2021-2022学年数学人教B版（2019）必修第一册第二章 等式与不等式 期末培优检测卷

第二章 等式与不等式 期末培优检测卷
一、单选题
1．在R上定义运算：a b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x) (m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．{m|－2C．{m|－32．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则下列四个命题正确的个数是（ 　 ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，，，，则，.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知实数满足，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是
A．[15,20] B．[12,25] C．[10,30] D．[20,30]
7．设，且，
则它们的大小关系是
A． B．
C． D．
8．设集合，，则是的真子集的一个充分不必要的条件是
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．设正实数a，b满足a+b＝1，则（ ）
A．有最小值4 B．有最大值
C．+有最大值 D．a2+b2有最小值
12．若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1(a＞0)的解集为｛x|-1≤x≤2｝，则3a+2b+c的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．若关于的不等式对任意正数，恒成立，则该不等式的解集为______.
14．已知x、y都是正数，且满足，则的最大值为_________．
15．“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”有如下解法:由，得，令，则，即:，所以不等式的解集为.参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________.
16．已知关于的不等式的解集为，集合．若，则实数的取值范围为______．
四、解答题
17．已知，，均为正数.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：.
18．根据要求比较一下各组中的的大小.
（1），，其中均为正实数；
（2），，其中均为正实数.
19．（1）比较与的大小；
（2）证明：已知，且，求证：
20．已知关于x，y的方程组的解都为正数.
（1）当时，解此方程组；
（2）求a的取值范围；
（3）已知，且，，求z的取值范围.
21．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y(米)与汽车车速x(千米/小时)满足下列关系式：（为常数，且）.在两次试验刹车中，所取得的有关数据如图所示，其中，.
（1）求；
（2）要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为多少？
22．已知正实数，满足，求的最小值.
参考答案
1．C
【分析】
根据定义求出(m－x) (m＋x)＝m2－x2＋m＋x，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.
【解析】依题意得(m－x) (m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，
因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x) (m＋x)<4成立，
所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4)max.
因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋4取最大值6，
所以m2＋m<6，解得－3故选：C．
2．D
【解析】由图形可知：，，
在直角中，由勾股定理可得：
，
，
，．
故选：D
3．C
【分析】
利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论.
【解析】①当时，，两边同时除以，得到，正确；
②，那么，即，正确；
③ ，
，正确；
④令 同样能满足 ，不正确.
共有3个正确.
故选C.
【点睛】
本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.
4．A
【分析】
把给出的已知条件，右侧配方后可得，再把给出的两个等式联立消去后，得到，利用基本不等式可得，从而得到结果.
【解析】因为所以，
，即，所以，
∴，∴
即，
故答案选A．
【点睛】
该题考查的是有关比较大小的问题，涉及到的知识点有利用作差比较法确定式子的大小的问题，属于简单题目.
5．D
【解析】求解一元二次方程，得
，易知.
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.
【点评】
本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
6．C
【解析】
如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则，所以，又，所以，即，解得.
【考点定位】
本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于中档题.
7．A
【解析】Q为调和不等式，M为几何不等式，N为算术平方数，R为平方平均数，
由均值不等式性质可知四种平均数满足调和不等式≤几何不等式≤算术平方数≤平方平均数
∴Q＜M＜N＜R
∵≥
∴P＜Q
故选A．
8．D
【解析】,
若,则 ,BA,
若,则A,
若,则A,A的一个充分不必要条件是.
9．ACD
【分析】
利用基本不等式，判断A；平方后，再利用基本不等式判断B；变形判断C；利用“1”的变形，展开后，利用基本不等式判断D.
【解析】解：，，，
，
即，即，故正确；
，
故，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD．
10．ABC
【分析】
对分为和分类讨论解含参不等式，然后根据充分不必要条件，可得的取值范围，从而可得符合条件的值.
【解析】由，得
当时，或；当时，或，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是不等式的解集的真子集，
所以或，即.
故选：ABC
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用集合法，求充分不必要条件中的参数范围，关键是对分类讨论，解含参一元二次不等式.
11．ABCD
【分析】
由正实数，满足，可得，则，根据判断A；开平方判断B；利用判断C；利用判断D．
【解析】正实数，满足，即有，可得，
即有，即有时，取得最小值4，无最大值，A正确；
由可得，可得时，有最大值，B正确；
由，可得时，取得最大值，C正确；
由可得，则，当时，取得最小值，D正确．
故选：ABCD．
【点睛】
利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
12．BC
【分析】
根据题意，设问题转化为恒大于等于零且，建立关系求出a的范围即可.
