2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线方程及性质的应用教案

编号：019 课题:§3.2.2.2 双曲线方程及性质的应用
目标要求
1、进一步理解并掌握双曲线的几何性质．
2、理解并掌握直线与双曲线的位置关系．
3、理解并掌握弦长和中点问题．
4、理解并掌握双曲线性质的综合应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：弦长和中点问题；
难点：双曲线性质的综合应用．
教学过程
基础知识点
1. 双曲线的几何性质
焦点所在的坐标轴 x轴 y轴
标准方程
图形
性质 范围
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
轴长 实轴长： 虚轴长：
渐近线
离心率 ，其中
的关系式 （）
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率为 .
【课前预习思考】
　(1)椭圆中要求a>b>0，在双曲线中a，b是否也要满足该条件？
　(2)双曲线离心率对双曲线形状有何影响？
类型一　直线与双曲线的位置关系(数学抽象)
【课堂题组训练】
题1. 过双曲线－＝1(a＞0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则a的取值范围为 (　　)
A(1，) B． 　 C．(，2) D．(2，)
题2. 已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程．
【解题策略提醒】
1．直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，　①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，　②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ<0 直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．
2．数形结合思想在判断直线与双曲线位置关系中的应用
(1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
【教师补充训练】
题3. 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
类型二　弦长和中点问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】题4. (1)求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长．
(2)求过定点(0，1)的直线被双曲线x2－＝1截得的弦中点的轨迹方程．
【解题策略提醒】
弦长及中点弦问题的解题策略
(1)利用弦长公式AB＝|xA－xB|＝·，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式．
(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系．
其具体解题思路如下：
设直线与双曲线相交所得弦AB端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则AB＝|x1－x2|＝·.涉及弦长的问题，常常设而不求．
中点弦问题：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1.))
两式相减可得·＝，即kAB·＝.
【课堂题组训练】
题5. 已知双曲线的方程为2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2，1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；
(2)过定点Q(1，1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
类型三　双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】题6. 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A为左顶点，点P为双曲线C右支上一点，F1F2＝10，PF2⊥F1F2，PF2＝，O为坐标原点，则·＝ (　　)
A．－ B． C．15 D．－15
题7. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求·的值；
(3)求△F1MF2的面积．
【解题策略提醒】
　与双曲线有关的综合问题
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．
(2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
【课堂题组训练】
题8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，左顶点为A，O为坐标原点，以OF为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P，且PA＝PF，则双曲线的离心率e＝________．
【教师备选类型】　直线与双曲线位置关系的综合问题(数学运算)
【典例】题9. 直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【课堂题组训练】
题10. 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切．
【课后巩固习题】
题11. 已知双曲线C：x2－＝1的离心率大于，则双曲线C的虚轴长的取值范围为 (　　)
A．(2，＋∞) B．(1，) C．(2，＋∞) D．(1，2)
题12. 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为 (　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1
题13. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为 (　　)
A． B． C． D．5
题14. 已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，过原点的直线l交双曲线C于A，B两点，且BF＝3AF，则双曲线C的离心率的取值范围为 (　　)
A． B． C． D．
题15. 过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，求AB的长．
编号：019 课题:§3.2.2.2 双曲线方程及性质的应用
目标要求
1、进一步理解并掌握双曲线的几何性质．
2、理解并掌握直线与双曲线的位置关系．
3、理解并掌握弦长和中点问题．
4、理解并掌握双曲线性质的综合应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：弦长和中点问题；
难点：双曲线性质的综合应用．
教学过程
基础知识点
1. 双曲线的几何性质
焦点所在的坐标轴 x轴 y轴
标准方程
图形
性质 范围
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
轴长 实轴长： 虚轴长：
渐近线
离心率 ，其中
的关系式 （）
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为 y＝±x ，离心率为 .
【课前预习思考】
　(1)椭圆中要求a>b>0，在双曲线中a，b是否也要满足该条件？
提示：不是，在双曲线中，a，b没有大小关系，只需a>0，b>0.
　(2)双曲线离心率对双曲线形状有何影响？
提示：以双曲线－＝1(a＞0，b＞0)为例．
e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
类型一　直线与双曲线的位置关系(数学抽象)
【课堂题组训练】
题1. 过双曲线－＝1(a＞0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则a的取值范围为 (　　)
A(1，) B． 　 C．(，2) D．(2，)
【解析】选B.由题意可得双曲线的渐近线斜率1＜＜2，1<<2，解得1题2. 已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程．
【解析】由题意可得：双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x.
