2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册专题3.3 抛物线标准方程及性质 期末滚动复习卷

专题3.3 抛物线标准方程及性质 期末滚动复习卷
一、单选题
1．以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是
A． B． C．0 D．
5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|＝(　　)
A． B． C．3 D．2
6．已知拋物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于、两点，且，为坐标原点，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是
A． B．
C． D．
7．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．设斜率为2的直线过抛物线 的焦点F，且和y轴交于点A．若为坐标原点)的面积为，则抛物线的方程为
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝±4x D．y2＝±8x
二、多选题
9．已知抛物线：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．为中点 C． D．
10．如图，一个杯座圆放置在水平桌面上且内壁光滑的酒杯，杯身的轴截面图形是顶点为O、焦点为的抛物线，，为杯口圆的圆心，足够长，杯脚．现有一根长的细木棍放在此酒杯的杯身内，的中点在桌面上的投影为，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则的最小值为
B．若，则的最小值为
C．若，则的最小值为
D．若，则的最小值为
11．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点的坐标为 D．的长为3
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过r上的点反射后，再经r上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则 （ ）
A． B．
C．PB平分 D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
三、填空题
13．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则实数的值为______．
14．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，准线为，若与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为___________.
15．若为抛物线上一点，抛物线C的焦点为F，则________．
16．已知点M是抛物线上一点，F为C的焦点，的中点坐标是，则P的值为______.
四、解答题
17．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点.
（1）求的最小值，并求出取最小值时点的坐标；
（2）求点到点的距离与到直线的距离之和的最小值.
18．如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为，直线与抛物线交于两点，且(为坐标原点)，记，的面积分别为.
（1）求抛物线的方程;
（2）求证直线过定点;
（3）求的最小值.
19．已知抛物线：()的焦点为，点在抛物线上，且的面积为(为坐标原点).
（1）求抛物线的方程；
（2）直线：与抛物线交于，两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程.
20．已知椭圆的右焦点为，短轴长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设S为椭圆的右顶点，过点F的直线与交于M、N两点（均异于S），直线、分别交直线于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点F的直线与交于A、B两点，点C在上，并使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由.
21．过圆：上的点作圆的切线，若直线过抛物线：的焦点．
（1）求直线与抛物线的方程；
（2）是否存在直线与抛物线交于、与圆交于、，使，若存在，请求出实数的值；若不存在，说明理由．
22．已知，是椭圆的左 右焦点，动点在椭圆上，且的最小值和最大值分别为1和3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动点在抛物线上，且在直线的右侧.过点作椭圆的两条切线分别交直线于，两点.当时，求点的坐标.
参考答案
1．B
【解析】解：不妨设抛物线的方程为，令点在第一象限，点在第二象限．
根据抛物线的对称性，得点的纵坐标为，代入抛物线的方程得，即点．
又点．因为点，都在以坐标原点为圆心的圆上，所以，解得或（舍去），
则抛物线的焦点到准线的距离为4．
故选：B．
2．B
【解析】由抛物线定义，等于到准线的距离，
因为，
所以，又，
从而，
又因为在抛物线上，
代入抛物线方程，
解得．
故抛物线方程为．
故选：B
3．A
【解析】解：如图所示，
设此抛物线的焦点为，准线．
过点作，垂足为．
则，到轴的距离，
则点到点的距离与到轴的距离之和为
设，因此当、、三点共线时，取得最小值．
．
即的最小值为，
所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.
故选：A.
4．B
【解析】解：抛物线的准线方程为，
设点M的纵坐标是y，则
∵抛物线y上一点M到焦点的距离为1
∴根据抛物线的定义可知，点M到准线的距离为1
∴
∴
∴点M的纵坐标是
故选B．
5．C
【解析】如图所示：
过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为，
所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，
所以|QF|＝|QQ′|＝3.
故选C.
6．B
【解析】对于一般的抛物线方程，设过焦点的直线方程为，
与抛物线方程联立可得：，故，
设，则：
，
其中为直线AB的斜率，
由抛物线的焦点弦公式可知：，
则，，
故，
的取值范围是.
故选B.
7．B
【解析】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.
8．D
【解析】试题分析：的焦点是，直线的方程为，令得，所以由的面积为得，，故选.
9．ABC
【解析】因为直线的斜率为，且，所以的纵坐标为，横坐标为，所以，因为，解得，故A正确；
因为，所以直线：，令，所以，则，又因为，则的中点为即为，故B正确；
，解得或,即，则，，因此，故C正确；D错误，
故选：ABC.
