2.3 单摆课件（45张PPT）

(共45张PPT)
第3节　单摆　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、单摆的振动
【思考】
　　　 单摆的回复力是否就是单摆所受的合外力
提示:不是。单摆的运动可看作是变速圆周运动,其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力,重力沿圆弧切线方向的分力是使摆球沿圆弧振动的回复力。
1.单摆是一种理想化模型:
(1)单摆:把一根细线上端固定,下端拴一个小球,线的_____和球的_____可以忽
略不计,这种装置即为单摆。
(2)单摆的运动特点:
①摆球以悬挂点为圆心,在_____(选填“竖直”或“水平”)平面内做变速圆周
运动。
②摆球同时以最低点O为_________做往复运动。
质量
大小
竖直
平衡位置
2.单摆的回复力:
(1)回复力的来源:摆球的重力沿_________的分力。
(2)回复力的特点:在偏角很小时,单摆所受的回复力的大小与它偏离平衡位置的
位移的大小成 _____,方向与摆球位移方向_____。
(3)运动规律:单摆在偏角很小的情况下,单摆的振动可近似视为_________。
圆弧切向
正比
相反
简谐运动
二、单摆的周期
1.影响单摆周期的因素的探究:
(1)探究方法:___________。
(2)实验结论:
①单摆周期与摆球质量_____(选填“有关”或“无关”)。
②单摆周期与振幅_____(选填“有关”或“无关”)。
③单摆的摆长越长,周期_____;摆长越短,周期_____。
控制变量法
无关
无关
越长
越短
2.周期公式及应用:
(1)周期公式是荷兰物理学家_______首先提出的。
(2)单摆的等时性:单摆做简谐运动时,其周期与振幅_____(选填“有关”或“无关”)。
(3)公式:T=2π ,即T与摆长l的二次方根成 _____,与重力加速度g的二次方根成_____。
(4)应用:
①摆钟:人们利用摆的周期与振幅及摆球质量_____(选填“有关”或“无关”)的性质来计
量时间。
②测重力加速度:如果能够测出单摆的_____和_____,就可以利用单摆的周期公式求出当地
的重力加速度。
惠更斯
无关
正比
反比
无关
摆长
周期
关键能力·素养形成
一　单摆运动的规律
1.单摆做简谐运动:如图所示:
(1)单摆的平衡位置、位移、回复力:O点为单摆的最低点,即平衡位
置。在任意位置P,有向线段 为此时的位移x,重力G沿圆弧切线方
向的分力mgsinθ提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力。
(2)单摆做简谐运动的推证:在摆角很小时,sinθ≈θ≈ ,
mgsinθ= x,mgsinθ方向与摆球位移方向相反,所以回复力表示为F=-mgsinθ
=- x。令k= ,则F=-kx。因此,在摆角θ很小时,单摆做简谐运动。(摆角一
般不超过5°)
2.单摆做简谐运动的规律:
(1)单摆做简谐运动的位移随时间变化的图像是一条正弦(或余弦)曲线。
(2)回复力、加速度、速度、动能等都随时间做周期性变化,其变化规律与弹簧振子相同。
位移、回复力、加速度 速度、动能
最高点 最大 零
最低点 零 最大
远离平衡位置运动 越来越大 越来越小
衡位置运动 越来越小 越来越大
　【特别提醒】(1)单摆的摆动不一定都是简谐运动,只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才可认为是简谐运动。
(2)单摆摆动的回复力不是摆球所受的合外力,而是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力。
【思考·讨论】
如图是一单摆模型示意图。
(1)摆球所受的重力按力的作用效果怎样分解 (科学思维)
(2)哪个力提供了摆球做往复运动的回复力 (物理观念)
提示:(1)可分解为沿径向方向的mgcosθ和沿圆弧切线方向的mgsinθ两个分力。
(2)重力沿圆弧切线方向的分力提供了回复力。
【典例示范】
　下列有关单摆运动过程中的受力说法,正确的是 (　　)
A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C.单摆过平衡位置的合力为零
D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
【解题探究】
(1)单摆沿圆弧运动的向心力由哪些力来提供
提示:单摆沿圆弧运动的向心力由重力和绳的拉力的合力在半径方向的分力提供。
(2)单摆往复运动的回复力由哪些力来提供
提示:重力的切向分力提供单摆往复运动的回复力。