(1)直线x＝1与双曲线只有一个公共点．
(2)过点P(1，1)且平行于渐近线y＝±2x时，直线l与双曲线只有一个公共点，
方程为y－1＝±2(x－1)，即2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0.
(3)设过点P的切线方程为y－1＝k(x－1)，与双曲线x2－＝1联立，
利用Δ＝0可得k＝，方程为y＝x－.
故直线l的方程为x＝1或2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0或y＝x－.
【解题策略提醒】
1．直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，　①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，　②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ<0 直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．
2．数形结合思想在判断直线与双曲线位置关系中的应用
(1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
【教师补充训练】
题3. 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【解析】联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2).
(1)由得－＜k＜且k≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，
即直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)由得k＝±，此时方程(*)有两个相同的实数解，
即直线与双曲线有且只有一个公共点，
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，
故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，
有且只有一个公共点．故当k＝±或±1时，直线与双曲线有且只有一个公共点．
(3)由得k＜－或k＞，
此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．
类型二　弦长和中点问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】题4. (1)求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长．
(2)求过定点(0，1)的直线被双曲线x2－＝1截得的弦中点的轨迹方程．
四步 内容
理解题意 条件：已知直线被双曲线所截结论：求弦长及弦的中点的轨迹方程
思路探求 (1)利用弦长公式求解；(2)利用根与系数的关系或点差法进行求解
书写表达 (1)由得4x2－(x＋1)2－4＝0.化简得3x2－2x－5＝0.设此方程的解为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝－.故所截得的弦长d＝·|x1－x2|＝·＝·＝.(2)因为该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y).由得(4－k2)x2－2kx－5＝0.设此方程的解为x1，x2，则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)>0，所以16k2<80，即|k|<，k≠±2，且x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＝(x1＋x2)＝，y＝(y1＋y2)＝(x1＋x2)＋1＝.由消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1).
题后反思 点差法，用根与系数的关系求解．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决．
【解题策略提醒】
弦长及中点弦问题的解题策略
(1)利用弦长公式AB＝|xA－xB|＝·，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式．
(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系．
其具体解题思路如下：
设直线与双曲线相交所得弦AB端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则AB＝|x1－x2|＝·.涉及弦长的问题，常常设而不求．
中点弦问题：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1.))
两式相减可得·＝，即kAB·＝.
【课堂题组训练】
题5. 已知双曲线的方程为2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2，1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；
(2)过定点Q(1，1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
【解析】(1)若直线斜率不存在，即P1P2垂直于x轴，则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2，1)，所以直线l斜率存在．
故可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1.由消去y并化简，
得(2－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－3＝0.设直线l与双曲线的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
当2－k2≠0，即k2≠2时，有x1＋x2＝－.
又点P(2，1)是弦P1P2的中点，所以－＝4，解得k＝4.
当k＝4时，Δ＝4k2(2k－1)2－4(2－k2)(－4k2＋4k－3)＝56×5>0.
当k2＝2，即k＝±时，此时与渐近线的斜率相等，
即k＝±的直线l与双曲线不可能有两个交点．
综上可知，所求直线的方程为4x－y－7＝0.
(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有＝1，＝1，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝2，,2x－y＝2，)) 两式相减，得(2x－2x)－(y－y)＝0，
所以2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0.
若直线Q1Q2垂直于x轴，则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1，1)，
所以直线Q1Q2斜率存在，于是k＝＝2，
所以直线Q1Q2的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由得2x2－(2x－1)2＝2，即2x2－4x＋3＝0，所以Δ＝16－24<0.
所以直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．
类型三　双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】题6. 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A为左顶点，点P为双曲线C右支上一点，F1F2＝10，PF2⊥F1F2，PF2＝，O为坐标原点，则·＝ (　　)
A．－ B． C．15 D．－15
【思路导引】
利用双曲线的性质求出A，P的坐标，再求向量的数量积．
【解析】选D.F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A为左顶点，点P为双曲线C右支上一点，F1F2＝10，PF2⊥F1F2，PF2＝，可得c＝5，＝，a2＋b2＝c2，
解得a＝3，b＝4，则A(－3，0)，P，则·＝－15.
