中学生标准学术能力诊断性测试 2021 年 11 月测试
理科数学 参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A A B A B D C D D C C
2
12．【解析】点 A(x, y)在圆 x2 + ( y 2) =1上，B ( 3,1) y
3x + y OA OB
则 = = OB cos AOB = 2cos AOB
x2 + y2 OA
A
如图，当OA与圆相切时， AOB取得最小值 B
6 x
3x + y 3 3 O
所以 3 ，此时点 A , ．
x2 + y2 2 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
5
13． 2,2 14．10 15． 7 16． ，
6 6
16．【解析】设 g(x) = f (x) 2x2 +1，则 g (x) = f (x) 4x 0
所以函数 g(x)在R 上为增函数．
1 1 1
g( ) = f ( ) 2 ( )2 +1= 0
2 2 2
1
g(sin ) = f (sin ) 2sin2 +1= f (sin )+ cos 2 = g( ) 0
2
1 5
得 sin ，又 0 2 ，
2 6 6
5
所以不等式 f (sin )+cos2 0的解集为 , ．
6 6
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21
题为必考题，每道试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
解：
100 1
（1）该企业男员工从不使用方式 B 的概率为 = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
600 6
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100 1
该企业女员工从不使用方式 B 的概率为 = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
400 4
200 1
（2）该企业男员工经常使用方式 A 的概率为 = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分
600 3
300 3
该企业女员工经常使用方式 A 的概率为 = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
400 4
两名男员工经常使用方式 A，女员工不经常使用方式 A 的概率为
2
1 3 1
1 = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
3 4 36
有一名男员工经常使用方式 A，一名女员工经常使用方式 A 的概率为
1 1 1 3 1C2 1 = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
3 3 4 3
1 1 13
所以 3 人中恰有 2 人经常使用方式 A 的概率为 + = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
36 3 36
18．（12 分）
解：
（1）a3 = a1 + 4，a4 = a1 + 6 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
2 2a1 ， a3 ， a4成等比数列， a3 = a1a4 ，得 (a1 + 4) = a1 (a1 + 6)
a1 = 8 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
（2）Sn = na1 +n(n 1)┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
2 20Sn 20， n + (a1 1)n+20 0，即n+ 1 a 1
n
20
n + 的最小值为 9 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
n
1 a1 9，所以a1的取值范围为 8,+ )┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
19．（12 分）
解：
（1）设O为 AC的中点
AD =CD， OD⊥ AC ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分
平面 ACD⊥平面 ABC
OD ⊥底面 ABC ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分
进而得OD ⊥ BC ，又 AD ⊥ BC
BC ⊥平面 ACD┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分
进而得BC ⊥ AC ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
（2）设 AB 中点为 F
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OF BC ， BC AC ， OF ⊥ AC
由（1）知OF、OC、OD两两垂直，
以OF 、OC 、OD为 x 轴、 y 轴、 z 轴正半轴建立空
间直角坐标系┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分
则 A(0, 1,0)，D (0,0, 3)，C (0,1，0)，F (1,0,0)
E 是CD的中点
1 3
E 0, , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
2 2
设平面 ABE的法向量为n = (x, y, z)
3 33 3 y + z = 0
AE = 0, , ， AF = (1,1,0)， 2 2
2 2
x + y = 0
不妨取 y = 1，则n = (1, 1, 3) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
n CD 4 2 5
CD = (0, 1, 3)， sin = = = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
n CD 5 2 5
20．（12 分）
解：
ln x 1 ln x（1）设 f (x) = f (x) =
x x2
当0 x e时， f (x) 0，当 x e时， f (x) 0
f (x)在 (0,e 上递增，在 e,+ )上递减┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
1
当 x (0,+ )时， f (x) f (e)=
e
方程 x eln x = 0有唯一的零点 e
即方程ex = xe 有唯一的零点 e ，猜想（1）正确┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
ln a lnb
（2）由ab = ba得 =
a b
ln x
设 f (x) =
x
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由（1）知a,b分别在 (1,e)和 (e,+ )内，
不妨设a (1,e)，b (e,+ )
e2 ln x (2 ln x) x
设 g (x) = f (x) f =
x
