山东省济南市长清区第一高级中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版含答案）

2021-2022 学年度上学期高一年级期中考试
数学试题
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A={-1,0,m}， B={1,2}，若 AUB={-1,0,1,2}，则实数m的值为（ ）
A．-1或 0 B．0 或1 C．-1或2 D．1或2
2.命题“ x R， | x | x 1 0”的否定是（ ）
A． x R， | x | x 1 0 B． x R ， | x | x 1 0
C． x R， | x | x 1 0 D． x R， | x | x 1 0
3.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． f (x) x， g(x) x2 B． f (x) x， g(x) ( x )2
2 x 1(x 1)
C． f (x) x， g(x) x D． f (x) | x 1|， g(x)
x 1 x(x 1)
4.已知实数0 a 1，则下列正确的是（ )
1 1 1 1
A. a a2 B. a a2 C. a2 a D. a2 a
a a a a
x 4
5.若函数 f (x) 2 的定义域为R ，则实数m的取值范围是（ ）mx 4mx 3
1
(0, 3] [0, 3] 3 3A． B． C．[0, ) D． (0, )
4 4 4 4
6. 1在同一坐标系中函数 f(x) = ax + 与 g(x) = ax2的图像可能是（ ）
a
7.方程 x2 (m 2)x 5 m 0的一根在区间 (2,3)内，另一根在区间 (3, 4)内，m的取值范
围（ ）
A． ( 5, 4)
13 , 2 13 B． 3
C． , 4 D． ( 5, 2)
3
8．已知偶函数 f (x) f (b) f (a)的图象经过点 ( 1, 3)，且当0 a b时，不等式 0恒成
b a
立，则使得 f (x 2) 3 0成立的 x取值范围为（ ）
A． (3, ) B． (1,3) C． ( ,1) (3, ) D．[1,3]
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 下列命题中正确的是 ( )
A y x 1 x
2 3
． x 0 的最大值是 2 B． y 的最小值是 2
x x2 2
C． y 2 3x 4 4 x 0 的最大值是 2 4 3 D． y x (x 1)最小值是 5
x x 1
10.下列函数中，既是偶函数又在 (0,3)上是递减的函数是（ ）
A y x2． 1 B． y x3 C． y x 1 D． y x
x2 2a, x 1
11．若函数 f (x) 在R 上是单调函数，则a的取值可能是（ ）
ax 4, x 1
3
A．0 B．1 C． D．3
2
2
12.我们把定义域为[0， +∞）且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为“Ω函数”：
（1）对任意的 x∈ [0, + ∞),总有 f(x)≥0;
（2）若 x ≥ 0, y ≥ 0,则有 f(x + y) ≥ f(x) + f(y)成立，下列判断正确的是（ ）
A.若 f(x)为“Ω函数”，则 f(0)=0
B.若 f(x)为“Ω函数”,则 f(x)在[0， +∞）上为增函数
g(x) = 0, x ∈ Q,C.函数 1, x Q在[0， +∞）上是“Ω函数”
D.函数 g(x) = x2 + x在[0, + ∞)上是“Ω函数”
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13.设集合P x y x2 4x 3 ,Q {x x2 4}，则 P ∩ Q = ．
14.已知 f (x 1)的定义域为[ 2,3)，则 f (x 2)的定义域是 ．
15. p : x R ， x2 x a 0 .若 p 是真命题，则实数 a 的取值范围是 ．
f (x), f (x) g(x)
16.已知函数 f (x)
1 x 2 2x 3 g(x) | 3 ， x 3 |，若函数 F (x)
4 2 g(x), f (x) g(x)
，
则 F (2) ， F (x)的最大值为 ．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17.（10分）已知集合 A {x∣2a 3 x 3a 1}，集合 B {x∣ 5 x 4} .
（1）若 A B，求实数 a的取值范围；
（2）是否存在实数 a，使得 A B？若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由.
18．（12 分）已知二次函数 f (x) x2 4x 3，非空集合 A {x | 0 x a}．
（1）当 x A时，二次函数的最小值为 1，求实数a的取值范围；
（2）当 时，求二次函数 f (x) x2 4x 3的最值以及取到最值时 x的取值．
在①a 1，②a 4，③a 5，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求
解． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
3
19.(12分）已知函数 f (2x) 2 x，g(x)是二次函数，且满足 g(0) 1，g(x 1) g(x) 2x .
（1）求 f (x)， g(x)的解析式；
f (x) , x < 0,
（2）设 F (x) g(x) x 0.，求不等式 F(x) ≤ 3的解集. , ≥
20.（12分）已知关于 x的不等式 ax2 3x + 2 > 0的解集为{x|x < 1或 x > b}．
（1）求 a，b的值；
a b
（2）当 x > 0，y > 0且 + = 1 时，有 2x + y ≥ k2 + k + 2恒成立，求 k的取值范围．x y
21.（12分）已知函数 f (x) | x | 1
x 2
.
1
（1）证明： f (x)为偶函数；
（2）用定义证明： f (x)是 (1, )上的减函数；
（3）当 x [ 4, 2]时，求 f (x)的值域.
22.（12分）某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为 2500万元，
每生产 x百件，需另投入成本 c x（ 单位：万元），当年产量不足 30百件时，c x 10x 2 100x；
10000
当年产量不小于 30百件时，c x 501x 4500 .x 若每件电子产品的售价为 5 万元，通
过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.
（1）求年利润 y（万元）关于年产量 x（百件）的函数关系式；
（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
4
2021-2022 学年度上学期高一年级期中考试
数 学 答 案
一．单选题 DBDA CACC
二．多选题 ACD AC BC ABD
1
三．填空题 13.[1,2) 14.[1,6) 15.[ ,+∞） 16.0，6
4
17.【解析】（1）当 A 时， 2a 3 3a 1，解得 a 4 ..........................2 分
2a 3 5,

