2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册专题3.2 双曲线标准方程及性质 期末滚动复习卷
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册专题3.2 双曲线标准方程及性质 期末滚动复习卷 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 903.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-28 18:48:19 | ||
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文档简介
专题3.2 双曲线标准方程及性质 期末滚动复习卷
一、单选题
1．直线l过双曲线的右焦点，斜率为2，若l与双曲线的两个交点分别在双曲线的左 右两支上，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线，过的左焦点且垂直于轴的直线交于，两点，若以为直径的圆经过的右焦点，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左 右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若，，过点作一条与双曲线的渐近线垂直的直线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A.已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点，且与两条渐近线相交于两点．若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为（ ）．
A． B． C． D．4
二、多选题
9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．△的周长为30
D．点在椭圆上
10．已知椭圆的左 右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点.若，则下列各项正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线，（ ）
A．
B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为
D．若，则的渐近线方程为
12．已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．的内心在直线上 D．内切圆半径为
三、填空题
13．与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程是___________.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________.
15．若关于x,y的方程表示的是曲线C,给出下列四个命题:
①若C为椭圆,则1②若C为双曲线,则t>4或t<1;
③曲线C不可能是圆;
④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则.
其中正确的命题是_____.(把所有正确命题的序号都填在横线上)
16．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为，，实轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线过点，
①求直线与双曲线有两个公共点时，直线的斜率的取值范围；
②设直线与双曲线的交点为、，求当为线段的中点时直线的方程．
18．已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程．
19．已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点
（1）若，求曲线的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值
20．已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程.
21．已知双曲线.
（1）求该双曲线的焦点坐标、离心率；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.
22．已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，
求双曲线的渐近线方程；
当时，的面积为，求此双曲线的方程．
参考答案
1．D
【解析】双曲线中一条渐近线的斜率为，
若过焦点且斜率为2的直线，与双曲线的左右两支有交点，则，
即，即.
故选：D
2．A
【解析】解：设双曲线的左焦点为，右焦点为，
以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
3．B
【解析】解： 若是锐角三角形，则只需．
在中，，，则，又，
∴，∴，∴．又，∴．
故选：B．
4．D
【解析】解：设，，根据双曲线定义
，，
在△中，由余弦定理可得：．
在△中，由余弦定理可得：，
①②可得，解得．
故选：．
5．D
【解析】解：联立，解得，故．
点到渐近线的距离，故，
由知，故，
故，
故选：D．
6．A
【解析】由题意知可得，
由，得，则离率.
∵恒成立，
∴.
又，
∴，∴.
又，
∴.
故选:A
7．D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
8．C
【解析】不妨取渐近线方程为，是中点，故，故，
，故，，，
根据勾股定理：，故，故焦距为.
故选：C.
9．BCD
【解析】双曲线化为标准形式为，则，，
，故离心率，即A错误；
双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；
由双曲线的定义知，，
，则，
△的周长为，即C正确；
对于椭圆，有，，，
，
由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，
故选：BCD.
10．BD
【解析】因为且，所以为等腰直角三角形.
设椭圆的半焦距为，则，所以.
在焦点三角形中，，设，，双曲线的实半轴长为
则，故，故，
所以，即，故，，，，
故选：BD.
11．BD
【解析】A项：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，A错误；
B项：因为的顶点坐标为，
所以，解得，B正确；
C项：当时，，
当时，，C错误；
D项：当时，双曲线的标准方程为，
则渐近线方程为，D正确，
故选：BD.
12．BC
【解析】对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，
则，所以，
所以的内心在直线上，故C正确；
△为等边三角形,若在同一支，
由对称性知轴，，，.
,；
,
设的内切圆半径为r，则，解得；
若分别在左右两支，则，
则，解得，离心率，
，
设的内切圆半径为r，则，解得；
所以结论一定正确的是BC.
故选：BC.
13．
【解析】据题意可设所求方程为，把)代入易得，故所求双曲线方程为.
答案：
14．26
【解析】由题得|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16.
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21.
