之间，于是当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，因此③正确；
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，
故答案为：4．
13．解：∵由表可知，当x＝﹣1时，y＝10，当x＝0时，y＝5，当x＝1时，y＝2，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+5，
∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2．
∵x≥1，
∴当x＝2时，y最小＝＝＝1．
故答案为：1．
14．解：∵M、N两点关于y轴对称，
∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b＝①，a+3＝b②，∴ab＝，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝11，a+b＝±，
∴y＝﹣x2±x，
∵＝±，＝，
∴顶点坐标（，）或（﹣，）．
故答案为：（，）或（﹣，）．
15．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝2，∠A＝∠D＝90°，
∵BE＝，
∴AE＝＝＝1，
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣1＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+22＝5，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝5．
故答案为5；
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+4）﹣×x×2
＝x2﹣x+2
＝（x﹣1）2+，
∵＞0，
∴x＝1时，△DFG的面积的最小值为．
故答案为．
16．解：∵菱形顶点都落在矩形边上，
∴菱形的高为b，
当底最长时菱形面积最大，
此时菱形两个顶点与矩形顶点重合，如图，
设BF＝DF＝x，则CF＝a﹣x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
FC2+CD2＝DF2，
即（a﹣x）2+b2＝x2，
解得x＝，
∴S菱形BFDE＝BF CD＝．
故答案为：．
17．解：∵函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1＝﹣（x+m）2+m2+2n+1，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣m，
∵当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，
∴当﹣m＜﹣1时，m＞1，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4，
即，解得，不符合m＞1，故此种情况不存在；
当﹣1≤﹣m≤1时，﹣1≤m≤1，x＝﹣m时，y＝0，当x＝﹣1时y＝﹣4或x＝1时y＝﹣4，
即或，
解得或；
当﹣m＞1时，m＜﹣1，当x＝1时，y＝0，x＝﹣1时，y＝﹣4，
即，
解得，不符合m＜﹣1，故此种情况不存在；
由上可得，m、n的值分别是﹣1，﹣1或1，﹣1，
故答案为：﹣1，﹣1或1，﹣1．
18．解：（1）把B（﹣2，6），C（2，2）两点坐标代入得：，
解这个方程组，得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；
∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴顶点D（1，），
∵B（﹣2，6），C（2，2），
∵直线BC为y＝﹣x+4，
∴对称轴与BC的交点H（1，3），
∴S△BDC＝S△BDH+S△DHC＝×（3﹣） 3+×（3﹣） 1＝3．
（2）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b＝0，
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）＝0，
∴b＝，
当直线y＝﹣x+b经过点C时，b＝3，
当直线y＝﹣x+b经过点B时，b＝5，
∵直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，
∴＜b≤3．
19．解：（1）①当t＜0时，OQ＝﹣t，PQ＝﹣t+2，
∴S＝ （﹣t）（﹣t+2）＝t2﹣t；
②当0＜t＜4时，OQ＝t，PQ＝﹣t+2，
∴S＝ t（﹣t+2）＝﹣t2+t；
③当t＞4时，OQ＝t，PQ＝﹣（﹣t+2）＝t﹣2，
∴S＝ t（t﹣2）＝t2﹣t；
④当t＝0或4时，S＝0；
于是，S＝；
（2）S＝
下图中的实线部分就是所画的函数图象．
观察图象可知：
当0＜a＜1时，符合条件的点P有四个；
当a＝1时，符合条件的点P有三个；
当a＞1时，符合条件的点P只有两个．
20．解：（1）把x＝3代入y＝x+1，y＝3+1＝4，∴点B的坐标为B（3，4）；
（2）由题意：线段ABy＝x+1（0≤x≤3），
∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣1＝a（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），
∵点A（0，1），点B（3，4），
∵当抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时，
∴①或②
解①得≤a＜5，②无解，
综上所述，当≤a＜5时，抛物线与线段AB有一个公共点．
21．解：（1）矩形ABCD中，BD＝＝＝5，
过点P作PM⊥BC，垂足为M，
∴△BPM∽△BDC
∴，
∴PM＝（5﹣t），
∴S＝t×（5﹣t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S有最大值；
（3）①当BP＝BQ时，5﹣t＝t，
∴t＝，
②当BQ＝PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，
此时，BE＝BP＝，
∴△BQE∽△BDC
∴即，
∴t＝．
③当BP＝PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，
此时，BF＝＝t，
∴△BPF∽△BDC
∴即，
∴t＝．
∴t＝或或均使△PBQ为等腰三角形．
22．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，
得，解得：；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即抛物线对称轴为x＝1，