当 A 时， 3a 1 4, 解得 1 a 1........................................................5 分

2a 3 3a 1,
综上，实数 a的取值范围是{a∣a 4 或 1 a 1} ..........................................6 分
（2）不存在.理由如下：若存在实数 a，使 A B，则必有
2a 3 5, a 1,
3a 1 4, 解得 a 1, 无解，........................................................ ...........9 分
故不存在实数 a，使得 A B ............................................................................10 分
18．【解析】（1）作出二次函数 f (x) x2 4x 3 (x 2)2 1的图象如图所示，
当0 x a，二次函数的最小值为 1 ，则a的取值范围为 a 2 ．.........6 分
（2）选择方案①，
由图像可知，当a 1 时， f (x)max f (0) 3 ，此时 x 0，
f (x)min f (1) 0 ，此时 x 1．................................................................12 分
选择方案②，
当a 4时， f (x)max f (0) f (4) 3，此时 x 0或 x 4，
f (x)min f (2) 1，此时 x 2 ...................................................................12 分
选择方案③，
当a 5时， f (x)max f (5) 8，此时 x 5，
f (x)min f (2) 1，此时 x 2．..................................................................12 分
19【解析】（1）设 2x t t， x ，所以 f (t) 2 t
2 2
即 f (x) 2
x
， ------------2 分
2
因为 g(x) 2是二次函数，所以设 g(x) ax bx c，
因为 g(0) 1，所以 c 1， -------------3 分
g(x 1) g(x) a(x 1)2 b(x 1) 1 [ax2 bx 1]
2ax a2 b， -------------4 分
所以 2ax a + b 2x， 2a 2且a b 0，
解得 a 1，b 1，
所以 g(x) x2 x 1； -------------6 分
2 x , x 0,
(2)由（1）可知 F (x) 2 -------------7 分
x
2 x 1, x 0.
x 0,
x 0,
F (x) 3等价于 x ，或 2 ， -------------9 分
2 3. 2
x x 1 3
x 0, x 0,
解得 ，或 ， -------------11 分
x 2 1 x 2
所以 2 x 0 或0 x 2，
所以 2 x 2 . -------------12 分
20.【解析】(1)因为不等式 ax2 3x + 2 > 0的解集为{x|x < 1或 x > b}，
所以 1和 b是方程 ax2 3x + 2 = 0的两个实数根且 a > 0，
1 + b = 3
a a = 1所以 2 ，解得 b = 2，...........................................................................4 分1·b =
a
(2) (1) a = 1 1 2由 知 b = 2，于是有 + = 1，x y
故 2x + y = (2x + y)( 1 + 2 ) = 4 + y+ 4x ≥ 8，
x y x y
x = 2
当且仅当 y = 4时，等号成立，.....................................................................8 分
依题意有(2x + y)min ≥ k2 + k + 2，即 8 ≥ k2 + k + 2，
得k2 + k 6 ≤ 0 3 ≤ k ≤ 2，
所以 k的取值范围为[ 3,2]．.......................................................................12 分
21.【解析】（1）函数 f (x) 的定义域是{x | x R ，且 x 1}，任取 x {x | x R ，且
x 1}，............................................................................................................2 分
都有 f ( x)
| x | 1 | x | 1

( x)2
2 f (x)， 1 x 1
f (x)是偶函数.................................................................................................4 分
（2 | x | 1 x 1 1）当 x 1时， f (x) 2 ，任取 x1, x2 (1, )2 ，且 x1 x ，x 1 x 1 x 1 2
则 f x1 f x2
1 1

x1 1 x2 1
x
2
x1
，x1 1 x2 1
1 x1 x2 ， x1 1 0， x2 1 0 ， x2 x1 0 ，
f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，
f (x)在 (1, )上是减函数.............................................................................9 分
（3）由（1）（2）知函数 f (x) 在[ 4, 2] 上是增函数，
f (x) f ( 4) | 4 | 1 1 | 2 | 1 min 2 f (x)( 4) 1 3 ， max
f ( 2) 1
( 2)2 1 ，
1
所求值域为 ,1 .........................................................................................12 分 3
22.【解析】（1）当 0 x 30 时，
y 500x 10x2 100x 2500 10x2 400x 2500 ；
x 30 10000当 时，y 500x 501x 4500 2500 2000
x 10000

x . x
10x2 400x 2500,0 x 30,
y 2000 x 10000 , x 30. ............................................................5 分
x


（2）当 0 x 30时， y 10(x 20)2 1500，
当 x 20 时， ymax 1500 ；.............................................................................8
分
当 x 30 y 2000 10000 时， x 2000 2 x
10000
2000 200 1800 ，
x x
当且仅当 x
10000

x ，即
x 100时取等号，....................................................11 分
1800 1500 ，
年产量为 100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为 1800 万元.....12 分