湘教版2021-2022学年数学九年级上册 期末模拟练习3（含解析）

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湘教版九年级2021-2022期末模拟练习3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
（2017年四川省凉山州）若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为（　　）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3
（2020年浙江省嘉兴、舟山市 ）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
（2017年四川省广元市）数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（　　）
A．21和19 B．21和17 C．20和19 D．20和18
（2021年辽宁省大连市）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
（2021年湖北省江汉油田（仙桃市、潜江市、天门市））下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象是过原点的射线
B．直线经过第一 二 三象限
C．函数，y随x增大而增大
D．函数，y随x增大而减小
（2019年天津市）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
（2021年贵州省铜仁市）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
（2020年黑龙江省绥化市）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
（2019年四川省自贡市）如图，已知 两点的坐标分别为，点分别是直线和x轴上的动点，,点是线段的中点，连接交轴于点；当⊿面积取得最小值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
（2018年广西贵港市）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　）
A．16 B．18 C．20 D．24
（2015年湖北宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
（2021年山东省聊城市）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．C．D．
1 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
（2020年湖南省永州市）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
（2020年新疆）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为_____．(精确到0.1)
（2020年黑龙江省哈尔滨市）已知反比例函数的图像经过点，则的值是____________________．
（2020年江苏省南通市）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为_____m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
（2021年山东省济宁市）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：
①；
②；
③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
（2020年山东省东营市）如图，为平行四边形边上一点，分别为上的点，且的面积分别记为．若则____．
1 、解答题（本大题共8小题，共78分）
（2018年广西贵港市）（1）计算：|3﹣5|﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）﹣1+sin30°；
（2）解分式方程：+1=．
（2019年山东省青岛市）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．
（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）
（2020年宁夏）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：
日用水量/
频数 0 4 2 4 10
使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：
日用水量/
频数 2 6 8 4
（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）
（2016年山东省青岛市）如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边似的距离分别为m， m．
（1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
（2）若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？
（2020年江苏省苏州市）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（2018年湖北省武汉市）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C．
①若t=1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y=经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．
（2021年湖北省黄石市）抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积；
（3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）．
（2017年四川省南充市 ）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB．
（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB，求△PAB周长的最小值．
答案解析
1 、选择题
【考点】：解一元二次方程﹣因式分解法；分式方程的解．
【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入第二个方程来求a的值即可．注意：分式的分母不等于零．
解：解方程x2+2x﹣3=0，得
x1=1，x2=﹣3，
∵x=﹣3是方程的增根，
∴当x=1时，代入方程，得
，
解得a=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．
【考点】位似变换
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
解：在这一组数据中21是出现次数最多的，故众数是21；
数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是（18+20）÷2=19，故中位数为19．
故选A．
【点评】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个　
【考点】一元二次方程的应用
【分析】根据题意及一元二次方程增长率问题可直接进行排除选项．
解：由题意得：；
故选D．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程方程的应用是解题的关键．
【考点】一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质
【分析】根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．
解：A．函数的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；
B、直线经过第一 二 四象限，则此项说法错误，不符题意；
C、函数，随增大而增大，则此项说法正确，符合题意；
D、函数，随增大而增大，则此项说法错误，不符题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键．
【考点】特殊角三角函数值
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
解：把sin45°=代入原式得：原式=2×=.
故选：C.
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【考点】二次函数与一元二次方程的关系
【分析】先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数．
解：∵直线过一、二、三象限，
∴．
由题意得：，
即，
∵△，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线与抛物线的交点个数为2个．
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．
【考点】二次函数与几何变换
【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到，
再向下平移2个单位长度，得到，
整理得，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．
【考点】解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积
【分析】如图，设直线x=-5交x轴于K．由题意KD=CF=5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．
解：如图，设直线x=-5交x轴于K．由题意KD=CF=5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK=13，DK=5，
∴AD=12，
∵tan∠EAO=，
∴，
∴OE=，
∴AE=，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE= AB EH=S△AOB-S△AOE，
∴EH=，
∴，
∴，
故选B.
【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．
解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AB=3AE，
∴AE：AB=1：3，
∴S△AEF：S△ABC=1：9，
设S△AEF=x，
∵S四边形BCFE=16，
∴=，
解得：x=2，
∴S△ABC=18，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．　
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．.
【分析】根据储存室的体积=底面积×高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论．
解：由储存室的体积公式知：104=Sd，
故储存室的底面积S（m2）与其深度d（m）之间的函数关系式为S=（d＞0）为反比例函数．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定双曲线的具体位置，难度不大．
【考点】平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质
【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．
解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
∴PQ∥DE∥CF，
∵AD=5，
∴,
∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，
∵,
∴，
∴，
因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，
因此当时，对应图像为，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-t，
同理可得，Q2P2=P2B=10-t，
，
因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
1 、填空题
【考点】根的判别式
【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b-4ac>0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论.
