2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式 期末滚动复习卷

第二章 一元二次函数、方程和不等式 期末滚动复习卷
一、单选题
1．若，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，若不等式的解为，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
3．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．9 D．6
4．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（ ）
A．25 B．50 C．20 D．
二、多选题
9．（多选）不等式（）的解集不可能是（ ）
A．或 B．R
C． D．或
10．关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是或
12．设，且，那么（ ）
A．有最小值
B．有最大值
C．ab有最大值.
D．ab有最小值.
三、填空题
13．若，，则当______时，取得最小值．
14．一般情况下，不成立，但也有数可以使它成立，如．使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为______．
15．已知为正实数，则的最小值为______．
16．已知，，且，则的最小值为______．
四、解答题
17．已知不等式．
（1）若不等式的解集是或，求的值；
（2）若不等式的解集是，求的取值范围．
18．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且）.
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间
距离
（1）请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？
19．设，且恒成立．求n的最大值．
20．已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．
（1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；
（2）若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．
21．某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的关系式为.已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
（1）试写出年利润W（万元）与年广告费x（万元）的关系式；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？
22．已知，，均为正数.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：.
参考答案
1．C
【解析】∵，∴，∴，故A选项成立；
，∴，故B选项成立；
，∴，故C选项不成立；
，∴，故D选项成立.
故选：C
2．A
【解析】由题知，-1,4为方程的两个根，
则，解得，
故，
故选：A
3．A
【解析】解：因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即，时取等号，
故选：A
4．A
【解析】因为、为互不相等的正实数，则，
，因此，.
故选：A.
5．D
【解析】由，
则即，
所以恒成立，
在上的最小值为，
所以，
整理可得，
解得，
实数的最大值为，
故选：D
6．A
【解析】因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，
所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时 ， .
故选：A.
7．A
【解析】因为，所以，
则
，
当且仅当时取等号，
故选：A．
8．B
【解析】由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50，
当且仅当m=n=±时等号成立.
所以mn的最大值是.
故选：B
9．BC
【解析】因为方程（）的判别式，
所以函数的图象与x轴有两个交点，
又，
所以原不等式的解集不可能是B，C.
故选：BC
10．ABC
【解析】函数f(x)= x2-6x+a的图象对称轴为x=3，即在x=3时函数f(x)取得最小值，
依题意，不等式f(x)≤0的解集中有且仅有3个整数，则这三个整数必为2，3，4，
即2，4在不等式的解集中，1，5不在解集中，于是得，解得，
而a∈Z，则a=6或a=7或a=8，
所以a的取值可以是6或7或8.
故选：ABC
11．ABD
【解析】解：已知关于的不等式的解集为或
则不等式对应的二次函数的图像的开口向上，所以a＞0，A正确
又 2和3是方程的两根，
∴ 2＋3＝ ，（ 2）×3＝，
∴b＝ a，c＝ 6a，a＞0；
不等式等价于a（x＋6）＜0，
∴x＜ 6，即选项B正确；
∵不等式的解集为或，
∴当x＝1时，有a＋b＋c＜0，即选项C错误；
不等式等价于，即a（3x＋1）（2x 1）＞0，
∴或，即选项D正确．
故选：ABD．
12．AD
【解析】，，
，当时取等号，
，解得，
，
有最小值；
，当时取等号，
，
，
，解得，即，
有最小值．
故选：AD
13．
【解析】∵，，∴，即，
①当时，，当且仅当时取等号，故当，取得最小值．
②当时，，当且仅当时取等号，故当时，取得最小值．
综上所述，当a的值为时，取得最小值，
故答案为：．
14．
【解析】由题意，得，
解得．
故答案为：
15．3．
【解析】解：因为为正实数，所以，
所以根据基本不等式得：
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
16．18
【解析】解：已知，，且．
，即：．
则，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为18．
故答案为：18．
17．
（1）
（2）
解：由题意可知关于的二次方程的两根分别为、，
所以，，解得．
（2）
解：若不等式的解集为，即恒成立，则满足
解得．
18．
（1）
（2）20m/s
（1）
根据题意，得.
当时，所以所求函数关系式为，
，当且仅当，即时等号成立.
所以当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间是.
（2）
根据题意，得对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立.
易知当时，满足题意；当时，有对任意的恒成立，
由，得，
所以，即，
解得，所以.
综上，.
所以汽车的行驶速度应限制在20m/s以下.
19．n的最大值为4．
【解析】因为，所以，，．
由已知，得，则
．
当且仅当，即时取等号，
又因为恒成立，故n的最大值为4．
另解：令，，则原不等式化为，（），
所以，
因为，当且仅当，取等号
故n的最大值为4．
20．
（1）a＝﹣1，b＝2
（2）{x|x＜或x＞1}
（1）
由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根，
所以，解得a＝﹣1，b＝2；
（2）
当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，
即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，
因为a＞0，所以＝1﹣＜1，
所以不等式的解集为{x|x＜或x＞1}．
21．（1）；（2）当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.
【解析】（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，每万件销售价为：，
∴年销售收入为，
∴年利润
.
（2）令，则
.
∵,∴，即，
当且仅当，即时，有最大值42，此时.
即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.
22．（1）9；（2）证明见解析.
【解析】（1）由得，
所，
当且仅当时，等号成立，即，.故的最小值为9，此时，；
（2）因为，所以又因为，，均为正数，所以，，.
所以，故，
当且仅当时，等号成立.