所以当x＝1时，ymin＝﹣4；当x＝4时，ymax＝5；
而由已知知：0＜x＜4，所以此时y的范围为﹣4≤y＜5；
（3）当点P在抛物线顶点（1，﹣4）时S△PAB最大，
最大面积为S△PAB＝AB |yP|＝×4×4＝8．
23．解：（1）∵y＝﹣x2﹣x+，
∴当y＝0时，﹣x2﹣x+＝0，
解得x1＝﹣，x2＝1，
∴A点的坐标为（1，0）．
将A（1，0）代入y＝x+b，
得0＝×1+b，
解得b＝﹣，
∴直线的解析式为y＝x﹣．
由，解得，，
∴B点的坐标为（﹣5，﹣3）；
（2）设P（x，﹣x2﹣x+），则C（x，x﹣），
∴PC＝（﹣x2﹣x+）﹣（x﹣）＝﹣x2﹣4x+5，
∴S△APB＝PC |xA﹣xB|
＝（﹣x2﹣4x+5）×（1+5）
＝﹣3x2﹣12x+15
＝﹣3（x+2）2+27，
当x＝﹣2时，△APB面积最大，最大值为27，此时点P的坐标为（﹣2，）．
一．选择题（共8小题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
2．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
4．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与x轴交于点A，与二次函数交于点B、点C，点A、B、C三点的横坐标分别是a、b、c，则下面四个等式中不一定成立的是（ ）
A．a2+bc＝c2﹣ab B．＝
C．b2（c﹣a）＝c2（b﹣a） D．＝+
5．如图，直线y＝kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）
A．1.4 B．2.5 C．2.8 D．3
6．已知，平面直角坐标系中，直线y1＝x+3与抛物线y2＝﹣+2x的图象如图，点P是y2上的一个动点，则点P到直线y1的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
7．若抛物线y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）经过四个象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣3 B．﹣1＜m＜2 C．﹣3＜m＜0 D．﹣2＜m＜1
8．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．
那么，其中正确的结论是 ．
10．若函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象不经过第 象限．
11．如图，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中，CD＝2DE，点O、C、F在y轴上，点A在x轴上，O为坐标原点，点M为线段OC的中点，若抛物线y＝ax2+b经过M、B、E三点，则的值等于 ．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有 个．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 4 …
y … 10 5 2 5 …
则当x≥1时，y的最小值是 ．
14．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y＝﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE＝，则正方形CEFG的面积为 ；
（2）连接DF、DG，则△DFG面积的最小值为 ．
16．已知矩形长与宽分别为a、b（a＞b），截一个面积最大的菱形，使菱形的顶点落在矩形的边上，该菱形最大面积为 ．
17．当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，则m、n的值分别是 ．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．
（1）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（2）若直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．
19．如图，函数y＝﹣x+2的图象交y轴于M，交轴于N，点P是直线MN上任意一点，PQ⊥x轴，设Q是垂足，设点Q的坐标为（t，0），△POQ的面积为S（当点P与M、N重合时，其面积记为0）．
（1）试求S与t之间的函数关系式；
（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得s＝a（a＞0）的点P的个数．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t秒（0＜t≤4）．
（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）的函数关系式，当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求b和c；
（2）当0＜x＜4时，求y的取值范围；
（3）点P为x轴下方抛物线上一点，试说明P点运动到哪个位置时S△PAB最大，并求出最大面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+与直线y＝x+b交于A、B两点，其中点A在x轴上，点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）过P作y轴的平行线交直线于点C，连接PA、PB．
（1）求直线的解析式及A、B点的坐标；
（2）当△APB面积最大时，求点P的坐标以及最大面积．
参考答案
1．解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正确；
②当x＝时，y＝0，
即a+b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0），
所以与x轴的另一个交点为（﹣，0），
当x＝﹣时，a﹣b+c＝0，
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正确；
④当x＝时，a+2b+4c＝0，
又对称轴：﹣＝﹣1，
∴b＝2a，a＝b，
b+2b+4c＝0，
∴b＝﹣c．
∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0，
∴3b+2c＜0．
所以④错误．
或者∵当x＝1时，a+b+c＜0，
∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，
∴a＝b，
∴c＜﹣b，
∴2c＜﹣3b，
∴2c+3b＜0，
∴结论④错误
故选：C．
2．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝|﹣|，
∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：B．
3．解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B．∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D．∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
4．解：一次函数y＝mx+n与x轴的轴交于点A，故点（a，0），
将点A（a，0）坐标代入一次函数表达式得：0＝am+n，
解得：n＝﹣am，
故一次函数的表达式为y＝mx﹣am，
∵点B、C在一次函数上，故点B、C的坐标分别为（b，mb﹣ma）、（c，mc﹣ma），
设二次函数的表达式为y＝Ax2，
点B、C在该二次函数上，则，
（1）②﹣①得：A（b2﹣c2）＝m（c﹣b），等式两边同除以Ab2得，，即，故B正确，不符合题意；
（2）①÷②得：③，即C正确，不符合题意；
（3）化简③得：a＝，即＝，故D正确，不符合题意；
（4）化简A得：a2﹣c2＝﹣bc﹣ab，化简得：a+b＝c，而从上述各式看，该式不一定成立，故A符合题意，
故选：A．
5．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，
∴CE+EF＝C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
由题意可得，解得，
∴直线解析式为y＝x+3；
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴F（，），
∴C′F＝＝
即CE+EF的最小值为．
故选：C．
6．解：设过点P平行直线y1的解析式为y＝x+b，
当直线y＝x+b与抛物线只有一个交点时，点P到直线y1的距离最小，
由，消去y得到：x2﹣2x+2b＝0，
当Δ＝0时，4﹣8b＝0，
∴b＝，
∴直线的解析式为y＝x+，
如图设直线y1交x轴于A，交y轴于B，直线y＝x+交x轴于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，则A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣，0）
∴OA＝OB＝3，OC＝，AC＝，
∴∠DAC＝45°，
∴CD＝＝，
∵AB∥PC，CD⊥AB，PE⊥AB，
∴PE＝CD＝，
故选：B．
7．解：令y＝0，得 （x﹣m）（x﹣m﹣3）＝0，
解得x1＝m，x2＝m+3，
∴抛物线与x轴的两个交点为（m，0 ）和（m+3，0），
∵抛物线经过四个象限，
∴（m，0 ）和（m+3，0）分别位于原点两侧，
即 m＜0＜m+3，
∴﹣3＜m＜0，
故选：C．
8．解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，
则AE＝a2，BF＝b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即．
化简得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴，
即，
化简得ab＝1．
则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴距离的最大．
故选：A．
9．解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
∴对称轴x＝＝1，
即2a+b＝0；
故①正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而＞0
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③错误；
④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0即a﹣b+c＝0；
x＝3时y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝，c＝﹣；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵AO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AC＝BC时
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤错误．
故答案为：①④．
10．解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴为x＝＜0，
∴a、b同号，即b＞0．
∴一次函数y＝ax+b的图象不经过第四象限．
11．解：设正方形OABC的边长为m，DE＝n，CD＝EF＝2n，
∵点M为OC的中点，
∴点M为（0，m）、点B为（m，m）和点E为（2n，m+n），
∵抛物线y＝ax2+b经过M，B，E三点，
∴m＝am2+，
解得：a＝，
∴抛物线y＝x2+，
把点E（2n，m+n）代入抛物线得
m+n＝ 4n2+，
解得：m＝（﹣1）n或m＝（﹣﹣1）n不合题意，舍去），
∴＝＝．
12．解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，于是①正确；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，因此有2a+b＝0，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，而2a+b＝0，所以3a+c＜0，故②不正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；
抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点在﹣1与0之间，因此另一个交点在2与3之间，于是当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，因此③正确；
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，
故答案为：4．
13．解：∵由表可知，当x＝﹣1时，y＝10，当x＝0时，y＝5，当x＝1时，y＝2，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+5，
∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2．
∵x≥1，
∴当x＝2时，y最小＝＝＝1．
故答案为：1．
14．解：∵M、N两点关于y轴对称，
∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b＝①，a+3＝b②，∴ab＝，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝11，a+b＝±，
∴y＝﹣x2±x，
∵＝±，＝，
∴顶点坐标（，）或（﹣，）．
故答案为：（，）或（﹣，）．
15．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝2，∠A＝∠D＝90°，
∵BE＝，
∴AE＝＝＝1，
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣1＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+22＝5，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝5．
故答案为5；
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+4）﹣×x×2
＝x2﹣x+2
＝（x﹣1）2+，
∵＞0，
∴x＝1时，△DFG的面积的最小值为．
故答案为．
16．解：∵菱形顶点都落在矩形边上，
∴菱形的高为b，
当底最长时菱形面积最大，
此时菱形两个顶点与矩形顶点重合，如图，
设BF＝DF＝x，则CF＝a﹣x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
FC2+CD2＝DF2，
即（a﹣x）2+b2＝x2，
解得x＝，
∴S菱形BFDE＝BF CD＝．
故答案为：．
17．解：∵函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1＝﹣（x+m）2+m2+2n+1，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣m，
∵当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，
∴当﹣m＜﹣1时，m＞1，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4，
即，解得，不符合m＞1，故此种情况不存在；
当﹣1≤﹣m≤1时，﹣1≤m≤1，x＝﹣m时，y＝0，当x＝﹣1时y＝﹣4或x＝1时y＝﹣4，
即或，
解得或；
当﹣m＞1时，m＜﹣1，当x＝1时，y＝0，x＝﹣1时，y＝﹣4，
即，
解得，不符合m＜﹣1，故此种情况不存在；
由上可得，m、n的值分别是﹣1，﹣1或1，﹣1，
故答案为：﹣1，﹣1或1，﹣1．
18．解：（1）把B（﹣2，6），C（2，2）两点坐标代入得：，
解这个方程组，得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；
∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴顶点D（1，），
∵B（﹣2，6），C（2，2），
∵直线BC为y＝﹣x+4，
∴对称轴与BC的交点H（1，3），
∴S△BDC＝S△BDH+S△DHC＝×（3﹣） 3+×（3﹣） 1＝3．
（2）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b＝0，
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）＝0，
∴b＝，
当直线y＝﹣x+b经过点C时，b＝3，
当直线y＝﹣x+b经过点B时，b＝5，
∵直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，
∴＜b≤3．
19．解：（1）①当t＜0时，OQ＝﹣t，PQ＝﹣t+2，
∴S＝ （﹣t）（﹣t+2）＝t2﹣t；
②当0＜t＜4时，OQ＝t，PQ＝﹣t+2，
∴S＝ t（﹣t+2）＝﹣t2+t；
③当t＞4时，OQ＝t，PQ＝﹣（﹣t+2）＝t﹣2，
∴S＝ t（t﹣2）＝t2﹣t；
④当t＝0或4时，S＝0；
于是，S＝；
（2）S＝
下图中的实线部分就是所画的函数图象．
观察图象可知：
当0＜a＜1时，符合条件的点P有四个；
当a＝1时，符合条件的点P有三个；
当a＞1时，符合条件的点P只有两个．
20．解：（1）把x＝3代入y＝x+1，y＝3+1＝4，∴点B的坐标为B（3，4）；
（2）由题意：线段ABy＝x+1（0≤x≤3），
∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣1＝a（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），
∵点A（0，1），点B（3，4），
∵当抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时，
∴①或②
解①得≤a＜5，②无解，
综上所述，当≤a＜5时，抛物线与线段AB有一个公共点．
21．解：（1）矩形ABCD中，BD＝＝＝5，
过点P作PM⊥BC，垂足为M，
∴△BPM∽△BDC
∴，
∴PM＝（5﹣t），
∴S＝t×（5﹣t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S有最大值；
（3）①当BP＝BQ时，5﹣t＝t，
∴t＝，
②当BQ＝PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，
此时，BE＝BP＝，
∴△BQE∽△BDC
∴即，
∴t＝．
③当BP＝PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，
此时，BF＝＝t，
∴△BPF∽△BDC
∴即，
∴t＝．
∴t＝或或均使△PBQ为等腰三角形．
22．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，
得，解得：；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即抛物线对称轴为x＝1，
所以当x＝1时，ymin＝﹣4；当x＝4时，ymax＝5；
而由已知知：0＜x＜4，所以此时y的范围为﹣4≤y＜5；
（3）当点P在抛物线顶点（1，﹣4）时S△PAB最大，
最大面积为S△PAB＝AB |yP|＝×4×4＝8．
23．解：（1）∵y＝﹣x2﹣x+，
∴当y＝0时，﹣x2﹣x+＝0，
解得x1＝﹣，x2＝1，
∴A点的坐标为（1，0）．
将A（1，0）代入y＝x+b，
得0＝×1+b，
解得b＝﹣，
∴直线的解析式为y＝x﹣．
由，解得，，
∴B点的坐标为（﹣5，﹣3）；
（2）设P（x，﹣x2﹣x+），则C（x，x﹣），
∴PC＝（﹣x2﹣x+）﹣（x﹣）＝﹣x2﹣4x+5，
∴S△APB＝PC |xA﹣xB|
＝（﹣x2﹣4x+5）×（1+5）
＝﹣3x2﹣12x+15
＝﹣3（x+2）2+27，
当x＝﹣2时，△APB面积最大，最大值为27，此时点P的坐标为（﹣2，）．