2
x e
1 ln x 1 ln x (1 ln x)(e2 x2 )
g (x) = = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
x2 e2 x2e2
当 x (1,e)时，1 ln x 0，e2 x2 0
当 x (1,e)时， g (x) 0， g (x)递增
由此得，当a (1,e)时， g (a) g (e) = 0┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
e2
f (a) f 0
a
e2
f (a) = f (b)， f (b) f ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
a
e2 ( ) ( ) e
2
又 b, (e,+ )且 f x 在 e,+ 递减， b
a a
ab e2 ，猜想（2）正确┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
21．（12 分）
解：
2
（1） 点M (2, yM )在抛物线 上， yM = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分
p
1 1
因为线段MN 的中点 1， 抛物线 上┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
p 2
1 1
1= 2 p ，得 p =1┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
p 2
（2）设R(x0 , y0 )， P(x1, y1 )，Q(x2 , y2 )， PQ的中点H (x3, y3 )
x + x y + y
点P和PR的中点 1 0 1 0 , 均在抛物线上
2 2
x21 = 2y1
2 x1 + x y + y
┄┄┄┄┄┄┄1 分
0 1 0
= 2
2 2
整理得 x
2 2x x x21 0 1 0 + 4y0 = 0
第4页 共 6 页
2 2
同理得 x2 2x0x2 x0 + 4y0 = 0
x1, x2 是方程 x
2 2x 20x x0 + 4y0 = 0的两个根
进而 x1 + x2 = 2x0 ， x1x2 = 4y
2
0 x0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分
x + x
x 1 23 = = x 0
2
2
y1 + y
2 2 (x + x ) 2x x
y = 2
x1 + x2 1 2 1 2
3 = =
2 4 4
4x2 2(4y x2 20 0 0 ) 3x
= = 0 2y0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
4 2
1
如图， x3 = x0 ， S = y3 y0 x x 1 2
2
1 3x
2
S = 0
2
3y0 (x1 + x2 ) 4x1x2
2 2
3x2 31 0 2 2 3 2= 3y0 4x0 4(4y0 x0 )= (x20 2y0 )2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
2 2 2
x20 = 4 4y
2
0 且 y0 0
3
3 2
S = (4 4y2 2y )20 0 ( 1 y0 0)
2
1 51 34
所以当 y0 = 时， PQR的面积 S 取得最大值 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
4 16
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一道题作答，如果多做，则按所做
的第一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
解：
（1）由 x = cos ，y = sin 得┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
2 2
曲线C 的直角坐标方程为 x + ( y 1) = 4┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
2
2 t2
（2）将直线方程代入曲线C 的方程得 a + t + = 4 2 2
整理得 t2 + 2at + a2 4 = 0①┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
设方程①的两个根为 t1、 t2
AB = 2 2
2
t1 t2 = (t1 + t2 ) 4t1t2 = 2a
2 4(a2 4) = 2 2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
第5页 共 6 页
得a = 2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
解：
x + 4 , x 2
（1） f (x) = 3x , 1 x 2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
x 4, x 1
函数 f (x)在 ( , 1 上递减，在 1,+ )上递增， f ( 4) = 0， f (0) = 0
f (x) 0的解集为 4,0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
a
（2）由题设 f 0
3
a
4 0 ，即 12 a 0┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
3
a
3x a, x
g ( ) 3x =
a 3x + a, x
3
下面证明当 12 a 0时，对任意 x R ，都有 f (x) g (x)
①当 4 x 0时
f (x) 0 g (x)， f (x) g (x)┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分
a
②当 x 4时， 4
3
g (x) f (x) = 3x+a ( x 4) = 2x+ 4+a
由 x 4，a 12，得 g (x) f (x) 0┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
a
③ 0
3
当0 x 2时， g (x) f (x) = a 0
当 x 2时， g (x) f (x) = 2x a 4 a 0
综上，当 12 a 0时，对任意 x R ，都有 g (x) f (x)┄┄┄┄┄┄6 分
（利用图像说明给一定的分值比例，第 2 问利用图像说明最高给 4 分，四种情况论述时的具
体过程可酌情简化）
第6页 共 6 页中学生标准学术能力诊断性测试 2021 年 11 月测试 D． (3)(4)(1)
5． 2021 年 7 月 24 日，国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训
理科数学试卷
负担的意见》．“双减”政策指出，要全面压减作业总量和时长，某校在“双减”前学生完成作
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 业时长为随机变量 ， 的期望为 4，标准差为 3，在“双减”后，该校学生完成作业的时长
=0.5 0.5， 的期望为u ，标准差为 s ，则
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