【解析】设其中a＞0，
因为不等式0≤ax2+bx+c≤1(a＞0)的解集为｛x|-1≤x≤2｝，
所以恒大于等于零且，
故，即①，且②，③，
由②③可得
代入①，可得，
解得，
由知，
故，
结合选项，的值可能和，
故选：BC
【点睛】
关键点点睛：原问题可转化为恒大于等于零且，据此求出a的取值范围，得出选项.
13．
【分析】
由基本不等式求得等式右边的最小值，再解一元二次不等式可得．
【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8
由，即，，，
14．18.
【分析】
根据基本不等式，得到关于的不等式，解得的范围，从而得到的范围，求出答案.
【解析】因为，且，
所以，（当且仅当时，取等号）
即，
解得，所以得，
所以的最大值是.此时，.
故答案为：18.
【点睛】
关键点点睛：
本题的关键点是运用基本不等式把转化为.
15．或
16．
【分析】
先通过与的大小确定一元二次不等式的解集，然后根据子集关系列出满足的不等式，从而求解出的范围，注意分类讨论.
【解析】关于的不等式的解集为.
①当时,或,
∵,∴
联立，解得.
②当时,或,
满足，由，解得.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查含参一元二次不等式解法和根据子集关系求解参数范围，难度一般.解答含参数的一元二次不等式的解集时，一定要注意分析是否需要对参数进行分类讨论.
17．（1）9；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将等式同时除以得，再结合“1”的妙用即可求解；
（2）由，则，由基本不等式可得，其余两式也采用相同方法代换即可证明.
【解析】（1）由得，
所，
当且仅当时，等号成立，即，.故的最小值为9，此时，；
（2）因为，所以又因为，，均为正数，所以，，.
所以，故，
当且仅当时，等号成立.
18．（1）；（2）若，则；若，则；若，则.
【分析】
利用作差法，求出并化简整理，再与0比较，即可比较的大小；
（1）由于，，化简求得，结合，即可判断与0的大小，从而比较的大小；
（2）已知，，化简整理得，结合，分类讨论，，三种情况，即可判断与0的大小，从而比较的大小.
【解析】解：（1）由于，，
则
，
即，
而均为正实数，即，
则，所以，
所以；
（2）已知，，
则
，
即，
而均为正实数，即，
则，
若，则，则，所以；
若，则，则，所以；
若，则，则，所以；
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用作差法比较两数的大小，以及不等式的基本性质，解题的关键在于运用作差法并化简运算，考查运算能力和分类讨论思想.
19．（1）详解见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）作差法，分组因式分解，即得解；
（2）根据，且，得出，再根据不等式的基本性质证明不等式．
【解析】（1）作差得：
（i）当时，，故；
（ii）当时，，故；
（iii）当时，，故.
（2）证明：因为，且，所以
因为
取倒数得：
由于，
命题得证.
【点睛】
本题考查了作差法比较大小以及不等式的性质，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题．
20．（1）；（2）；（3）.
【分析】
(1）利用加减消元法求解即可;
(2）先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可;
(3）根据题意得出b=4-a>0，即可得到1【解析】（1）当时，方程组为，
①②得，即，
把代入①得，，即，
此方程的解为；
（2）解这个方程组的解为：，
由题意，得，
则原不等式组的解集为；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
故.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程.
21．（1）3；（2）最大速度80千米/小时.
【分析】
（1）先由题意建立不等式组并求解出，再因为，求出；
（2）先确定函数解析式，再建立不等式并求解得，最后给出答案即可.
【解析】解：（1）因为函数关系，且，.
所以，解得，则，
因为，所以，
（2）由（1）可知，所以
因为要使刹车距离不超过18.4米，则，
解得：，
所以要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为80千米/小时
【点睛】
本题考查根据实际问题建立不等关系求参数的值、求解一元二次不等式、
22．
【分析】
由，且，为正实数，则，
令，展开可以用基本不等式求最值.
【解析】因为，
所以，
所以，
，
所以，
当且仅当且即时，等号成立，所以的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式求最值，关键是配成可以用基本不等式的形式.属于基础题.