10．BCD
【解析】
如图：以为原点，以所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，因为，所以焦点为的抛物线的方程为，
因为的中点在桌面上的投影为，所以轴，
由分析可知：当时，此时木棍与轴垂直时，最小，
当时，过焦点时，最小，
当时，对于，令可得，
如图：此时中点为与轴的交点，投影点即为点，此时
此时最小为，即当时，最小为，
可得当，则的最小值为，故选项C正确；
当时，最小为，故选项A不正确；
当时，最小为，故选项D正确；
当时，过焦点时，最小，
如图作垂直于准线与点，作垂直于准线与点，
的中点在准线上的投影为，
由抛物线的定义可得，所以，
而，所以，此时的最小值为，
故选B正确，
故选：BCD.
11．BC
【解析】由抛物线方程为，
焦点坐标，准线方程为，A错B对；
直线的斜率为，
直线的方程为，
当时，，
，
，为垂足，
点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对；
根据抛物线的定义可知，D错.
故选:BC.
12．BCD
【解析】设抛物线的焦点为，则.
因为，且轴，故，故直线.
由可得，故，故A错.
又，故，故，故，故B正确.
直线，由可得，故，
所以C，B，Q三点共线，故D正确.
因为，故为等腰三角形，故，
而，故即，故PB平分，故C正确.
故选：BCD.
13．
【解析】由题可设抛物线的标准方程为，
由点到焦点的距离为4，得，
∴，∴．
将点代入，得．
故答案为：.
14．
【解析】依题意，抛物线准线：，由抛物线定义知，解得，则准线：，
双曲线的两条渐近线为，于是得准线与二渐近线交点为，
原点为O，则面积，解得，
双曲线的半焦距为c，离心率为e，则有，解得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
15．5
【解析】由为抛物线上一点，得，可得，
则．
故答案为：5
16．4
【解析】解析依题意，有，设，
则有，所以.
故答案为：4
17．（1），；（2）2.
【解析】（1）将代入得，而，即点A在抛物线内部，
过点作垂直于抛物线的准线于点，由抛物线的定义，知，
当，，三点共线时，取得最小值，即的最小值为，
此时点的纵坐标为2，代入，得，即点的坐标为，
所以的最小值为，点的坐标为；
（2）显然点在抛物线外部，设抛物线上点到准线的距离为，
由抛物线的定义，得，当，，三点共线(在线段上)时取等号，
又，，
所以所求最小值为2.
18．（1）；（2）证明见解析；（3）20.
【解析】（1）由题意可得
抛物线方程为
（2）设直线方程为，，如图所示：
代入抛物线方程中，消去得，
，.
解得或（舍去）
直线方程为，直线过定点.
（3）
当时等号成立.
的最小值为.
19．（1）；（2）.
【解析】解：（1）由题意可得解得.
故抛物线的方程为.
（2）设，.
联立整理得（*）.
由直线和抛物线交于 两点可知，且，
.
依题意，所以，
则，
即，整理得，
解得.
此时（*）式为，符合题意.
故直线的方程为.
20．（1）；（2）证明见解析；-9；（3）不存在，理由见解析.
【解析】解：（1）依题意，得，且，
∵，∴，
∴椭圆的方程为.
（2）由椭圆的方程可知.
若直线的斜率不存在，则直线，∴，，
直线、的方程分别为、，易得，，
∴、两点的纵坐标之积为.
若直线的斜率存在，则可设直线，由得.
设，，则，，
∵直线的方程为，∴点的纵坐标.
同理，点的纵坐标.
所以
.
综上，U、V两点的纵坐标之积为定值-9.
（3）不存在.
理由如下：显然，抛物线的方程为.
设，，
则直线方程可为，
由可得
故，
∴，∴.
∵重心在轴上，∴，即，∴，
进而，.
进一步可得直线，∴，
又在焦点的右侧，∴，即.
因此
.
当（注意到），即时，取等号，即有（※）.
若存在锐角，使得成立，则，即，
这与（※）矛盾.
因此，不存在锐角，使得成立.
21．（1）；；（2）存在；或．
【解析】（1）圆心为，所以所以：，即,与轴的交点为,抛物线的交点为，∴抛物线：．
（2）显然直线的斜率存在，所以设，则圆心到直线的距离．∴．
，由韦达定理得，，
．
由题意，解得或．
22．（1）；（2）.
【解析】（1）设椭圆半焦距为c，依题意有，解得，，，
所以椭圆方程为；
（2）设，，，过点的椭圆切线斜率为k，此切线方程为，
由，得，
由得到，切线MA，MB的斜率分别为k1，k2，
所以，，显然y1=(-2-t2)k1，y2=(-2-t2)k2，
则，而，
所以，即，解得或(舍去)，
所以点的坐标为.