【解析】选B。单摆运动是在一段圆弧上运动,因此单摆运动过程不仅有回复力,而且有向心力,即单摆运动的合外力不仅要提供回复力,而且要提供向心力,故选项A错误;单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力,而不是摆线拉力的分力,故选项B正确,D错误;单摆过平衡位置时,回复力为零,向心力最大,故其合外力不为零,所以选项C错误。 所以选B。
【误区警示】分析单摆受力的两点注意
(1)单摆摆动的回复力不是摆球所受的合外力,而是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力。
(2)摆球在平衡位置不平衡。摆球经过平衡位置时所受回复力为零,但所受的合外力不为零,合外力提供摆球做圆周运动的向心力,所以此时摆球加速度不为零,处于非平衡状态。
【素养训练】
1.(多选)对于做简谐运动的单摆,当所受回复力逐渐增大时,随之变小的物理量是 (　　)
A.摆线上的张力　　　　　　 B.摆球的振幅
C.摆球的重力势能 D.摆球的动能
【解析】选A、D。回复力逐渐增大时,摆球的重力沿切线方向的分力增大,速度变小,动能变小,重力势能增大,向心力减小,张力减小,振幅不变。所以选A、D。
2.一单摆做小角度摆动,其振动图像如图所示,以下说法正确的是 (　　)
A.t1时刻摆球速度最大,摆球的回复力最大
B.t2时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度为零,摆球的回复力最小
D.t4时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大
【解析】选D。由振动图像知,t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大,此时摆球的速度为零,摆球的回复力最大,A、C项不合题意;t2和t4时刻摆球位移为零,正在通过平衡位置,速度最大,由于摆球做圆周运动,由牛顿第二定律得出悬线对摆球拉力最大,故B项不合题意,D项符合题意。
【补偿训练】
1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是 (　　)
A.摆线质量不计
B.摆线长度不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度小得多
D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动
【解析】选A、B、C。单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不伸缩,A、B、C正确;但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的,只有在摆角很小(θ<5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动,故D错误。
2.关于单摆摆球在运动过程中的受力情况,下列结论正确的是 (　　)
A.摆球受重力、摆线的拉力、回复力、向心力作用
B.摆球受的回复力最大时,向心力为零;回复力为零时,向心力最大
C.摆球受的回复力最大时,摆线中的张力大小比摆球的重力大
D.摆球受的向心力最大时,摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
【解析】选B。单摆在摆动过程中,摆球受重力和绳的拉力,A选项错误;重力垂直于绳的分力提供回复力。当回复力最大时,摆球在最大位移处,速度为零,向心力为零,则拉力小于重力,在平衡位置处,回复力为零,速度最大,向心力最大,摆球的加速度方向沿绳指向悬点,故选项C、D错误,B正确。
3.(多选)关于单摆,下列说法中正确的是 (　　)
A.摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B.摆球受到的回复力是它的合力
C.摆球经过平衡位置时,所受的合力不为零
D.摆角很小时,摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比
【解析】选A、C。做简谐运动的物体所受回复力的方向总是指向平衡位置,A正确;单摆的回复力不是它所受的合力,而是重力沿圆弧切线方向上的分力,B错误;当摆球运动到平衡位置时,回复力为零,但合力不为零,因为小球还有向心力,方向指向悬点(即指向圆心),C正确;摆球所受回复力的大小是与位移成正比的,但所受的合力是与位移大小不成正比的,D错误。
二　单摆周期公式的分析
1.摆长l:单摆的摆长是从悬点到摆球球心的长度,即l=L+ ,其中L为摆线长,d为
摆球直径。
2.重力加速度g:g由单摆所在的空间位置决定。它随所在地球表面的位置和所在
的高度的变化而变化,纬度越高,g的值就越大,高度越高,g的值就越小,另外,在
不同星球上g也不同。
3.等效摆长和等效重力加速度:
(1)等效摆长:摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图,甲、乙做垂直
