2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册专题3.1 椭圆标准方程及性质 期末滚动复习卷
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册专题3.1 椭圆标准方程及性质 期末滚动复习卷 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 993.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-28 18:50:36 | ||
图片预览
文档简介
专题3.1 椭圆标准方程及性质 期末滚动复习
一、单选题
1．阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．设，是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
3．已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B．6 C．4 D．
4．阿基米德是古希腊著名的数学家 物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若用周长为24的矩形截某圆锥，所得截线是椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，若的离心率为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆方程为的一个焦点是，那么（ ）
A． B． C． D．
7．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．椭圆的焦距为2，则的值等于（ ）.
A．5 B．8 C．5或3 D．5或8
二、多选题
9．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点（在轴左侧），则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
10．(多选)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
12．（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．
C． D．
三、填空题
13．已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.
14．已知，分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为___________.
15．“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为__千米.
16．已知，是椭圆（）的左，右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则与的面积之比为________．
四、解答题
17．设点是椭圆上的点，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，是椭圆上的两点，且（是定值），则线段的垂直平分线是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左 右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标.
19．已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，，其中点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值范围．
20．已知直线与是分别过椭圆的左，右焦点的两条相交但不重合的动直线．与椭圆相交于点A，B，与椭圆相交于点C，D，O为坐标原点．直线的斜率分别为，且满足．
（1）若与x轴重合．．试求椭圆E的方程：
（2）在（1）的条件下，记直线．试问：是否存在定点M，N，使得为定值？若存在．求出定值和定点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
21．设椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求弦的中点坐标及．
22．某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）
（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）
参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.
参考答案
1．A
【解析】解：由题意，设椭圆C的方程为，
因为椭圆的离心率为，面积为，
所以，解得，
所以椭圆C的方程为，
故选：A.
2．A
【解析】由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.又当时，最小，此时，
所以的最大值为.
故选：A.
3．D
【解析】由椭圆，得：，
由题意可得的周长为:
.
故选：D.
4．A
【解析】由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
5．A
【解析】解： 由已知得，即 ①，
由及，得 ②，联立①②，解得，，
所以椭圆的方程为，
故选：A．
6．A
【解析】解：椭圆 即，
焦点坐标为，，
，，
故选：．
7．D
【解析】因为椭圆：，焦点，
所以，，，即，解得或（舍去）.
所以，长轴为.
故选：D
8．C
【解析】当焦点在轴上时：，，解得：，
当焦点在轴上时：，，解得：，
所以或，
故选：C
9．AD
【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，
根据椭圆的对称性知，所以，故A正确；
由椭圆，可得，则，
因为，所以的取值范围是，
所以的周长为，其取值范围是，故B错误；
联立方程组，解得，，
又由，所以，
所以为钝角，则为钝角三角形，故C错误；
联立方程组，解得，，
可得，所以，
又由，，可得，故D正确.
故选：AD.
10．ACD
【解析】解：由椭圆，可得：，，．
左、右焦点分别为，，
设，则，可得：，．
，直线与直线交点在椭圆的内部．
，A正确；
，B不正确；
直线与椭圆联立，可得：无解，
因此直线与椭圆无交点．
而点在椭圆的内部，在直线的左下方，满足，C正确．
，，，因此D正确．
故选：ACD.
11．AD
【解析】解：圆与圆的圆心分别为：；，
则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为，
所以的最大值为；
的最小值.
故选：AD.
12．AB
【解析】依题意，，即，
所以，所以，因此B正确；
又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；
设，其中，则有，
即有，则，因此C错误；
，
即有，则，因此D错误．
故选：AB．
13．
【解析】解：设，，，，
则，，
．
恰为线段的中点，即有，，
，
直线的斜率为，
直线的方程为，
即．
由于在椭圆内，故成立．
故答案为：．
14．
【解析】如图,设又
,
由椭圆定义知, ,可得：即，
在中,由余弦定理可得,
，即.
即,解得:.
故答案为:
15．
【解析】设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，则，
两式作差，可得，椭圆形轨道的焦距为千米.
故答案为：85.
16．
【解析】设，由椭圆的定义可知：
所以因为，所以,
即，
解得或，
当时，所以不符合题意，故舍去，
因此，所以
，
与的面积之比为：
，
故答案为：
17．（1）；（2）过定点，定点坐标为．
【解析】解：（1）由于椭圆的离心率，所以，
所以椭圆的标准方程为．
将点的坐标代入椭圆的标准方程可得，解得，所以，
因此，椭圆的标准方程为．
（2）当时，若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．
由，得，
所以，所以，所以，
则线段的中心坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，即，
即，此时，线段的垂直平分线过定点．
若直线垂直于轴，则，两点关于轴对称，线段的垂直平分线为轴，过点．
当时，若直线关于坐标轴对称，
则线段的垂直平分线为坐标轴，过原点；
若直线关于原点对称，则线段的中点为原点，其垂直平分线过原点．
综上所述，线段的垂直平分线过定点．
18．（1）；（2）最小值为；（3）或.