解：由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根
的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键，
【考点】平均数
【分析】利用表格中的数据求出多批次成活率的平均数即可估算这种苹果树移植成活率的概率．
解：根据表格数据可知：
苹果树苗移植成活率的平均数：
所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查平均数的应用，解题的关键是根据表格中的数据求出这些批次苹果树的成活率的平均数．
【考点】反比例函数图象上的点的坐标特征
【分析】直接将点代入反比例函数解析式中，解之即可．
解：依题意，将点代入，得：，
解得：=﹣12，
故答案为：﹣12．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为点E，根据正切进行求解即可；
解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝tan∠ADE DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确构造直角三角形是解题的关键．
【考点】二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．
解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【分析】证明△PEF∽△PAD，再结合△PEF的面积为2可求出△PAD的面积，进而求出平行四边形ABCD的面积，再用平行四边形ABCD的面积减去△PAD的面积即可求解．
解：∵
∴，且∠APD=∠EPF，
∴△PEF∽△PAD，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且△PEF的面积为2可知，
，
∴，
过P点作平行四边形ABCD的底AD上的高PH，
∴，
∴ ，
即平行四边形ABCD的面积为，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握其性质是解决本题的关键．
1 、解答题
【考点】绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解分式方程
【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算加减可得；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）原式=5﹣3﹣1﹣+=1；
（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2），得：4+（x+2）（x﹣2）=x+2，
整理，得：x2﹣x﹣2=0，
解得：x1=﹣1，x2=2，
检验：当x=﹣1时，（x+2）（x﹣2）=﹣3≠0，
当x=2时，（x+2）（x﹣2）=0，
所以分式方程的解为x=﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的运算以及解分式方程．计算时一定要细心，分式方程要检验．　
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，于是得到CE∥DF，推出四边形CDFE是矩形，得到EF＝CD＝120，DF＝CE，解直角三角形即可得到结论．
解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，
则CE∥DF，
∵AB∥CD，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF＝CD＝120，DF＝CE，
在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，
∴DF＝cos32° BD＝80×≈68，BF＝sin32° BD＝80×≈，
∴BE＝EF﹣BF＝，
在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，
∴AE＝CE tan42°＝68×＝，
∴AB＝AE+BE＝+≈139m，
答：木栈道AB的长度约为139m．
【点评】本题考查解直角三角形﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】频数（率）分布表,加权平均数
【分析】（1）取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可；
（2）先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果．
解：（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为：
使用了节水龙头20天的日平均用水量为：
（2）
答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省水．
【点评】考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意求得B（，），C（，），解方程组求得拋物线的函数关系式为y=﹣x2+2x；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果；
（2）令y=0，即﹣x2+2x=0，解方程得到x1=0，x2=2，即可得到结论．
解：（1）根据题意得：B（，），C（，），
把B，C代入y=ax2+bx得，
解得：，
∴拋物线的函数关系式为y=﹣x2+2x；
∴图案最高点到地面的距离==1；
（2）令y=0，即﹣x2+2x=0，
∴x1=0，x2=2，
∴10÷2=5，
∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案．
【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正确的求出二次函数的解析式是解题的关键．
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质
【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
解：（2）∵，
∴．
∵，是的中点，
∴．
∴在中，．
又∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）①如图1﹣1中，求出PB、PC的长即可解决问题；
②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；
（2）分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，推出OB=OH，AB=D′H，由A（a，m），推出D′（m，﹣a），即D′（m，n），由D′在y=﹣上，可得mn=﹣8；
解：（1）①如图1﹣1中，
由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，
∴C（1，3）．
②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），
∵点C在y=上，
∴t（t+2）=8，
∴t=﹣4 或2，
（2）如图2中，
①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），
∴m+n=0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，
作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，
∴OB=OH，AB=D′H，
∵A（a，m），
∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），
∵D′在y=﹣上，
∴mn=﹣8，
综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．
【点评】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线对称轴，求得，代入即可．
（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形得到，设，根据等腰直角三角形的性质求得E点坐标，从而求得的面积．
（3），根据距离公式求得，注意到的范围，利用二次函数的性质，对进行分类讨论，从而求得的最小值．
解：（1）由抛物线（）与轴相交于点得到
抛物线的对称轴为，即，解得
∴抛物线的方程为
（2）过点E作交AB于点M，过点F作，交AB于点N，如下图：
∵是等腰直角三角形
∴，
又∵轴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
设，则，
∴
又∵
∴
解得或
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意
综上所述：．
（3）设，在抛物线上，则
将代入上式，得
当时，，∴时，最小，即最小
=
当时，，∴时，最小，即最小
，
综上所述
【点评】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键．
【考点】 四边形综合题．
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，证出，得出△AEF∽△BAG，由相似三角形的性质得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE=90°即可；
（2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；
（3）过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，则MN⊥AD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG，则EG∥AB，EG=AB=4，证明△AOF∽△GOE，得出=，证出=，得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，
∵点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB．
∴=， =，
∴，
∴△AEF∽△BAG，
∴∠AEF=∠BAG，
∵∠BAG+∠EAO=90°，
∴∠AEF+∠EAO=90°，
∴∠AOE=90°，
∴EF⊥AG；
（2）解：成立；理由如下：
根据题意得： =，
∵=，
∴，
又∵∠EAF=∠ABG，
∴△AEF∽△BAG，
∴∠AEF=∠BAG，
∵∠BAG+∠EAO=90°，
∴∠AEF+∠EAO=90°，
∴∠AOE=90°，
∴EF⊥AG；
（3）解：过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如图所示：
则MN⊥AD，MN=AB=4，
∵P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB，
∴点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，
此时PA=PB，PM=MN=2，
连接EG、PA．PB，则EG∥AB，EG=AB=4，
∴△AOF∽△GOE，
∴=，
∵MN∥AB，
∴=，
∴AM=AE=×2=，
由勾股定理得：PA==，
∴△PAB周长的最小值=2PA+AB=+4．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．　
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