于纸面的小角度摆动
甲的等效摆长:L甲=lsinα+
乙的等效摆长:L乙=lsinα+l+
(2)等效重力加速度g′:g′还由单摆系统的运动状态决定,单摆处于超重或失重
状态,等效重力加速度g′=g+a或g′=g-a,当单摆处于完全失重状态时,g′=0。
　 【特别提醒】
(1)由单摆周期公式T=2π 可知,周期只与l和g有关,而与摆球质量、摆动幅度
无关,当l增大时,周期增大,g增大时,周期减小。
(2)公式T=2π 中,若g为等效重力加速度,其大小不仅跟单摆所处的空间位置
有关,而且还跟单摆所处的运动状态有关。
【思考·讨论】
　如图,某同学家中的摆钟慢了,他认为是摆锤过轻造成的,于是他在摆锤上绑了一块金属块。
(1)你认为他的做法正确吗 (物理观念)
(2)你能帮他校准一下吗 (物理观念)
提示:(1)不正确,因为单摆的周期与摆锤的轻重无关。
(2)可以通过缩短摆长的方法,使单摆的周期减小。
【典例示范】
　(2019·全国卷Ⅱ)如图,长为l的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固定在天花板上O
点处,在O点正下方 l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开,使细绳与竖直方向成一
小角度（约为2°）后由静止释放① ,并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时,细
绳会受到铁钉的阻挡②。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x,向右为正。下列图像
中,能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是 (　　)
【审题关键】
序号 信息提取
① 小球的运动是单摆运动
② 单摆的摆长变短,周期变小
【解析】选A。由T=2π 得:T1=2π ,T2=2π =π = T1 ,故B、D错
误;
x1=lsinθ1=2lsin cos
x2= sinθ2=2×
由于θ1、θ2约为2°,所以cos ≈1,cos ≈1
故x1=lsinθ1≈2lsin
x2= sinθ2≈2× sin
由能量守恒定律可知,小球先后摆起的最大高度相同,故:
l-lcosθ1= - ·cosθ2,
根据半角公式sin2 可得:sin ,故 =2,即第一次振幅是
第二次振幅的2倍,故A正确,C错误。
【规律方法】求单摆周期的方法
(1)明确单摆的运动过程,判断是否符合简谐运动的条件。
(2)运用T=2π 时,若系统处于超重或失重状态,g理解为等效重力加速度。
(3)单摆振动周期改变的途径:
①改变单摆的摆长。
②改变单摆的重力加速度(改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重)。
(4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系。
【素养训练】
1.如图所示,三根细线于O点处打结,A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点
上,使AOB成直角三角形,∠BAO=30°,已知线OC长是L,下端C点系着一个小球。下
面说法中正确的是 (　　)
A.让小球在纸面内摆动,周期为T=2π
B.让小球在垂直纸面方向摆动,其周期为T=2π
C.让小球在纸面内摆动,周期为T=2π
D.让小球在垂直纸面内摆动,周期为T=2π
【解析】选A。让小球在纸面内摆动,在摆角很小时,单摆以O点为悬点,摆长为L,
周期为T=2π 。让小球在垂直纸面内摆动,则摆球以OC的延长线与AB交点为中
心,摆长为L+ cos30°=L+ L,周期为T=2π ,选项A正确。
2.周期为2 s的摆叫秒摆,若要将秒摆的周期变为0.5 s,下列措施可行的是 (　　)
A.将摆球的质量及振动的振幅均减半
B.将振幅和摆长均减半
C.将摆长减为原来的
D.将摆长减为原来的
【解析】选D。由单摆的周期公式T=2π 可知,摆球质量和摆的振幅均不影响单
摆的周期,故A项不合题意;只改变摆长时可改变周期,由周期公式知: ,得:
l2= l1,故B、C项不合题意,D项符合题意。
【补偿训练】
1.(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器,叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供,运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动,如图所示,下列说法正确的是 (　　)
A.摆钟不准时需要调整圆盘位置