【解析】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，，.
所以的周长为.
（2）椭圆的右准线为.
设，，
则，，
，
在时取等号.
所以的最小值为.
（3）因为椭圆的左 右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，则，，，
所以直线.
设，因为，
所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.
由此得，
则或.
由，得，此方程无解；
由，得，所以或.
代入直线，对应分别得或.
因此点的坐标为或
19．（1）；（2）.
【解析】解：（1）把，代入椭圆，
解得，
所以过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，
所以，①
由②，，③
由①②③解得或（舍）
所以，
所以椭圆．
（2）设，
由已知得，
所以，，
由，得，
所以，
所以，
又，
所以，解得，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，，
所以的取值范围是．
20．（1）；（2）存在点，定值为．
【解析】（1）当与x轴重合时，，故，即轴．
故当时，
由，得．
由，得．
所以椭圆E的方程是．
（2）如图所示，焦点的坐标分别为．
当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或．
当直线和的斜率都存在时，设斜率分别为，点．
联立，得．
因为直线过椭圆内一点，则，，
则
．
同理可得，
因为，所以，化简得．
由题意，知，所以．
设点，则，所以，
化简得，而且当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或，也满足此方程．
所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知存在点，使得为定值，定值为．
21．（1）；（2）中点坐标为，．
【解析】解：（1）将点代入椭圆的方程得，
所以．
又由，
得，
即，
所以．
所以椭圆的方程为．
（2）过点且斜率为的直线方程为，
设直线与的交点为，，
联立方程
消去得，
得，．
设线段的中点坐标为，
则，
，
即中点坐标为
由弦长公式
22．（1）此隧道设计的拱宽至少是22米（2）当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小
【解析】（1）建立直角坐标系如图所示，
则点在椭圆上，
将与点代入椭圆方程，得，
此时，
因此隧道设计的拱宽至少是22米.
（2）由椭圆方程，得，
因为，即，，
由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量，
当取得最小值时，有且，得，，
此时，.
①若，此时，此时，
②若，此时，此时，
因为，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小.
一、单选题
1．阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．设，是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
3．已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B．6 C．4 D．
4．阿基米德是古希腊著名的数学家 物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若用周长为24的矩形截某圆锥，所得截线是椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，若的离心率为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆方程为的一个焦点是，那么（ ）
A． B． C． D．
7．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．椭圆的焦距为2，则的值等于（ ）.
A．5 B．8 C．5或3 D．5或8
二、多选题
9．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点（在轴左侧），则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
10．(多选)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
12．（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．
C． D．
三、填空题
13．已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.
14．已知，分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为___________.
15．“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为__千米.
16．已知，是椭圆（）的左，右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则与的面积之比为________．
四、解答题
17．设点是椭圆上的点，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，是椭圆上的两点，且（是定值），则线段的垂直平分线是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左 右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标.
19．已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，，其中点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值范围．
20．已知直线与是分别过椭圆的左，右焦点的两条相交但不重合的动直线．与椭圆相交于点A，B，与椭圆相交于点C，D，O为坐标原点．直线的斜率分别为，且满足．
（1）若与x轴重合．．试求椭圆E的方程：
（2）在（1）的条件下，记直线．试问：是否存在定点M，N，使得为定值？若存在．求出定值和定点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
21．设椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求弦的中点坐标及．
22．某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）
（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）
参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.
参考答案
1．A
【解析】解：由题意，设椭圆C的方程为，
因为椭圆的离心率为，面积为，
所以，解得，
所以椭圆C的方程为，
故选：A.
2．A
【解析】由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.又当时，最小，此时，
所以的最大值为.
故选：A.
3．D
【解析】由椭圆，得：，
由题意可得的周长为:
.
故选：D.
4．A
【解析】由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
5．A
【解析】解： 由已知得，即 ①，
由及，得 ②，联立①②，解得，，
所以椭圆的方程为，
故选：A．
6．A
【解析】解：椭圆 即，
焦点坐标为，，
，，
故选：．
7．D
【解析】因为椭圆：，焦点，
所以，，，即，解得或（舍去）.
所以，长轴为.
