2021-2022学年苏科版九年级数学下册第5章二次函数--5.3--5.4小节提优练习（word版含解析）

第5章二次函数--5.3--5.4小节巩固练习
一、选择题
抛物线 的图象和 轴有交点，则 的取值范围是
A． B． 且
C． D． 且
如图，在边长为 的正方形纸片 中，从边 上剪去一个矩形 ，且有 ，，动点 从点 开始沿 边向点 以 的速度运动至点 停止．以 为边在 的下方作正方形 ，设点 运动时间为 ，正方形 和纸片重叠部分的面积为 则 与 之间的函数关系用图象表示大致是
A． B．
C． D．
如图，正方形 中，，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别从 ， 两点同时出发，以 的速度沿 ， 运动，到点 ， 时停止运动．设运动时间为 （）， 的面积为 （），则 （）与 （）的函数关系可用图象表示为
A． B． C． D．
设函数 （，， 是实数，），当 时，；当 时，，
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
已知二次函数 （ 为常数）的图象与 轴有交点，且当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
在平面直角坐标系中，已知 ，设函数 的图象与 轴有 个交点，函数 的图象与 轴有 个交点，则
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
二次函数 中，当 时，，则 的值为
A． B． 或 C． D． 或
已知关于 的方程 ，若 为正实数，则下列判断正确的是
A．有三个不等实数根 B．有两个不等实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
方程 的根可视为函数 的图象与函数 的图象交点的横坐标，则方程 的实根 所在的范围是
A． B． C． D．
如图，正方形 中，，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别从 ， 两点同时出发，以 的速度沿 ， 运动，到点 ， 时停止运动，设运动时间为 ， 的面积 ，则 与 的函数关系可用图象表示为
A． B．
C． D．
二、填空题
抛物线 与抛物线 关于原点对称，则 ．
如图，已知函数 与 的图象交于点 ，点 的纵坐标为 ，则关于 的方程 的解为 ．
设 ，当二次函数 的图象与 轴的两个交点 ， 间的距离为 时，求此二次函数的解析式 ．
如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ，，则关于 的方程 的解为 ．
抛物线 的部分图象如图所示，若 ，则 的取值范围是 ．
已知二次函数 中，函数 与自变量 的部分对应值如表：
则当 时， 的取值范围是 ．
如图，以扇形 的顶点 为原点，半径 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，点 的坐标为 ，若抛物线 与扇形 的边界总有两个公共点，则实数 的取值范围是 ．
已知 ，，且 ，设 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题
已知：二次函数 的图象经过点 ．
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 求二次函数的图象与 轴的交点坐标；
(3) 将（1）中求得的函数解析式用配方法化成 的形式．
如图，抛物线 经过 ， 两点，交 轴于点 ，点 为抛物线的顶点，连接 ，点 为 的中点．请解答下列问题：
(1) 求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2) 在 轴上找一点 ，使 的值最小，则 的最小值为 ．
已知二次函数的图象经过点 ，顶点坐标为 ，
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 求图象与 轴交点 ， 两点的坐标；
(3) 图象与 轴交点为点 ，求三角形 的面积．
已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数 与二次函数 的图象交于点 ．
(1) 求 ， 的值；
(2) 求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
已知：二次函数 ．
(1) 求证：该抛物线与 轴总有交点；
(2) 若 为整数，当一元二次方程 的根都是整数时，求 的值．
抛物线 与 轴交于 、 两点，且点 在点 的左侧，与 轴交于点 ，．
(1) 求这条抛物线的解析式；
(2) 若点 与点 在（1）中的抛物线上，且 ，．
① 求 的值；
② 将抛物线在 下方的部分沿 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与 轴恰好只有两个公共点时， 的取值范围是 ．
在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴正半轴交于 点．
(1) 求证：该二次函数的图象与 轴必有两个交点；
(2) 设该二次函数的图象与 轴的两个交点中右侧的交点为点 ，若 ，将直线 向下平移 个单位得到直线 ，求直线 的解析式；
(3) 在（2）的条件下，设 为二次函数图象上的一个动点，当 时，点 关于 轴的对称点都在直线 的下方，求 的取值范围．
如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 与延轴交于 ， 两点，点 是 的中点， 且 ．直线 与 轴平行，点 是射线 上的一个动点，连接 ，，．
(1) 若点F的坐标为 ，
①求此抛物线所对应的函数表达式；
②点 是此抛物线上一个动点，点 在此抛物线的对称轴上，以点 ，，， 为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点 的坐标；
(2) 若 ，，且 的长为 ，其中 ．如图2，当 时，求 的值和 的正切值．
如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 ，已知 ，，，其中 为常数且 ，点 是 边上的动点（与点 ， 不重合）．现将 沿 翻折，得到 ；再在 边上选取适当的点 ，将 沿 翻折，得到 ，并使直线 ， 重合．