A．u =1.5， s =1.5 B．u =1.5， s = 2
合题目要求的．
1． 已知集合 A= 1,2,3,4 ， B = x x2 2x 3 0 A B = C．u = 2， s =1.5 D．u = 2， s = 2 ，则
1,4 2,3 3,4 1,2 6． 已知向量a = (1，3)，b = (3,m)．若向量a ，b 的夹角为 ，则实数m = A． B． C． D． 6
2
a+b A．2 3 B． 3 C．0 D． 3
2． 设 a ，b R，则“a b”是“ab ”的
2 7． 对于非零实数a ，b ，以下四个式子均恒成立．对于非零复数a ，b ，下列式子仍然恒成立的是
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 2
A．a2 = a 1B．a + 0 C．a
2 0 D． a b = a b
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 a
1
3． 2021 年 8 月 27 日教育部在其网站发布了 2020 年全国教育事业发展统计公报，其中“十三五” 8． 若sin = ，则sin 2 =
4 3
时期全国高等教育在学总规模和毛入学率如下图所示，则下列四个回归方程类型中最适合作为
7 4 2 7 4 2
y A． B． C． D． 毛入学率 和年份数 x 的回归方程类型是 9 9 9 9
9． 已知点 A，B在双曲线 x
2 y2 = 4 上，线段 AB 的中点为M (3,1)，则 AB =
A． 2 B．2 2 C． 5 D．2 5
10．已知经过圆柱O1O2 旋转轴的给定平面 ， A，B 是圆柱O1O2 侧面上且不在平面 上的两点，
则下列判断不正确的是
A．一定存在直线 l ， l 且 l 与 AB 异面 B．一定存在直线 l ， l 且 l ⊥ AB
C．一定存在平面 ， AB 且 ⊥ D．一定存在平面 ， AB 且
（第 3 题图）
A． y = a+bx B． y = a +bx2 y = a +bex C． D． y = a+bln x 11．已知定义域为R 的奇函数 f (x)满足： f (x) = f (2 x)，且当 x 0,1 时， f (x) = ax+b，
4． 已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示，在给出的 4 个平 若 f ( 1) = 2，则 f ( 1.5) =
面图中，该几何体的主视图、侧视图、俯视图的序号依次是 A． 1 B． 1.5 C．1 D．1.5
A． (1)(4)(3) 3x + y
12．已知 x ， y x2满足 + y2 = 4y 3 ，则 的最大值为
x2 2B． (1)(2)(3) + y
( )( )( A． B． C． D． C． 3 2 1) 1 2 3 5
（第 4 题图） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页
D
x + y 2 0,
19．（12 分）在三棱锥D ABC 中， ACD为正三角形，平面 ACD⊥平
13．若实数 x ， y 满足 x 0, 则 z = x y的取值范围是 ． 面 ABC ， AD ⊥ BC ， AC = BC = 2． E
y 0,
（1）求证：BC ⊥ AC ； A C
I
14．音量大小的单位是分贝，强度为 I 的声波，其分贝 的定义是： =10lg ，其中 I 是人能听到 （2）若E是CD的中点，求直线CD与平面 ABE所成角的正弦值． B
I 00 （第 19 题图）
x 2
声音的最低声波强度．设 50 分贝的声波强度 I1 是 40 分贝声波强度 I 的 倍，则 的值
20．（12 分）有同学在研究指数函数 y = 2 和幂函数 y = x 的图像时，发现它们在第一象限有两个
2
为 ． 交点 (2,4)和 (4,16)．通过进一步研究，该同学提出了如下两个猜想：
x e
15．设锐角 ABC三个内角 A，B，C 所对应的边分别为 a ，b ，c ，若a = 2，bsin A = 3 ，c = 3， （1）函数 y = e 与函数 y = x 的图像在第一象限有且只有一个公共点；
则b = ． （2）设a 1，b 1，且a b，若a
b = ba，则ab e2．
1 1 其中 e 为自然对数的底，请你证明或反驳该同学的猜想．
16．已知函数 f (x)的定义域为 R ， f = ，若对于任意的 x R 都有 f (x) 4x ，则当
2 2 221．（12 分）已知抛物线 ： x = 2py ( p 0)和点 N (0, 1)，且点M (2，yM )和线段MN 的中
0,2 时，不等式 f (sin )+cos2 0的解集为 ．
点均在抛物线 上．
三、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为
（1）求 p 的值；
必考题，每道试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答． x2
（2）设点P，Q在抛物线 上，点 在曲线 + y
2
R =1( y 0)上，若线段PR，QR 的中点
（一）必考题：共 60分． 4
均在抛物线 上，求 PQR面积 S 的最大值．
17．（12 分）近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为部分人的消
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计
费习惯．某企业社团部为了解该企业员工A 、B 两种支付方式的使用情况，随机抽取了 600 名
分．作答时请写清题号．
男员工、400 名女员工，统计了他们的消费习惯，获得数据如下表：
22．（10 分）[选修 4—4：坐标系与参数方程]
男员工 女员工
2
经常使用 偶尔使用 从不使用 经常使用 偶尔使用 从不使用 x = a + t
在直角坐标系 xOy中，直线 l 的参数方程为 2 （ t 为参数），以坐标原点O为极点，
方式 A 200 人 300 人 100 人 300 人 100 人 0 2y =1 t
2
方式 B 350 人 150 人 100 人 150 人 150 人 100 人 x 2轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 sin 3 = 0．
（1）分别估算该企业男、女员工从不使用方式 B 的概率；
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）从该企业全体男员工中随机抽取 2 人，全体女员工中随机抽取 1 人，估算这 3 人中恰有 2 （2）设直线 l 与曲线C 相交于 A，B两点，若 AB = 2 2 ，求a 的值．
人经常使用方式 A 的概率． 23．（10 分）[选修 4—5：不等式选讲]
18．（12 分）已知数列 an 是公差为 2 的等差数列． 已知函数 f (x) = 2 x+1 x 2 ．
（1）若a1， a3 ， a4成等比数列，求a1的值； （1）求不等式 f (x) 0 的解集；
（2）设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若对于任意的n *N ，都有 Sn 20 ，求a1的取值范围． （2）设 g (x) = 3x a ，若对于任意 x R ，都有 g (x) f (x)，求a 的取值范围．
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