B.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移
D.把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移
【解析】选A、C。调整圆盘位置可改变摆长,从而达到调整摆钟周期的目的,A正确;若摆钟变快,是因为周期变小,应增大摆长即下移圆盘,B错误;由冬季变为夏季,摆杆变长,应上移圆盘,C正确;从广州到北京,g值变大,周期T变小,应增加摆长,使圆盘沿摆杆下移,D错误。
2.将单摆和弹簧振子都放在竖直向上做匀加速运动的电梯中,则 (　　)
A.两者的振动周期都不变
B.两者的振动周期都变小
C.单摆的振动周期变小,弹簧振子的振动周期不变
D.单摆的振动周期变小,弹簧振子的振动周期变大
【解析】选C。弹簧振子的振动周期只与其本身的因素有关,跟物体的运动状态无关,所以弹簧振子的周期不变;当电梯加速向上运动时,单摆的等效重力加速度变大,单摆的周期变小,所以选项C正确。
【拓展例题】考查内容:摆钟问题的分析
　【典例】将在地球上校准的摆钟拿到月球上去,若此钟在月球记录的时间是1 h,
那么实际上的时间应是______h(月球表面的重力加速度是地球表面的 )。若要
把此摆钟调准,应将摆长L0调节为______。
【解析】设在地球上校准的摆钟周期为T0,指示时间为t0;在月球上的周期为T,指
示时间为t。由于指示时间t与振动次数N成正比,即t∝N;一定时间内振动次数N与
振动周期T成反比,即N∝ ;由单摆周期公式可知T∝ ,由以上推知:t∝ ,则
有 。所求实际时间为t0= h。要把它调准,需将摆长调为 。
答案: 　
【课堂回眸】
课堂检测·素养达标
1.关于单摆做简谐运动的过程中,下列说法中不正确的是 (　　)
A.在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值
B.在最大位移处位移最大,而速度最小
C.在平衡位置摆球速度最大
D.摆球由最大位移处向平衡位置运动时,速度变大,位移变小
【解析】选A。在平衡位置处,摆球的势能最小,动能最大,速度最大,但是位移以平衡位置为起点,所以位移最小,A错误,C正确;在最大位移处,势能最大,动能最小,速度最小,位移最大,B正确;摆球从最大位移处向平衡位置运动,势能减小,动能增大,速度增大,向平衡位置移动,位移变小,D正确。所以选A。
2.惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟。如图1所示为日常生活中我
们能见到的一种摆钟。图2所示为摆的结构示意图,圆盘固定在摆杆上,螺母可
以沿摆杆上下移动。在甲地走时准确的摆钟移到乙地未做其他调整时摆动加快
了,下列说法正确的是 (　　)
A.甲地的重力加速度较大,若要调准可将螺母适当
向下移动
B.甲地的重力加速度较大,若要调准可将螺母适当向上移动
C.乙地的重力加速度较大,若要调准可将螺母适当向下移动
D.乙地的重力加速度较大,若要调准可将螺母适当向上移动
【解析】选C。由甲到乙地摆动加快则说明周期变小,因T=2π ,则重力加速
度变大,要使周期不变小,则应增加摆长,即将螺母适当向下移动,C正确。
3.(多选)将一单摆向左拉至水平标志线上,从静止释放,当摆球运动到最低点时,摆线碰到障碍物,摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片,以下说法正确的是 (　　)
A.摆线碰到障碍物前后的周期之比为3∶2
B.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为3∶2
C.摆球经过最低点时,线速度不变,半径减小,摆线张力变大
D.摆球经过最低点时,角速度变大,半径减小,摆线张力不变
【解析】选A、C。由单摆的周期公式T=2π 可知,L∝T2,由于是频闪照片,图
中相邻两小球的影像的时间间隔是相同的,所以周期之比是9∶6=3∶2,周期平方
比是9∶4。则A正确,B错误。小球在摆动过程中机械能守恒,摆线经过最低点时,
小球线速度不变,由v=ω r可知r减小,角速度变大。由向心力知识,T-mg=m
可知,r减小,摆线张力T变大。故C正确,D错误。
4.如图甲是一个单摆振动的情形,O是它的平衡位置,B、C是摆球所能到达的最远位置。设向右为正方向,图乙是这个单摆的振动图像。根据图像回答:
(1)单摆振动的频率是多大
(2)开始时摆球在何位置
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2,试求这个单摆的摆长是多少 (计算结果保留两位有效数字)
【解析】(1)由题图乙知周期T=0.8 s,则频率f= =1.25 Hz。
(2)由题图乙知,t=0时摆球在负向最大位移处,因向右为正方向,所以开始时摆
球在B点。
(3)由T=2π ,得l= ≈0.16 m。
答案:(1)1.25 Hz　(2)B点　(3)0.16 m