(1) 设 ，，求 关于 的函数关系式，并求 的最大值（用含 的代数式表示）；
(2) 当 时，若翻折后点 落在 边上（如图2），求过 ，， 三点的抛物线的解析式；
(3) 在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点 ，使 是以 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
如果抛物线 的顶点在抛物线 上，同时抛物线 的顶点在抛物线 上，那么我们称抛物线 与 关联．
(1) 已知抛物线 ① ，判断下列抛物线 ② 、抛物线 ③ 与已知抛物线 ① 是否关联；
(2) 抛物线 ：，动点 的坐标为 ，将抛物线绕点 旋转 得到抛物线 ，若抛物线 与 关联，求抛物线 的解析式；
(3) 为抛物线 ： 的顶点，点 为与抛物线 关联的抛物线的顶点，是否存在以 为斜边的等腰直角 ，使其直角顶点 在直线 上？若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】 抛物线 的图象和 轴有交点，
即 时方程 有实数根，
即 ，即 ，
解得 ，且 ．
【知识点】二次函数与方程、不等式
2. 【答案】C
【解析】由题意可知， 到 的距离为 ，
① 时，重叠部分为边长为 的正方形，
此时，，
② 时，．
【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的三种形式及解析式的确定
3. 【答案】B
【解析】易证 ，
，
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
4. 【答案】C
【解析】当 时，；
当 时，；
代入函数式得：
，
整理得：，
若 ，则 ，故A错误；
若 ，则 ，故B错误；
若 ，则 ，故C正确；
若 ，则 ，故D错误．
【知识点】y=a(x-h)^2+k的图象
5. 【答案】D
【解析】 二次函数 （ 为常数）的图象与 轴有交点，
，解得 ．
抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线开口向上，且当 时， 随 的增大而增大，
，
实数 的取值范围是 ．
【知识点】二次函数与方程
6. 【答案】C
【解析】 ，，
函数 的图象与 轴有 个交点，即 ，
函数 ，
当 时，，
函数 的图象与 轴有 个交点，即 ，此时 ；
当 时，不妨令 ，
，
，函数 为一次函数，与 轴有一个交点，即 ，此时 ．
综上可知， 或 ．
故选C．
【知识点】二次函数与方程
7. 【答案】D
【解析】 抛物线 ，
顶点坐标为 ，
当 时，函数有最小值，
又 时，，
；
当 时，函数有最大值，
又 时，，
，
故选D．
【知识点】二次函数的最值
8. 【答案】C
【解析】方程可化为 ，
所以，方程的解的个数等于函数 与 的交点的个数，函数 的图象经过第一、二象限，
是正实数，
是负实数，
的图象位于第二、四象限，两个函数图象一定有一个交点，
方程有一个实数根．
【知识点】二次函数与方程、不等式
9. 【答案】C
【解析】方程 ，
，
如图
它的根可视为 和 的图象交点的横坐标，
当 时，，，此时抛物线的图象在反比例函数的下方；
当 时，，，此时抛物线的图象在反比例函数的下方；
当 时，，，此时抛物线的图象在反比例函数的上方；
当 时，，，此时抛物线的图象在反比例函数的上方．
故方程 的实根 所在的范围为：．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、反比例函数与方程、不等式
10. 【答案】B
【解析】根据题意 ，，
四边形 为正方形，
，．
在 和 中
（）．
．
．
．
与 的函数图象为抛物线一部分，顶点为 ，自变量为 ．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
二、填空题
11. 【答案】
【解析】 变形得 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
点 关于原点的对称点为 ，
抛物线 关于原点对称的的解析式是 ，即 ．
变形得 ，
，
．
【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的解析式
12. 【答案】
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、一元二次方程的解法、反比例函数的概念
13. 【答案】
【解析】设二次函数 的图象与 轴的两个交点 ， 的横坐标分别为 ，，
，，
．
，
变形为 ，
，整理得 ，
解得 ，，
，
，
．
【知识点】二次函数与方程、不等式
14. 【答案】，
【知识点】二次函数与方程、不等式
15. 【答案】
【解析】根据抛物线的对称性可知该抛物线与 轴的另一交点是 ，观察图象可得当 时，．
【知识点】二次函数与方程、不等式
16. 【答案】
【知识点】二次函数与方程、不等式
17. 【答案】
【解析】由图可知，，则直线 的解析式为 ．
将解析式联立成方程组 消掉 得 ．
，
即 时，抛物线与 有一个交点，
此交点的横坐标为 ．
点 的坐标为 ，
，
点 的坐标为 ，
交点在线段 上；
当抛物线经过点 时，，解得 ．
要使抛物线 与扇形 的边界总有两个公共点，实数 的取值范围是 ．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
18. 【答案】
【解析】 ，
，
又 ，，
，
，
当 时，，
当 时，，
的取值范围是 ．
【知识点】二次函数与方程、不等式
三、解答题
19. 【答案】
(1) 二次函数 的图象经过点 ，
．
．
二次函数的解析式为 ．
(2) 令 ，则有 ．解得 ，．
二次函数的图象与 轴的交点坐标为 和 ．
(3)
．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
20. 【答案】
(1) 因为抛物线 经过 ，，
所以 解得
所以所求函数的解析式为 ，
所以顶点 的坐标为 ．
(2)
【解析】
(2) 因为 ，，
所以点 的坐标为 ，
所以点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，连接 ，与 轴交于点 ，
则此时 的值最小，最小值为 .