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
故答案为26
15．②
【解析】
对于①，若C为椭圆，则有，解得且．所以①不正确．
对于②，若C为双曲线，则有，解得t>4或t<1，所以②正确．
对于③，当时，该曲线方程为，表示圆，所以③不正确．
对于④，若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则，解得，所以④不正确．
综上只有②正确．
答案：②
16．
【解析】如图所示，
由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=b，
∴|OP|=．
设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．
又tan θ=，
∴，解得a2=3b2，
∴e=．
答案：
17．（1）；（2）①；②．
【解析】（1）由题意可知双曲线得焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意可得，解得，双曲线的标准方程为．
（2）①当直线斜率不存在时，直线方程为，显然成立，
当斜率存在时，设直线方程为，
则，化简可得，
因为有两个公共点，
所以，
解得或，
由于当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，所以，
因此直线的斜率的取值范围；
②直线斜率不存在时，则由双曲线对称性，线段的中点在轴上，所以不满足题意；
设，，由①得，
因为恰好为线段的中点，则，
化简可得，由①知符合题意，
所以直线方程为，即．
18．（1）；（2）证明见解析，.
【解析】（1）因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，
将点代入椭圆方程得，
联立两式解得，，，所以椭圆的标准方程为：．
（2）依题意，直线AB：，则点坐标为，直线与直线不重合，于是得直线的斜率不为0，
设直线的方程为，由得，
设，，，则，，
由，，共线得：，即：，
同理，由，，共线得：，
两式相减并整理得，，从而得，解得，
综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动．
19．（1）和；（2）；（3）．
【解析】解：（1）因为，所以，解得
所以曲线的方程为和；
（2）曲线的渐近线为，如图，设直线
则
又有数形结合知
设点，
则
所以，，
所以，即点在线段上；
（3）由（1）可知，和点
设直线为
，化为，
，设，所以
所以
，令
所以，当且仅当，即时等号成立
所以.
20．（1）；（2）.
【解析】（1）设为双曲线上任意一点，则①
双曲线的顶点为，，由题设知
，故，
代入①式可得.
又为双曲线上任意一点，故，所以，双曲线的渐近线方程为.
（2）由椭圆的离心率，可得，故椭圆方程为，即.
设，，则.②
设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，
联立②式整理得，即，故，
从而.所以.
而直线的方程为，同理可求得.
于是，由可得
，
整理得.
结合②式可得，所以椭圆的方程为，即.
21．（1）（2）
【解析】（1）由，得，∴，，，
∴焦点为，，离心率．
（2）由双曲线的定义，得，
∴
，
∴．
22．（1）（2）
【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.
（2）因为，由余弦定理得，即．又由双曲线的定义得，平方得，相减得．
根据三角形的面积公式得，得．再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.
一、单选题
1．直线l过双曲线的右焦点，斜率为2，若l与双曲线的两个交点分别在双曲线的左 右两支上，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线，过的左焦点且垂直于轴的直线交于，两点，若以为直径的圆经过的右焦点，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左 右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若，，过点作一条与双曲线的渐近线垂直的直线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A.已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点，且与两条渐近线相交于两点．若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为（ ）．
A． B． C． D．4
二、多选题
9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．△的周长为30
D．点在椭圆上
10．已知椭圆的左 右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点.若，则下列各项正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线，（ ）
A．
B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为
D．若，则的渐近线方程为
12．已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．的内心在直线上 D．内切圆半径为
三、填空题
13．与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程是___________.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________.
15．若关于x,y的方程表示的是曲线C,给出下列四个命题:
①若C为椭圆,则1
③曲线C不可能是圆;
④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则.
其中正确的命题是_____.(把所有正确命题的序号都填在横线上)
16．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为，，实轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线过点，
①求直线与双曲线有两个公共点时，直线的斜率的取值范围；
②设直线与双曲线的交点为、，求当为线段的中点时直线的方程．
18．已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程．
19．已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点
（1）若，求曲线的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值
20．已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程.
21．已知双曲线.
（1）求该双曲线的焦点坐标、离心率；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.
22．已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，
求双曲线的渐近线方程；
当时，的面积为，求此双曲线的方程．
参考答案
1．D
【解析】双曲线中一条渐近线的斜率为，
若过焦点且斜率为2的直线，与双曲线的左右两支有交点，则，
即，即.
故选：D
2．A
【解析】解：设双曲线的左焦点为，右焦点为，
以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
3．B
【解析】解： 若是锐角三角形，则只需．
在中，，，则，又，
∴，∴，∴．又，∴．
故选：B．
4．D
【解析】解：设，，根据双曲线定义
，，
在△中，由余弦定理可得：．
在△中，由余弦定理可得：，
①②可得，解得．
故选：．
5．D
【解析】解：联立，解得，故．
点到渐近线的距离，故，
由知，故，
故，
故选：D．
6．A
【解析】由题意知可得，
由，得，则离率.
