2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》达标测评(word解析版)

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》达标测评（附答案）
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．如图1，是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成，如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是（　　）
A．30cm B．60cm C．40cm D．60cm
2．如图，A，B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达B地，现在AB（与桥DC平行）上建了新桥EF，可沿AB从A地直达B地．已知BC＝500m．桥CD＝50m，∠A＝45°，∠B＝30°．则AB的长是（　　）
A． B． C． D．500m
3．如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝50米，∠PCA＝44°，则小河宽PA为（　　）米．
A．50sin44° B．50cos44° C．50tan44° D．50tan46°
4．如图，沿AC的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从AC上取一点B，取∠ABD＝148°，已知BD＝600米，∠D＝58°，DE⊥AE，点A、C、E在同一直线上，那么开挖点E离点D的距离是（　　）
A．600sin58°米 B．600cos58°米
C．600tan58°米 D．米
5．某燕尾槽示意图如图所示，它是一个轴对称图形，AE＝50mm，则燕尾槽的里口宽BC的长为（　　）
A．（188+50tana）mm B．（188+100tana）mm
C． D．
6．为了解决楼房之间的采光问题，某市有关部门规定：两幢楼之间的最小距离要使中午12时不能遮光．如图，旧楼的一楼窗台高1米，现计划在旧楼正南方向a米处再建一幢新楼．已知该市冬天中午12时太阳从正南方向照射的光线与水平的夹角最小为θ，问新楼房最高可建（　　）
A．atanθ米 B．（atanθ+1）米
C．米 D．米
二．填空题（共5小题，满分25分）
7．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点B处，底端落在水平地面的点A处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，且sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了 　 　米．
8．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了 　 　米．
9．如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝23°，两树间的坡面距离AB＝10m，则这两棵树的水平距离约为 　 　m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424）
10．小颖家住在甲楼，她所居住的楼房前面有一座乙楼．冬天，阳光入射角是30°，两楼距离20米，小颖家的阳台距地面7米，乙楼高18米，那么影子的顶端距她家阳台还有 　 　米．（精确到0.1米）
11．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长是40m，则水库大坝的高度h是 　 　m．（结果保留根号）
三．解答题（共9小题，满分65分）
12．避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
13．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
14．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．
（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
15．如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）
16．如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．
问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
17．学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．
18．某一天，小明和小亮想利用所学过的测量知识来测量一棵古树的高度AB．他们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示，于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，通过测倾器测的角度为45°，再在BD的延长线上确定一点F，使DF＝5米，并在F处通过测倾器测的角度为30°，测倾器的高度CD＝EF＝1米．已知点F、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（结果保留根号）
19．某型号飞机的机翼形状为如图所示的四边形ABDC，已知AB∥CD，∠C＝45°，∠ABD＝60°，CD长为3.4m．点B到CD的距离BE为5m，请根据以上数据计算AB的长度．
20．如图，地面上小山的两侧有A、B两地，为了测量A、B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟50m的速度直线飞行，8分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（取1.7，sin20°取0.3，cos20°取0.9，tan20°取0.4，sin70°取0.9，cos70°取0.3，tan70°取2.7．）
参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：如图，连接CD，过O作OF⊥CD于点F，延长FO，交AB于点E，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，
∴∠COF＝30°，
∴CF＝OC cos∠COF＝＝30（cm），
∴EF＝2OF＝60（cm），
即点A到地面（CD所在的平面）的距离是60cm．
故选：D．
2．解：过点C、D作DM⊥AB，CN⊥AB，垂足为M、N，
在Rt△BCN中，∠CBN＝30°，BC＝500m，
∴CN＝BC＝250（m）＝DM，BN＝BC＝250（m），
在Rt△ADM中，∠DAM＝45°，DM＝250m，
∴AM＝DM＝250m，
∴AB＝AM+MN+BN＝250+50+250＝（300+250）m，
故选：C．
3．解：∵PA⊥PB，
∴∠APC＝90°，
∵PC＝50米，∠PCA＝44°，
∴tan44°＝，
∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝50 tan44°（米）．
故选：C．
4．解：∵∠DBE＝180°﹣∠ABD＝180°﹣148°＝32°，
∴∠E＝180°﹣32°﹣58°＝90°，
∴△BDE是直角三角形，
∵BD＝600米，cos∠D＝，
∴开挖点E离点D的距离DE＝600cos58°米．
故选：B．
5．解：如图，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，
∵燕尾槽是一个轴对称图形，
∴∠B＝∠C＝α，AP＝DQ＝56mm，
∴EF＝AD＝300﹣112＝188mm，
∴Rt△ABE中，BE＝＝mm，
同理可得CF＝＝mm，
∴BC＝BE+EF+CF＝（188+）mm．
故选：D．
6．解：如图，过点D作DE⊥AB与点E，
在Rt△ADE中，∠ADE＝θ，DE＝BC＝a米，
