2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.5解直角三角形》解答题专题训练(word版含答案)

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.5解直角三角形》解答题专题训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cosA的值．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长斜边BC到点D，使CD＝BC，联结AD，如果tanB＝，求tan∠CAD的值．
3．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，OF⊥AD于点E，交CD于点F，且∠ADC＝∠AOF．
（1）求证：CD与⊙O相切于点D；
（2）若sin∠C＝，BD＝12，求EF的长．
4．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．
（1）求BE的长；
（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．
5．如图，A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝45°，∠CBD＝75°，AB＝60m．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求线段CB的长度．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，a﹣b＝2﹣2，解这个直角三角形．
7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．
类比这种方法，计算tan22.5°（画图并写出过程）．
8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD＝BD，BC＝CD．
（1）若BD＝13，AB＝10，求cos∠CBD的值；
（2）设△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，求证：＝4cos2∠CBD．
9．将一副直角三角板如图所示放置，点C，D，F在同一直线上，AB∥CF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，若AB＝20，求CD的长．
10．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
11．如图，tanB＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．
（1）求cosB，sinB的值；
（2）连接BD，求BD的长．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（m，n）为第一象限内一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B，点C，作△OAB关于直线OA的对称图形△OAB′．
（1）当n＝4时，
①若点B′落在y轴上，则m＝　 　；
②若点B′落在第一象限内，且tan∠CAB′＝，求m的值；
（2）设△OAB′与四边形OBAC重合部分的面积为S，若S为四边形OBAC面积的，求的值．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求∠EBD的正弦值；
（2）求AD的长．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
15．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
16．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠ACB的值．
17．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中确定点C，点C在小正方形的顶点上，请你连接CA，CB，BC＝4；
（2）在（1）确定点C后，在网格内确定点D，点D在小正方形的顶点上，请你连接CD，BD，CD∥AB，△CDB的面积为6，直接写出∠CBD的正切值．
18．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．
（1）求tan∠DCE的值；
（2）求的值．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC＝．
（1）求CD的长；
（2）求tanB的值．
20．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
参考答案
1．解：过A作AE⊥BC于E，过B作BD⊥AC于D，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BE＝3，
∴AE＝，
∴三角形ABC的面积＝AC BD＝BC AE，
即，
∴AD＝，
∴cosA＝＝．
2．解：过点C作CH⊥AC，交AD于点H，
∵∠ACH＝∠BAC＝90°，
∴AB∥CH，
∴△DCH∽△DBA，
∴，
∴，
设CH＝k，
∴AB＝3k，
∴AC＝4k，
∴tan∠CAD＝，
∴tan∠CAD的值为．
3．（1）证明：如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOF+∠OAD＝90°，
∵∠ADC＝∠AOF，
∴∠ADC+∠ODA＝90°，
即∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切于点D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AEO，
∴OF∥BD，OA＝OB，
∴OE＝＝6，
∵sinC＝＝，
设OD＝x，OC＝3x，则OB＝x，
∴CB＝OC+OB＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF＝9，
∴EF＝OF﹣OE＝9﹣6＝3．
4．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°．
在Rt△BED中，
∵cos∠ABC＝，
∴BE＝cos45° 3＝ 3＝3．
（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．
∴∠EDB＝45°．
∴BE＝DE＝3．
∵sin∠DAB＝＝，
∴AD＝5．
∴AE＝＝4．
∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．
∴S△ABD＝AB DE＝．
∵AD是BC边上的中线，
∴S△ADC＝S△ABD＝．
5．解：（1）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠A＝45°，∠CBD＝75°，
∴∠ACB＝75°﹣45°＝30°．
（2）如图，过点B作BH⊥AC于H．
∵∠BHA＝90°，AB＝60m，∠A＝45°，
∴BH＝AB sin45°＝60（m），
∵∠BCH＝30°，
∴BC＝2BH＝120（m）．
6．解：∵，
∴，
∵，
∴，
由，解得，
∵，
∴c＝2b＝4．
7．解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．
∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，
∴∠D＝22.5°，
设AC＝1，则，
∴CD＝CB+BD＝，
∴tan22.5°＝tanD＝＝＝．
8．解：（1）过点D作DE⊥AB于E，
∵∠AED＝∠ABC＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE，
∵BD＝AD，DE⊥AB，
∴BE＝AE＝5，
在Rt△BED中，DE＝＝＝12，
∴cos∠CBD＝cos∠BDE＝＝．
（2）过点C作CF⊥BD于点F，则∠BFC＝∠BED＝90°，
由（1）得∠CBD＝∠BDE，
∴△DEB∽△BFC，
∴＝＝（）2＝4×（）2＝4×（）2，
由（1）得cos∠BDE＝，
∴＝4cos2∠CED．