∵恒成立，
∴.
又，
∴，∴.
又，
∴.
故选:A
7．D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
8．C
【解析】不妨取渐近线方程为，是中点，故，故，
，故，，，
根据勾股定理：，故，故焦距为.
故选：C.
9．BCD
【解析】双曲线化为标准形式为，则，，
，故离心率，即A错误；
双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；
由双曲线的定义知，，
，则，
△的周长为，即C正确；
对于椭圆，有，，，
，
由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，
故选：BCD.
10．BD
【解析】因为且，所以为等腰直角三角形.
设椭圆的半焦距为，则，所以.
在焦点三角形中，，设，，双曲线的实半轴长为
则，故，故，
所以，即，故，，，，
故选：BD.
11．BD
【解析】A项：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，A错误；
B项：因为的顶点坐标为，
所以，解得，B正确；
C项：当时，，
当时，，C错误；
D项：当时，双曲线的标准方程为，
则渐近线方程为，D正确，
故选：BD.
12．BC
【解析】对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，
则，所以，
所以的内心在直线上，故C正确；
△为等边三角形,若在同一支，
由对称性知轴，，，.
,；
,
设的内切圆半径为r，则，解得；
若分别在左右两支，则，
则，解得，离心率，
，
设的内切圆半径为r，则，解得；
所以结论一定正确的是BC.
故选：BC.
13．
【解析】据题意可设所求方程为，把)代入易得，故所求双曲线方程为.
答案：
14．26
【解析】由题得|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16.
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21.
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
故答案为26
15．②
【解析】
对于①，若C为椭圆，则有，解得且．所以①不正确．
对于②，若C为双曲线，则有，解得t>4或t<1，所以②正确．
对于③，当时，该曲线方程为，表示圆，所以③不正确．
对于④，若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则，解得，所以④不正确．
综上只有②正确．
答案：②
16．
【解析】如图所示，
由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=b，
∴|OP|=．
设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．
又tan θ=，
∴，解得a2=3b2，
∴e=．
答案：
17．（1）；（2）①；②．
【解析】（1）由题意可知双曲线得焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意可得，解得，双曲线的标准方程为．
（2）①当直线斜率不存在时，直线方程为，显然成立，
当斜率存在时，设直线方程为，
则，化简可得，
因为有两个公共点，
所以，
解得或，
由于当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，所以，
因此直线的斜率的取值范围；
②直线斜率不存在时，则由双曲线对称性，线段的中点在轴上，所以不满足题意；
设，，由①得，
因为恰好为线段的中点，则，
化简可得，由①知符合题意，
所以直线方程为，即．
18．（1）；（2）证明见解析，.
【解析】（1）因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，
将点代入椭圆方程得，
联立两式解得，，，所以椭圆的标准方程为：．
（2）依题意，直线AB：，则点坐标为，直线与直线不重合，于是得直线的斜率不为0，
设直线的方程为，由得，
设，，，则，，
由，，共线得：，即：，
同理，由，，共线得：，
两式相减并整理得，，从而得，解得，
综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动．
19．（1）和；（2）；（3）．
【解析】解：（1）因为，所以，解得
所以曲线的方程为和；
（2）曲线的渐近线为，如图，设直线
则
又有数形结合知
设点，
则
所以，，
所以，即点在线段上；
（3）由（1）可知，和点
设直线为
，化为，
，设，所以
所以
，令
所以，当且仅当，即时等号成立
所以.
20．（1）；（2）.
【解析】（1）设为双曲线上任意一点，则①
双曲线的顶点为，，由题设知
，故，
代入①式可得.
又为双曲线上任意一点，故，所以，双曲线的渐近线方程为.
（2）由椭圆的离心率，可得，故椭圆方程为，即.
设，，则.②
设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，
联立②式整理得，即，故，
从而.所以.
而直线的方程为，同理可求得.
于是，由可得
，
整理得.
结合②式可得，所以椭圆的方程为，即.
21．（1）（2）
【解析】（1）由，得，∴，，，
∴焦点为，，离心率．
（2）由双曲线的定义，得，
∴
，
∴．
22．（1）（2）
【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.
（2）因为，由余弦定理得，即．又由双曲线的定义得，平方得，相减得．
根据三角形的面积公式得，得．再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.