则AE＝tanθ DE＝atanθ，
而EB＝DC＝1米，
∴AB＝AE+EB＝（atanθ+1）（米），
答：新楼房最高可建（atanθ+1）米，
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分25分）
7．解：如图，由题意可知，∠ACB＝90°，AB＝ED＝10，
由＝sinα＝＝cosβ＝，
设BC＝3m，则AB＝5m，
则5m＝10，
解得m＝2，
∴BC＝3×2＝6，
设EC＝3n，则ED＝5n，
∴5n＝10，
解得n＝2，
∴EC＝3×2＝6，
∴DC＝＝＝8，
∴BD＝DC﹣BC＝8﹣6＝2（米），
∴梯子顶端上升了2米，
故答案为：2．
8．解：设此人升高了x米，
∵坡比为1：2.4，
∴他行走的水平宽度为2.4x米，
由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，
解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，
故答案为：50．
9．解：过点A作水平面的平行线AC，过点B作BC⊥AC于C，
由题意得：AB＝10m，∠BAC＝23°，
则AC＝AB cos∠BAC≈10×0.921≈9.2（米），
故答案为：9.2．
10．解：如图，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝20m，
∴AB＝BC×tan30°＝m≈11.55m，
CD＝18﹣11.55＝6.45m，
∴影子的顶端距她家的阳台还有7﹣6.45＝0.55≈0.6m．
故答案为：0.6m．
11．解：如图，作CH⊥AB于点H．
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBH＝45°，
∴CH＝BC sin45°＝40×＝20（m），
故答案为：20．
三．解答题（共9小题，满分65分）
12．解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
∴1.60＝，
∴BD＝32（米），
在Rt△CAD中，∵tan∠CAD＝，
∴1.33＝，
∴CD＝26.6（米），
∴CD＝BC﹣BD＝5.4（米）．
答：避雷针DC的长度为5.4米．
13．解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC cosα＝12×＝6（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE tan∠BCE＝6×＝18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈24.9（m）．
14．解：（1）过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，
则点A到直线DE的距离为：AH+CF．
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD sin60°＝70×＝35≈59.5（mm）．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm）．
∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝59.5+64＝123.5≈124（mm）．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，B的对应点为B′，C的对应点为C′，
则B′C′＝BC＝35 mm，DC′＝DC＝70 mm．
在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝＝0.5，tan26.6°≈0.5，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．
15．解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：
∵∠BCD＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
设CE＝x，则BE＝x，
∵CD＝80m，
∴DE＝（80﹣x）m，
Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，
∴tan56°19'＝，即＝1.5，
解得x＝48（m），
∴BE＝CE＝48m，
Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，
∴tan19°17'＝，即＝0.35，
解得AC＝28m，
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，
∴四边形ACEF是矩形，
∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，
∴BF＝BE﹣EF＝20m，
Rt△ABF中，AB＝＝＝52（m），
答：A，B两点之间的距离是52m．
16．解：设CD＝xm，
在Rt△ACD中，AD＝，
在Rt△BCD中，BD＝，
∵AD+BD＝AB，
∴，
解得，x≈33.4．
答：宝塔的高度约为33.4m．
17．解：如图，
∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°，
∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，
∴∠BAD＝∠EBA＝53°，
在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10cm，∠EBA＝53°，
∴sin∠EBA＝≈0.80，cos∠EBA＝≈0.60，
∴AE＝8cm，BE＝6cm，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，
∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，
在Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6cm，
∴sin∠BCF＝≈0.80，cos∠BCF＝≈0.60，
∴BF＝4.8cm，FC＝3.6cm，
∴EF＝6+4.8＝10.8cm，
∴S四边形EFDA＝AE EF＝8×10.8＝86.4（cm2），
S△ABE＝＝×8×6＝24（cm2），
S△BCF＝ BF CF＝×4.8×3.6＝8.64（cm2），
∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝86.4﹣24﹣8.64＝53.76（cm2）．
18．解：连接EC并延长交AB于点N，
由题意可得：EN⊥AB，四边形EFDC是矩形，
故FD＝EC＝5米，EF＝DC＝BN＝1米，
则设AN＝x米，故CN＝x米，
可得：tan30°＝，
解得：x＝，
则AB＝+1＝（米），
答：这棵古树的高度AB为米．
19．解：由题意得BE⊥CE，过A作AH⊥CD于H，
则AH＝BE＝5m，EH＝AB，
∵∠AHC＝90°，∠C＝45°，
∴CH＝AH＝5（m），
∴DH＝CH﹣CD＝5﹣3.4＝1.6（m），
在Rt△BDE中，∵∠ABE＝90°，∠ABD＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∵BE＝5，
∴DE＝BE＝×5＝，
∴AB＝HE＝DE﹣DH＝﹣1.6＝．
20．解：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，
由题意得：AC＝50×8＝400（m），
在Rt△ACM中，
∵∠A＝30°，
∴CM＝AC＝200（m），AM＝AC cos∠A＝400×＝200（m），
在Rt△BCM中，
∵∠CBM＝70°，
∴∠BCM＝20°，
∵tan20°＝，
∴BM＝200tan20°，
∴AB＝AM﹣BM＝200﹣200tan20°＝200（﹣tan20°）＝200（1.7﹣0.4）＝260（m），
因此A，B两地的距离AB长为260m．