【知识点】将军饮马问题、二次函数的解析式
21. 【答案】
(1) 设所求的二次函数的解析式为 ，
把 ， 代入上式，
得 ，
解得 ．
所求的二次函数解析式为 ，即 ．
(2) 当 时，，
解得 ，，
图象与 轴交点 ， 两点的坐标分别为 ，，
(3) 由题意得： 点坐标为 ，，
．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
22. 【答案】
(1) 将点 的坐标代入反比例函数解析式可得 ．
．
将点 的坐标代入二次函数解析式可得 ．
(2) 由（1）知，二次函数的解析式为 ．
配方得 ．
对称轴直线 ，顶点 ．
【知识点】反比例函数的解析式、二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数的图象与性质
23. 【答案】
(1) ．
，
．
该抛物线与 轴总有交点 .
(2) ．
，．
当 为整数 或 时， 为整数，即该方程的两个实数根都是整数，
的值为 或 ．
【知识点】二次函数与方程、不等式、一元二次方程的特殊根
24. 【答案】
(1) 抛物线 与 轴交于点 ，
．
抛物线与 轴交于 、 两点，，
或 ．
点 在点 的左侧，，
抛物线经过点 ．
．
．
抛物线的解析式为 ．
(2) ① 由抛物线 可知对称轴为 ．
点 与点 在这条抛物线上，且 ，，
，．
，．
．
② 或 ．
【解析】
(2) 根据图象可以得出答案．
【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的图象变换、二次函数的三种形式及解析式的确定
25. 【答案】
(1) 令 ，则 ．
二次函数图象与 轴正半轴交于 点，
，且 ．
又 ，
．
．
该二次函数的图象与 轴必有两个交点．
(2) 令 ，解得 ，．
由（1）得 ，故 的坐标为 ．
又因为 ，所以 ，即 ，则可求得直线 的解析式为 ．
再向下平移 个单位可得到直线 ．
(3) 由（2）得二次函数的解析式为 ．
为二次函数图象上的一个动点，
．
点 关于 轴的对称点 的坐标为 ．
点 在二次函数 上．
当 时，点 关于 轴的对称点都在直线 的下方，
当 时，；
当 时，，
结合图象可知 ，解得 ，
的取值范围为 ．
【知识点】二次函数的图象与性质、一次函数的图象变换、二次函数的图象变换、二次函数的三种形式及解析式的确定、一次函数的解析式
26. 【答案】
(1) 直线 与'轴平行，点 的坐标为 ，
点B的坐标为 ，，．
在 中，，
．
点 的坐标为
抛物线的表达式为
②点Q的坐标为 ，，．
(2) ，，
由
解得：，
．
点 的坐标为 ，点B的坐标为
，即 ．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
即 ．
过点 作 轴交 于点 ， 交直线 于点 ，延长 至点 ，使 ，连接
轴，
四边形ABGH是平行四边形．
，
四边形 是矩形．
同理四边形 是矩形．
．
，
，
在 和 中，
在 和 中
，．
是 的中点
设 ，则 ，
在 中，
解得：
．
【知识点】矩形的性质、性质与判定综合(D)、矩形的判定、平行四边形及其性质、二次函数的三种形式及解析式的确定
27. 【答案】
(1) 由题，，，，
，，
，，．
翻折，
．
，
．
．
，．
．
，
时， 取得最大值 ．
(2) 由题 ，，
易得 和 为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
设过 、 、 的抛物线为 ．
过点 和 ，
解得 ，，
．
(3) 当点 为 的直角顶点时，由 ，此时 与 重合，
．
当点 为 的直角顶点时，过点 作 ，交抛物线与点 ．
，，
．
当 时，（舍）或 ．
．
综上： 点的坐标是 或 ．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数与方程、不等式、性质与判定综合（D）
28. 【答案】
(1) ②关联，③不关联．
(2) 抛物线 ： 的顶点坐标为 ．
动点 的坐标为 ，将抛物线绕点 旋转 得到抛物线 ，
抛物线 的顶点坐标为 ．
也在抛物线 上，
或 ．
抛物线 的顶点坐标为 或 ．
抛物线 的解析式 ，．
(3) ，，．
【解析】
(1) 提示：求出抛物线的顶点坐标，然后互相代入．
(3) 如图：
当 点在直线 左侧（ 时），设 ．
，以 为斜边的等腰直角 ，
．
点在抛物线 上，
．
化简得 ，即 ．
．
当 点在直线 右侧（且 时），设 ．
此时 ．
点在抛物线 上，
．
化简得 ，即 ．
经检验 不符合此时 点的位置．
．
当 点在直线 的位置时，设 ．
此时 ．
点在抛物线 上，
．
化简得 ，即 ．
经检验 不符合此时 点的位置．
．
【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的三种形式及解析式的确定、等腰三角形