题7. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求·的值；
(3)求△F1MF2的面积．
【思路导引】 (1)设双曲线的方程为x2－y2＝λ，将点(3，－1)代入求出参数λ的值，从而求出双曲线的方程．
(2)先求出·的解析式，再把点M的坐标代入双曲线，便可得出·的值．
(3)求出三角形的高，即|m|的值，可得其面积．
【解析】 (1)因为e＝，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ.
因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8，所以双曲线的方程为x2－y2＝8.
(2)因为F1(－4，0)，F2(4，0)，＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)，
所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2，
因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8，即m2＝10，所以·＝12.
(3)△F1MF2的底F1F2＝8，由(2)知m＝±.
所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以＝4.
【解题策略提醒】
　与双曲线有关的综合问题
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．
(2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
【课堂题组训练】
题8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，左顶点为A，O为坐标原点，以OF为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P，且PA＝PF，则双曲线的离心率e＝________．
【解析】由题可知A(－a，0)，F(c，0)，双曲线的渐近线的方程为y＝±x，可取y＝x，
以OF为直径的圆的方程为＋y2＝，联立可得P.
由PA＝PF，可得＝，即c2－ac＝2a2，e2－e－2＝0，
所以(e－2)(e＋1)＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)，故双曲线的离心率e＝2.
答案：2
【教师备选类型】　直线与双曲线位置关系的综合问题(数学运算)
【典例】题9. 直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【思路导引】(1)通过方程的思想，利用根与系数的关系进行求解；
(2)利用反证法的思想，转化为两直线互相垂直进行求解．
【解析】(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1，
整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，
故解得k的取值范围为－2＜k＜－.
(2)设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由①式，得
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F，则FA⊥FB，
所以＋y1y2＝0，即＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，
(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＝0，所以(1＋k2)·＋·＋＝0，
化简得5k2＋2k－6＝0，解得k＝－或k＝(舍去)，
可知k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
【解题策略提醒】
　解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线的位置关系进行求解．
【课堂题组训练】
题10. 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切．
【解析】(1)依题意有＝，c－＝，
因为a2＋b2＝c2，所以c＝2a，所以a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m(m＞0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，
由得2x2－2mx－m2－3＝0，所以x1＋x2＝m，x1x2＝－.
又因为·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，
所以m＝0(舍去)或m＝2，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，
因为·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，
所以AD⊥AB，所以过A，B，D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，
因为点M的横坐标为1，所以MA⊥x轴，所以过A，B，D三点的圆与x轴相切．
【课后巩固习题】
题11. 已知双曲线C：x2－＝1的离心率大于，则双曲线C的虚轴长的取值范围为 (　　)
A．(2，＋∞) B．(1，) C．(2，＋∞) D．(1，2)
【解析】选A.双曲线C：x2－＝1的离心率大于，
可得＝＞3，解得b＞，所以双曲线C的虚轴长的取值范围为(2，＋∞).
题12. 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为 (　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1
【解析】选A.由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
题13. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为 (　　)
A． B． C． D．5
【解析】选D.依题意得，2a＝PF2－PF1＝1，F1F2＝ eq \r(PF＋PF) ＝5，因此该双曲线的离心率e＝＝＝5.
题14. 已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，过原点的直线l交双曲线C于A，B两点，且BF＝3AF，则双曲线C的离心率的取值范围为 (　　)
A． B． C． D．
【解析】选A.因为直线AB和双曲线C都关于原点对称，所以A，B也关于原点对称，
设F′为左焦点，则F，F′关于原点对称，所以BF＝AF′，因为BF＝3AF，
所以AF′＝3AF，所以AF′－AF＝2AF＝2a，所以AF＝a，AF′＝3a，
①当点A不在线段FF′上时，在△AFF′中，，所以a②当点A在线段FF′上时，AF′＋AF＝FF′，所以4a＝2c，所以e＝＝2.
综上所述，e∈(1，2].
题15. 过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，求AB的长．
【解析】因为双曲线方程为x2－＝1，所以左焦点F1(－2，0)，因为直线AB的倾斜角为，所以直线斜率为，直线AB的方程为y＝，代入x2－＝1可得8x2－4x－13＝0，x1＋x2＝，x1x2＝－，所以AB＝＝＝＝3.
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