故选：D
8．C
【解析】当焦点在轴上时：，，解得：，
当焦点在轴上时：，，解得：，
所以或，
故选：C
9．AD
【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，
根据椭圆的对称性知，所以，故A正确；
由椭圆，可得，则，
因为，所以的取值范围是，
所以的周长为，其取值范围是，故B错误；
联立方程组，解得，，
又由，所以，
所以为钝角，则为钝角三角形，故C错误；
联立方程组，解得，，
可得，所以，
又由，，可得，故D正确.
故选：AD.
10．ACD
【解析】解：由椭圆，可得：，，．
左、右焦点分别为，，
设，则，可得：，．
，直线与直线交点在椭圆的内部．
，A正确；
，B不正确；
直线与椭圆联立，可得：无解，
因此直线与椭圆无交点．
而点在椭圆的内部，在直线的左下方，满足，C正确．
，，，因此D正确．
故选：ACD.
11．AD
【解析】解：圆与圆的圆心分别为：；，
则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为，
所以的最大值为；
的最小值.
故选：AD.
12．AB
【解析】依题意，，即，
所以，所以，因此B正确；
又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；
设，其中，则有，
即有，则，因此C错误；
，
即有，则，因此D错误．
故选：AB．
13．
【解析】解：设，，，，
则，，
．
恰为线段的中点，即有，，
，
直线的斜率为，
直线的方程为，
即．
由于在椭圆内，故成立．
故答案为：．
14．
【解析】如图,设又
,
由椭圆定义知, ,可得：即，
在中,由余弦定理可得,
，即.
即,解得:.
故答案为:
15．
【解析】设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，则，
两式作差，可得，椭圆形轨道的焦距为千米.
故答案为：85.
16．
【解析】设，由椭圆的定义可知：
所以因为，所以,
即，
解得或，
当时，所以不符合题意，故舍去，
因此，所以
，
与的面积之比为：
，
故答案为：
17．（1）；（2）过定点，定点坐标为．
【解析】解：（1）由于椭圆的离心率，所以，
所以椭圆的标准方程为．
将点的坐标代入椭圆的标准方程可得，解得，所以，
因此，椭圆的标准方程为．
（2）当时，若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．
由，得，
所以，所以，所以，
则线段的中心坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，即，
即，此时，线段的垂直平分线过定点．
若直线垂直于轴，则，两点关于轴对称，线段的垂直平分线为轴，过点．
当时，若直线关于坐标轴对称，
则线段的垂直平分线为坐标轴，过原点；
若直线关于原点对称，则线段的中点为原点，其垂直平分线过原点．
综上所述，线段的垂直平分线过定点．
18．（1）；（2）最小值为；（3）或.
【解析】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，，.
所以的周长为.
（2）椭圆的右准线为.
设，，
则，，
，
在时取等号.
所以的最小值为.
（3）因为椭圆的左 右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，则，，，
所以直线.
设，因为，
所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.
由此得，
则或.
由，得，此方程无解；
由，得，所以或.
代入直线，对应分别得或.
因此点的坐标为或
19．（1）；（2）.
【解析】解：（1）把，代入椭圆，
解得，
所以过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，
所以，①
由②，，③
由①②③解得或（舍）
所以，
所以椭圆．
（2）设，
由已知得，
所以，，
由，得，
所以，
所以，
又，
所以，解得，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，，
所以的取值范围是．
20．（1）；（2）存在点，定值为．
【解析】（1）当与x轴重合时，，故，即轴．
故当时，
由，得．
由，得．
所以椭圆E的方程是．
（2）如图所示，焦点的坐标分别为．
当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或．
当直线和的斜率都存在时，设斜率分别为，点．
联立，得．
因为直线过椭圆内一点，则，，
则
．
同理可得，
因为，所以，化简得．
由题意，知，所以．
设点，则，所以，
化简得，而且当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或，也满足此方程．
所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知存在点，使得为定值，定值为．
21．（1）；（2）中点坐标为，．
【解析】解：（1）将点代入椭圆的方程得，
所以．
又由，
得，
即，
所以．
所以椭圆的方程为．
（2）过点且斜率为的直线方程为，
设直线与的交点为，，
联立方程
消去得，
得，．
设线段的中点坐标为，
则，
，
即中点坐标为
由弦长公式
22．（1）此隧道设计的拱宽至少是22米（2）当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小
【解析】（1）建立直角坐标系如图所示，
则点在椭圆上，
将与点代入椭圆方程，得，
此时，
因此隧道设计的拱宽至少是22米.
（2）由椭圆方程，得，
因为，即，，
由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量，
当取得最小值时，有且，得，，
此时，.
①若，此时，此时，
②若，此时，此时，
因为，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小.