9．解：（1）如图，作BH⊥CF于点H，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠BCH＝∠ABC＝30°，
∵AB＝20，
∴，
在Rt△BCH中，∵∠BCH＝30°，
∴，CH＝BC×cos30°＝15，
在Rt△DEF中，∵∠E＝45°，
∴∠EDF＝∠E＝45°，
在Rt△BDH中，，
∴．
10．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
（2）如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝．
解法二：∵BF为AD边上的中线，
∴F是AD中点，
∵FE⊥BD，AC⊥BD，
∴FE∥AC，
∴FE是△ACD的中位线，
∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．
11．解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，
∵DC⊥BC于点C，
∴∠BCE＝90°．
∵tanB＝，tanB＝，
∴．
设CE＝4k，则BC＝3k．
∴BE＝．
∴cosB＝．
sinB＝．
（2）如下图：
∵DA⊥BA于点A，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠E+∠CBE＝90°．
∴∠ADE＝∠CBE．
∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．
∵cos∠ADE＝，
∴．
∵AD＝3，
∴DE＝5．
∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．
∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，
∴．
∴BC＝9．
∴BD＝．
12．解：（1）①∵AB⊥OB，AC⊥OC，CO⊥BO，
∴四边形OBAC为矩形．
∴OC＝AB，AC＝OB．
由折叠可知，△OAB≌△OAB′．
∴∠BOA＝∠AOB′，AB＝AB′．
∴OC＝AB′．
∵点A（m，n）为第一象限内一点，
∴AC＝OB＝m，AB＝OC＝AB′＝n．
∵点B′落在y轴上，
∴∠BOA＝∠AOB′＝45°．
∴矩形OBAC为正方形．
∴OB＝AB．
∴m＝n＝4．
故答案为：4．
②设OB′与AC交于点D，如图，
由①知：OB＝OB′，AB＝AB′，∠AOB＝∠AOB′．
∵AC∥OB，
∴∠AOB＝∠CAO．
∴∠CAO＝∠AOB′．
∴DA＝DO．
∵tan∠CAB′＝，
∴设DB′＝5k，则AB′＝12k．
由勾股定理可得DO＝DA＝＝13k．
∴OB＝OB′＝DO+DB′＝5k+13k＝18k．
∵AB＝AB′＝n＝4，
∴12k＝4．
∴k＝．
∴m＝OB＝18k＝6．
（2）∵四边形OBAC为矩形，
∴．
∵S为四边形OBAC面积的，
∴S＝．
∵高相同的三角形的面积比等于底的比，
∴．
∴AD＝2CD，即OD＝2CD．
设CD＝a，则OD＝AD＝2a．
由勾股定理得OC＝＝a．
∴n＝AB＝OC＝a．
m＝AC＝CD+AD＝3a．
∴．
当m＜n时，B′在第二象限，如图，
设AB′与OC交于点D，
∵四边形OBAC为矩形，
∴．
∵S为四边形OBAC面积的，
∴S＝．
∵高相同的三角形的面积比等于底的比，
∴．
∴OD＝2CD．
设CD＝a，则OC＝AB＝3a．
∵B′D＝CD＝a，
由勾股定理得OB′＝＝a．
∴m＝OB＝AC＝OB′＝a．
n＝AB＝3a．
∴．
综上，的值为或．
13．解：（1）∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝∠EDB，
又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC＝90°，
∴∠EBD＝∠ABC，
∴sin∠EBD＝sin∠ABC＝；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝sin∠ABC＝，
∴在Rt△AFC中，cos∠CAF＝＝＝，
∴AF＝1，
又∵△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，
∴AD＝2AF＝2．
14．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝，
∴＝，
∴AB＝10，
∴BC＝＝8，
又∵D为AB中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，
∴∠DCB＝∠B，
∴cos∠DCB＝，cos∠B＝，
∴，
∴CE＝；
（2）作EF⊥AB交AB于F，
由（1）知CE＝，
则BE＝8﹣＝，DE＝＝，
设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，
在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝，
∴﹣（5﹣x）2＝﹣x2，
解得x＝，
∴EF2＝（）2﹣（）2＝，
EF＝，
∴sin∠BDE＝＝．
15．解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝，
∴BD＝＝，
Rt△ADF中，DF＝AD sin∠BAC＝，
Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：
∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，
∴△BCD∽△AHD，
∴，
∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，
∴，解得AH＝，HD＝，
∵∠AEB＝∠BAC＝30°，
∴HE＝＝，
∴BE＝BD+DH+HE＝，
∵EG∥AC，
∴∠BDC＝∠BEG，
而∠CBD＝∠GBE，
∴△CBD∽△GBE，
∴，即，
∴EG＝．
方法二：过E作EG⊥BC于G，
∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABD∽△ABE，
∴＝，
即，
∴BE＝，
∵DC⊥BC，EG⊥BG，
∴DC∥BG，
∴，即＝，
∴EG＝，
∴点E到直线BC的距离为．
16．解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB＝，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴tan∠ACB＝＝．
17．解：（1）如图，△ABC即为所求作．
（2）如图，点D即为所求作．
∵S△CBD＝，
∴CD＝3，
作DH⊥BC于点H，
S△CBD＝×BC×DH＝6，
DH＝，
由勾股定理得，BH＝＝
∴tan∠CBD＝．
18．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，
∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝＝12，
∵AE：ED＝7：5，
∴ED＝5，
∴tan∠DCE＝＝1；
（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：
∵BC＝8，CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵DG∥CF，
∴，＝，
∴AF＝FG，
设BG＝3x，则FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，
∴＝．
19．解：（1）在直角△ACD中，cos∠ADC＝＝，
因而可以设CD＝3x，AD＝5x，
根据勾股定理得到AC＝4x，则BC＝AD＝5x，
∵BD＝4，∴5x﹣3x＝4，
解得x＝2，
因而BC＝10，AC＝8，
CD＝6；
（2）∵在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝10，
∴tanB＝＝＝．
20．解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sinB＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，
∴AC＝13．
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．